江苏省苏州市第十中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE24-江苏省苏州市第十中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（）人A.30 B.40 C.50 D.60【答案】B【解析】【分析】依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取，故选B．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．2.已知点，点，直线的斜率为1，则的值为（）A.4 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】带入两点斜率公式解方程即可.【详解】，解得：.故选：D【点睛】本题主要考查两点斜率公式，熟记公式为解题的关键，属于简洁题.3.某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，9，11，则这组数据的方差为（）A.4 B.2 C.9 D.3【答案】B【解析】【分析】先求平均值，再结合方差公式求解即可.【详解】解：由题意可得，由方差公式可得：，故选：B.【点睛】本题考查了样本数据的方差，属基础题.4.袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球编号之和是偶数的不同取法，然后求概率即可得解.【详解】解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为，故选：C.【点睛】本题考查了古典型概率公式，属基础题.5.己知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为()A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，，则【答案】D【解析】【分析】利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.【详解】对于A当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；对于B当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不肯定平行，故不正确；对于C当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；对于D满意面面垂直的性质定理，所以正确故选：D【点睛】此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.6.在空间四边形中，，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平移两条异面直线到相交，依据余弦定理求解.【详解】如图所示：设的中点为，连接，所以，则是所成的角或其补角，又依据余弦定理得：，所以，异面直线与所成角的为，故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.留意异面直线所成的角的取值范围是.7.已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A.2 B. C.6 D.【答案】C【解析】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.考点：切线长8.在三棱柱中，，，平面ABC，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知此三棱柱为直三棱柱，直三棱柱求解外接圆可将直三棱柱还原成对应的圆柱，再采纳圆柱的外接球半径公式，结合几何关系进行求解即可详解】由题意可知，底面外接圆的半径，三棱柱的高，外接球的半径，所以外接球的表面积为.答案选C【点睛】求解直三棱柱的外接球半径一般的方法是：先将直三棱柱还原成对应的圆柱，找出底面圆的半径，再找出高的一半，通过构造直角三角形，求解外接球的半径即可二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知直线，，，以下结论正确的是（）A.不论a为何值时，与都相互垂直；B.当a改变时，与分别经过定点和C.不论a为何值时，与都关于直线对称D.假如与交于点M，则的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】利用直线垂直，系数满意即可推断A；依据直线过定点与系数无关即可推断B；在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，左边可得不为，从而可推断C；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A，恒成立，与都相互垂直恒成立，故A正确；对于B，直线，当改变时，，恒成立，所以恒过定点；，当改变时，，恒成立，所以恒过定点，故B正确.对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，则左边不等于，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解实力，综合性比较强，属于中档题.10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.是钝角三角形C.的最大内角是最小内角的倍 D.若，则外接圆半径为【答案】ACD【解析】【分析】由已知可设，求得，利用正弦定理可得A正确；利用余弦定理可得，三角形中的最大角为锐角，可得B错误；利用余弦定理可得，利用二倍角的余弦公式可得：，即可推断C正确，利用正弦定理即可推断D正确；问题得解.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以,所以由三角形中角最大且角为锐角可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正确；故选ACD【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，还考查了二倍角的余弦公式及计算实力，考查方程思想及转化实力，属于中档题．11.如图，以等腰直角的斜边上的高AD为折痕，把和折成相互垂直的两个平面，下列结论正确的是（）A.B.C.若，则三棱锥内切球的半径为D.二面角的平面角的正切值为【答案】ABC【解析】【分析】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，依据面面垂直的性质定理，即可推断选项A是否正确；依据线面垂直的性质和勾股定理，即可证明是等边三角形，由此即可推断选项B是否正确；设内切球的球心为，半径为，依据，即可求出结果，进而推断选项C是否正确；取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，再解三角形即可求出的正切值，由此即可推断选项D是否正确.【详解】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，对于A，因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，由A知，平面，平面，所以，又，所以由勾股定理得：，又，所以是等边三角形，所以，故B正确；对于C，设内切球的球心为，半径为，又，则，由A、B可知，，又所以，所以，故C正确；对于选项D，取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，且，所以，所以为直角三角形，所以，故D错误；故选：ABC.【点睛】本题考查命题的真假推断与应用，着重考查线面、面面垂直的性质定理的应用，考查二面角的求法，属于中档题．12.圆和圆的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线方程为B.线段AB中垂线方程为C.公共弦AB的长为D.P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】两圆作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可推断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可推断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可推断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可推断D.【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了圆与圆位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解实力，属于基础题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用与利润额（单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，月微信推广费用与月利润额满意线性回来方程，则的值为______．【答案】【解析】【分析】计算,，代入线性回来方程即可得解.【详解】由题中数据可得.由线性回来方程经过样本中心,.有：，解得.故答案为50.【点睛】本题主要考查了回来直线方程过样本中心，属于基础题.14.在点O的正上方有气球P，从点O的正西方A点，测得气球P的仰角为，同时从点O南偏东的B点，测得气球P的仰角为.若A，B两点的距离为，则气球P离地面的距离为________m.【答案】【解析】分析】依题意画出直观图，设，则，，在中由余弦定理计算可得.【详解】解：依题意可得如下图形，且，，，，设，则，在中由余弦定理可得即解得或（舍去）故答案为：【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，属于中档题.15.数学家欧拉在1740年提出定理：三角形外心、垂心、重心依次位于同始终线上，且重心到外心距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线，的顶点，，，的欧拉线方程为________.【答案】【解析】【分析】由于，可得的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可得出的欧拉线方程.【详解】，，则线段的中点为，，线段的垂直平分线为：，即，，的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，因此的欧拉线方程为：，故答案为：【点睛】本题考查了点斜式方程、中点坐标公式，考查了基本运算求解实力，属于基础题.16.已知圆，则实数a的取值范围是________；若，且圆C上存在动点N，使，则实数a的取值范围是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用配方法得到圆的标准方程，由圆的半径大于零可求出a的取值范围；利用,可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围.【详解】将圆方程化为标准方程为，则圆心，所以，解得.设，由，可得，化简可得,，

即为N的轨迹为圆心,半径为的圆.

据题意:两个圆相交:，解得.

则实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查圆的一般方程表示圆的条件，同时考查圆及圆与圆的位置关系,属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.（1）求：（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可先求，然后结合正弦定理可求的值；（2）利用两角和的正弦函数公式可求的值，依据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1），，，，由正弦定理，可得：.（2），．【点睛】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力和运算求解实力.18.（1）求过点且和直线平行的直线方程；（2）求过点且圆心在直线上的圆的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）假设平行直线方程，代入点求得方程；（2）假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等构造方程，求出圆心坐标和半径，从而得到圆的方程.【详解】（1）设所求直线为：代入得：所求直线方程为：（2）圆心在直线上可设圆心为则解得：，，则圆心为圆的方程为：【点睛】本题考查利用直线平行关系求解直线方程、已知圆上两点和圆心所在直线求解圆的方程问题，属于基础题.19.如图，在三棱柱中，平面ABC，，D，E分别是AC，的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面，再由线面垂直的性质定理即可证出.（2）取的中点，连接，，可得，再利用线面平行的判定定理即可证出.【详解】（1）平面ABC，，，且，平面，由平面，.（2）取的中点，连接，，如图：D是AC的中点，则，且，又E是的中点，则,所以，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面平面.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理，要证线线垂直，需证线面垂直；要证线面平行，需证线线平行，考查了考生的逻辑推理实力，属于基础题20.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（Alberobello），这些圆锥形屋顶的奇妙小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m（如图2）.C，D是母线SA的两个三等分点（点D靠近点A），E是母线SB的中点.（1）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度；（2）现对屋顶进行加固，在底面直径AB上某一点P，向点D和点E分别引直线型钢管PD和PE.试确定点P的位置，使得钢管总长度最小.【答案】（1）；（2）时，的最小值为【解析】【分析】（1）将侧面沿母线绽开，点对于与，连接，则为最小长度，在中由余弦定理计算可得.（2）建立平面直角坐标系，求出关于轴的对称点，利用两点间的距离公式求出距离最小值，利用点斜式求出直线方程，即可求出的坐标.【详解】解：（1）将侧面沿母线绽开，点对于与，连接，则为最小长度；因为，，则，设，，中由余弦定理可得即即灯光带的最小长度为（）（2）如图建立平面直角坐标系，因为，所以，，，因为是的三等分点（靠近）所以，又是的中点，所以则关于轴对称的点为连接与轴交点，则的最小值为直线的方程为令则即时，的最小值为【点睛】本题考查圆锥的侧面绽开图，余弦定理以及直线方程，属于中档题.21.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面PAD，，.（1）求证：平面PBC；（2）求证：平面平面PAB；（3）若是边长为2的等边三角形，，，求直线BC与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由平面，结合线面平行的性质得到，之后应用线面平行的判定定理证得结果；（2）过作于，利用面面垂直性质以及线面垂直的性质，得到，依据题意，利用线面垂直的判定定理得到平面PAB，之后依据面面垂直的判定定理证得结果；（3）依据题意，建立空间直角坐标系，求得平面PCD的法向量，依据向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.【详解】（1）因为平面，平面，且平面平面，所以，又因为平面，平面，所以平面PBC；（2）过作于，因为平面平面ABCD，平面，所以，又因为，所以，又，所以平面PAB，因为平面，所以平面平面PAB；（3）若是边长为2的等边三角形，所以为的中点，依据题意，如图建立空间直角坐标系，则，则有，设平面的法向量为，则有，