2024新北师大版九年级上册数学导学案

第二章一元二次方程

第一节相识一元二次方程（1）

学习目标：

1.探究一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程学

问.

2.在探究问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生

活的联系.

3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学学问应用的价值，提高学生学习数学的

爱好，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

学习重点：一元二次方程的概念.

学习难点：如何把实际问题转化为数学方程.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

先阅读教材“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：

1.在第一个问题中，地毯的长可以表示为,宽可以表示为,

由矩形的面积公式可以列出方程为.

2.在其次个问题中，假如设五个连续整数中间的一个数为无，你又能列出怎样的方程呢？

答：设五个连续整数中间的一个数为x,由题意可列方程，得.

三、自主提问

探究案

一、探究一：一元二次方程的概念

例1：问题1：有一块矩形铁皮，长100c相，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同

的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.假如要制作的无盖方盒

的底面积是3600”？，那铁皮各角应切去多大的正方形？你能设出未知数，列出相应的方

程吗？

归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方

程叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如

下形式：ar+bx+c=0（a、b、c为常数，存0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其

中加是二次项，。是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

跟踪练习：1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.f+2y—1=0B.尤+2y2=5C.2x2=2x~lD.2=0

2.将方程（x+3>=8x化成一般形式为,其二次项系数为—，一次项系数是

常数项是—.

二、探究二：一元二次方程有关概念的应用

例2：关于x的方程mx?-3x=f—znx+2是一元二次方程，相应满足什么条件？

跟踪练习：1.关于x的方程（a—D/+BxuO是一■兀二次方程，则a的取值范围是.

2.已知方程（《7+2）/+（加+l）x—m—O,当根满足时，它是一■兀一■次方程；当刑满

足时，它是一元二次方程.

作业案

一、过关习题

1.在下列方程中，是一元二次方程的有（）

①2/—1=0；@ax2+bx+c=0；③（尤+2）（x—3）=f—3；@2x2—~=0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.把方程（无一小）（x+小）+（2x—1）2=0化成一元二次方程的一般形式为（）

A.5/—4x—4=0B.x2—5=0C.5/—2x+l=0D.5*—4尤+6=0

3.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x~—y—1B.+5%+6=0C.（x+2）（x+3）=0D.x1——2,x,=—3

4.方程3f—5=4x中，关于a、b、c的说法正确的是（）

A.a—3,b—4,c——5B.a—3,b——5,c—4

C.a——3,b——4,c——5D.a—3,b——4,c——5

二、实力提升

1.阅读材料，解答问题：

有一块长80cm,宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底

面积为1500°那的无盖盒子，想一想，应当怎样求出截去的小正方形的边长？问题：

（1）假如设小正方形的边长为xcm,那么盒子底面的长为；宽为

,依据题意，所列方程为.

（2）所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数.

2.已知关于x的方程⑺-2）无同+3%—4=0是一元二次方程，那么加的值是（）

A.2B.±2C.-2D.1

第一节相识一元二次方程(2)

学习目标：

1.会进行简洁的一元二次方程的试解.

2.依据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些详细问题.

3.理解方程的解的概念，培育有条理的思索与表达的实力.

学习重点：判定一个数是否是方程的根.

学习难点：会在简洁的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.

预习案

一、预习教材

二、感知填空、

请同学独立完成下列问题.

问题1：如图，一个长为10根的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8〃z,那4

么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm,那么，依据题意，可得方程为

列表:

X012345678

X2—36

问题2：一个面积为120疗的矩形苗圃，它的长比宽多2根，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm则长为.依据题意，得_整理，得

列表：

X567891011

/+2x—

120

探究案

一、探究一：探究一元二次方程的近似解

例1：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？

(2)假如抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？

跟踪练习：

1.已知关于无的方程x2—kx—6=0的一个根为x=3,则实数k的值为()

A.1B.-1C.2D.-2

2.下面哪些数是方程2/+10天+12=0的根？

—4,—3,—2,0,1,2,3,4.

二、探究二：一元二次方程根的判定及应用

例2：若x=l是关于x的一元二次方程aN+bx+cng/))的一个根，求代数式2024(a+b

+c）的值.

跟踪练习：1.若x=l是一元二次方程Qf+bx+c：。的解，贝!]o+b+c=___；若1=一1

是一元二次方程a^+bx+c=O的解，则〃-b+c=.

2.假如％=1是方程aT+bx+SuO的一个根，求（〃一b>+4Qb的值.

作业案

一、过关习题

1.已知长方形宽为xcm,长为面积为24cm2,则%最大不超过（）

A.1B.2C.3D.4

2.依据关于1的一元二次方程，+px+q=O,可列表如下：

X00.511.11.21.3

f+px+q-15-8.75-2-0.590.842.29

则方程f+px+q=O的正数解满足（）

A.0<x<0.5B.0.5<x<lC.1<X<1.1D.l.l<x<

1.2

二、实力提升

1.依据下表得知，方程/+2%—10=0的一个近似解为m.（精确到0.1）

X-4.2-4.3-4.4-4.5-4.6

X2+2X—10-0.76-0.110.561.251.96

2.输入一组数据，按下列程序进行计算（x+8）2-826,输出结果如表:

X20.520.620.720.820.9

输出-13.75-8.04-2.313.449.21

分析表格中的数据，估计方程（X+8）2-826=0的一个正数解X的大致范围为（）

A.20,5<x<20.6B.20.6<x<20.7C.20.7<x<20.8D.20.8<x<20.9

3.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a^O）的解是x=l,则2024-a-b的值是（）

A.2024B.2024C.2024D.2024

其次节用配方法求解一元二次方程⑴

学习目标：

1.会用开平方法解形如(x+%)2=n(nK))的方程.

2.理解一元二次方程的解法——配方法.

3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

学习重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

学习难点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

L假如一个数的平方等于4,则这个数是.

2.已知/=9,则x=.

3.填上适当的数，使下列等式成立.

(1)/+12%+=(X+6)2；%2—6X+=(x-3产

三、自主提问

探究案

一、探究一：应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程

例1：用配方法解方程2无一3=0

归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x+根)2=n(nN0)的形式,

进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.

跟踪练习：用配方法解方程：/+2x—1=0.

作业案

一、过关习题

1.用配方法解方程X2-2X-1=O,原方程应变形为()

22

A.(x-l/=2B.仪+1)2=2C.(X-1)=1D.(x+l)=1.

2.用配方法解方程f+4x—5=0,则x2+4x+=5+，所以xi—，尤2=

3.若三角形的两边长分别是6和8,第三边的长是一元二次方程(x—8>=4的一个根，则此

三角形的周长为.

4.下列解方程的过程中，正确的是()

A.，=—2,解方程，得了=■△

B.(%—2)2=4,解方程，得x—2=2,x=4

71

C.41-1)2=9,解方程，得4。一1)=±3,修=不入2=4

D.(2X+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,为=1,%2=一4

5.解下列方程：

⑴(％-5)2-9=0⑵4(x+6)2-9=0

(3)^-10^+25=7(4)x2—14x=8

(5)X2+3X=1(6)X2+2X+2=8X+4

二、实力提升

1.若a?+4。+—6/?+13=0,贝1]〃+/?=()

A.1B.-1C.5D.-5

2.若〃，b,c是△ABC的三条边，且〃2+b2+c2+50=6〃+8b+10c,试推断这个三角形的

形态.

其次节用配方法解一般一元二次方程（2）

学习目标：

1.理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程.

2.通过探究配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

3.学生在独立思索和合作探究中感受胜利的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学

的爱好.

学习重点：用配方法解一般一元二次方程.

学习难点：用配方法解一元二次方程的一般步骤.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

1.用配方法解一元二次方程/-3尤=5,应把方程两边同时（）

3939

A.加上5B.加上wC.减去］D.减去a

2.解方程（无一3p=8,得方程的根是（）

A.尤=3+2啦B.尤=3—2啦C.x=一3±2吸D.x=3±2吸

3.方程3x—4=0的两个根是.

三、自主提问

探究案

一、探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

例1:用配方法解方程2?—6工+1=0

用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？

归纳结论：（1）把二次项系数化为1,方程的两边同时除以二次项系数；（2）移项，使方程左

边为二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平

方，把方程化为（x+h）2=k的形式；（4）用干脆开平方法解变形后的方程.

跟踪练习：一小球以15根/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关

系：h=15t—5t2,小球何时能达到10米的高度？

作业案

一、过关习题

73

1.要使方程X2—会=一5左边配方成完全平方式，应在方程两边同时加上（）

A.（―）2B.72C.1D.（一/2

2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）

A.x2-2x-99=0化为（x-l）2=100B.x2+8x+9=0化为（x+4>=25

C.2t2-7t-4=0化为：10

D.3y2-4y-2=0化为

~9

3.把方程L了2—x—5=0,化成（x+m）2=n的形式得（）

3

272969

A.B.C.

244

4.用配方法解方程：

（l）4x2+8x—3=0(2)3/—9x+2=0(3)2/+6=7尤

二、实力提升

m-3

先化简，再求值:m+2-其中m是方程J+3x-1=0的根.

3m2-6mm-2

第三节用公式法求解一元二次方程

学习目标：

1.理解求根公式的推导过程和判别公式.

2.使学生能娴熟地运用公式法求解一元二次方程.

3.通过由配方法推导求根公式，培育学生推理实力和由特别到一般的数学思想.

学习重点：求根公式的推导和公式法的应用.

学习难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

1.方程3X2—x=2化成一般形式后,式中（)

A.a—3,b=-1,c—2B.a—2,b=l,c——2

C.a—3,b=—1,c——2D.a—3,b=l,c——2

2.用配方法解下列方程：

（l）f—x-1=0(2)2X2~4X—1

三、自主提问

探究案

一、探究一：探究一元二次方程的求根公式

例1：用配方法解方程：办2+bx+c=0（<#0）.

归纳总结：由上可知，一元二次方程加+bx+c=0（存0）的根由方程的系数a、b、c而定，

因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a?+bx+c=0,当b2-4ac>0

时，将a、b、c代入式子工二-bNf_4ac,就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次

方程的求根公式；（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4）由求根公式可知，

一元二次方程最多有两个实数根.

二、探究二：用公式求解一元二次方程

例2：用公式法解下列方程，依据方程根的状况你有什么结论？

(l)2f—3x=0(2)3/—2小关+1=0(3)41+x+l=0.

归纳总结：⑴当/=b2—4ac>0时，一元二次方程axHbx+cnOm#))有两个不相等的实数

口r—b+A/b2—4ac—b—^/b2—4ac、“°,一一、心、皿

根，即x\—2a，%2=2a；Q)当』=b—4〃c=0时，一^兀一次方程

Qx2+bx+c=0(〃#0)有两个相等实数根即为=%2=一昌(3)当zf=b2—4«c<0时，一元二次

Za

方程af+bx+cnOm/))没有实数根.

作业案

一、过关习题

1.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()

A.X2—3x+l=0B.x2+1=0C.f—2x+l=0D.x2+2x+3=0

2.关于x的一元二次方程2%+&4)炉+6=0没有实数根，则上的最小整数值是()

A.-1B.2C.3D.5

3.把一元二次方程r=3(2x—3)化为一般形式是,b?-4ac=Q,则该方程根的状

况为.

4.方程2X2—5尤=7的两个根分别为为=,尬=.

二、实力提升

1.己知关于x的一元二次方程(k—1)/—2x+l=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值

范围.

2.已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-4)=a2

(1)求证：对于随意实数a,方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程有一个根是1,求a的值及方程的另一个根.

第四节用因式分解法求解一元二次方程

学习目标：

1.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简洁的数字系数的一元二次方程.

2.能依据详细的一元二次方程的特征，敏捷选择方程的解法，体会解决问题方法的多样

性.

学习重点：用因式分解法解一元二次方程.

学习难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

1.将下列各式分解因式：

(I)/—2龙(2)^—4x+4(3)/—16(4)尤(x—2)—(x—2)

2.分解因式法解一元二次方程的依据是：若eb=O,则。=或b=.如：若(尤+

2)。-3)=0,那么x+2=0或者.这就是说，求一元二次方程。+2)。-3)=0的

解，就相当于求一次方程尤+2=0或尤-3=0的解.

三、自主提问

探究案

一、探究一：用因式分解法解下列方程

(1)5/+3尤=0(2)7尤(3一功=4(犬-3)(3)9(x-2)2=4(x+l)2.

跟踪练习：解下列方程：5x+6=0

作业案

一、过关习题

1.假如(%—1)(尤+2)=0,那么以下结论正确的是()

A.x=l或％=—2B.必需x=lC.x=2或x=-1D.必需尤=1且x=—2

2.方程f—3x=0的解为()

A.%=0B.x=3C.%i=0,X2=~3D.XI=O,X2=3

3.方程V—9X+18=0的两个根分别是一个等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形

的周长为—.

4.解下列方程

(1)X2=2X+35(2)(X-1)2-16=0(3)3x(x—1)=2—2x

二、实力提升

1.已知(/+b2)2—(.2+b2)—6=0,求层+b2的值.

2.阅读下面的例题：解方程X2-|%|-2=0的过程如下：

(1)当xNO时，原方程化为了2一%一2=0,解得：%=2,々=一1(不合题意，舍去)・

(2)当尤＜0时，原方程可化为X?+%一2=0,解得：占=一2,x2=1(不合题意，舍

去).所以，原方程的解是：％=2,%=-2.请参按例题

解方程：x2-|^-l|-l=0

第五节一元二次方程的根与系数的关系

学习目标：

1.驾驭一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.

2.能依据根与系数的关系式和己知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未

知系数.

3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值.

学习重点：根与系数的关系及运用.

学习难点：定理发觉及运用.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

1.一元二次方程的求根公式是.

2.一元二次方程3f—6尤=0的两个根是

3.一元二次方程/一6尤+9=0的两个根是

三、自主提问

探究案

一、探究一：一元二次方程的根与系数的关系

例1：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中尤1+念，尤1漫的值，它们与对

应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发觉什么规律？

一元二次方程X2Xl+^2X1-X2

X2+3X-4=0

X2—2x—5=0

2/—3x+l=0

6/+无一2=0

归纳总结：一般地，对于关于尤的一元二次方程加+bx+c=O（存0）,用求根公式求出它的

两个根XI、X2,由一元二次方程OX2+bx+c=0的求根公式知尤1=—4型,X2=

—b~^2a4~J能得出以下结果：制+*2=-xi-X2=^-.

二、探究二：一元二次方程根与系数关系定理的应用

例2;已知方程5^+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值.

例3：若一元二次方程2?+3x—1=0的两个根为%,%,(1)2(

X」+^2'2)—+—

再

跟踪练习：

1.设一元二次方程X2—6x+4=0的两实根分别为为和X2，则(X1+X2)—尤1•尤2=()

A.-10B.10C.2D.-2

2.设4,b是方程/+尤-2024=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为

作业案

一、过关习题

1.已知一元二次方程/一6无+c=0有一个根为2,则另一个根为()

A.2B.3C.4D.8

2.若a,[3是方程f—2x—3=0的两个实数根，则(^+俨的值为()

A.10B.9C.7D.5

3.菱形的两条对角线长分别是方程14x+48=0的两实根，则菱形的面积为.

4.已知XI、X2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，则X1-X1X2+X2的值是()

__484

A.3B.3C.3D,3

二、实力提升

1.已知x的方程f+(24+1)尤+产-2=0的两实根的平方和等于11,则左=.

2.已知关于X的一元二次方程一(7"-1)1+7"-7=0.

(1)加为何值时，方程有一根为零？

(2)加为何值时，方程的两个根互为相反数？

(3)是否存在加，使方程的两个根互为倒数？若存在，恳求出"2的值；不存在，请说明理

由.

第六节应用一元二次方程（1）

学习目标：

1.使学生会用一元二次方程解应用题.

2.进一步培育学生将实际问题转化为数学问题的实力和分析问题、解决问题的实力，培育

学生运用数学的意识.

3.通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.

学习重点：运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题.

学习难点：找寻等量关系，用一元二次方程解决实际问题.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

1.在MAACB中，NC=90°,AC=5cm,BC=12cm,贝！|AB=cm.

2.在△ABC中，D、E分别是AB,AC的中点，若BC=10c〃z,则DE=cm.

三、自主提问

探究案

一、探究一：利用一元二次方程求解几何问题

例1：用一根长40c机的铁丝围成一个面积为91c/的矩形，问这个矩形长是多少？

跟踪练习：一个直角三角形的斜边长为1cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,那么这

个直角三角形的面积是多少？

作业案

一、过关习题

1.用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不行能是（）

A.375cm2B.500cm2C.625cm2D.700cm2

2.一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖两条和四条

水渠，假如水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2,那么水渠的宽为

)

A.2mB.4mC.ImD.3m

3.一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，设矩形的宽x厘米，应满足方程

.解方程求得.

二、实力提升

1.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，支配用32米长的围栏靠墙围成

一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.

2.在宽为20m长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，

横向与纵向相互垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方

米，问道路应为多宽？

3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C

同时动身，点P以3cm/s的速度向点B移动，始终到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D

移动.

(1)P、Q两点从动身起先到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；

(2)P、Q两点从动身起先到几秒时？点P和点Q的距离是10cm.

第六节应用一元二次方程（2）

学习目标：

i.会用一元二次方程解决销量随销售单价改变而改变的市场营销类应用题.

2.通过列方程解应用题，进一步相识方程模型的重要性，提高逻辑思维实力和分析问题、

解决问题的实力.

学习重点：会用一元二次方程求解营销类问题.

学习难点：将实际问题抽象为一元二次方程的模型，找寻等量关系，用一元二次方程解决

实际问题.

预习案

一、预习教材

二、感知填空

1.利润=;

2商品的利润率=

3.商品的总利润=一件商品的利润x销售商品的数量.

三、自主提问.

探究案

一、探究一：利用一元二次方程求解营销类问题

例1：某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个.市场调

查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将削减10个.若销售利润率不得

高于100%,那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？

跟踪练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销

售，增加盈利，尽快削减库存，商场确定实行适当的降价措施，经试销发觉，假如每件衬

衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应

降价多少元？

二、探究二：利用一元二次方程求解增长率问题

例2：某公司今年10月的营业额为2500万元，按支配12月的营业额要达到3600万元，求

该公司11,12两个月营业额的月均增长率。

跟踪练习：为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力

度.2024年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预料到2024年底三年共

累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同，求每年市政府

投资的增长率.

作业案

一、过关习题

1.兰翔百合经销店将进货价为20元/盒的百合，在市场参考价28—38元/盒的范围内定价

为36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒.经市场调查发觉，在进货价不变的状况下，

若每盒售价每下调1元钱，平均每天就能多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将

每盒的售价下调（）

A.1元B.11元C.1元或11元D.无法确定

2.某小区2024年屋顶绿化面积为2000平方米，支配2024年屋顶绿化面积要达到2880平

方米.假如每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是.

3.今年以来，某种食品不断上涨，在9月份的售价为8.1元/kg,11月份的售价为10元/kg。

这种食品平均每月上涨的百分率约等于（）

A.15%B.11%C.20%D.9%

4.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发觉每盆的盈利与每盆的株数构成确定的关系.每

盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就

削减0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应当植多少株？

二实力提升

1.某商店打算进一批季节性小家电，单价为40元.经市场预料，销售定价为52元时，可

售出180个，定价每增加1元，销售量净削减10个；定价每削减1元，销售量净增加10

个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若打算获利2000元，则应进

货多少个？定价为多少元？

其次章复习一元二次方程

学习目标

1.驾驭一元二次方程的解法和应用；

2.会应用一元二次方程解决实际问题

学习重点：驾驭一元二次方程的解法和应用

学习难点：会应用一元二次方程解决实际问题

预习案

一、复习教材

二、感知填空

1.一元二次方程的定义：只含有未知数x的整式方程，并且都可以化成（a,b,

c为常数，存0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应留意的问题是：（1）只含有

一个未知数；（2）未知数的最高指数是；（3）二次项系数不为

2.一元二次方程的解法：（1）法;（2）法；（3）法；（4）法

3.在一元二次方程ax?+bx+c=O（a、b、c为常数，a20）中，xx+x2=_；/=

4.列一元二次方程解应用题的步骤：—、—、—、—、—、—，最终要检验根是否符

合

三、自主提问

探究案

一、探究一：用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）4X2—16x+15=0（2）9—x2=2x2—6x（3）（x+1）（2—尤）=1

二、探究二：新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，依据市场调查，假如以20元/支

的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店

主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？

作业案

一、过关习题

1.当7W时，关于X的方程①7—l)x"‘+1+5+"ZX=0是一元二次方程.

2.将一元二次方程^-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的根是.

3.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的

人数相同，那么第三轮过后，共有人患有流感.

4.用配方法解方程X2+8X+9R时，应将方程变形为()

A.(X+4)2=7B.(x+4)2=—9C.(X+4)2=25D.(.r+4)2=—7

5.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则

这个百分率是.

6.湛江市2024年平均房价为每平方米4000元.连续两年增长后，2024年平均房.价达到每平方

米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x,依据题意，下面所列方程正确的是()

A.5500(1+x)2=4000B.5500(1-x)2=4000

C.4000(1-x)2=5500D.4000(1+x)2=5500

7.用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)%2—7x+12=0(2)2x2—6x+l=0(3)(x—3)(x—1)=3

8.新苑小区的物业管理部门为了美化.环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长

25m),三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m.花圃的面积能达到200m2吗？

AD

BC

二、实力提升

L白溪镇2024年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2024年达到82.8

公顷.

(1)求该镇2024至2024年绿地面积的年平均增长率；

(2)若年增长率保持不变，2024年该镇绿地面积能否达到100公顷？

2.如图，在RtAACB中，ZC=90°,BC=6m,AC=8m,点P、.Q同时由A、B两点动身分

别沿AC,BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s,点Q移动的速度是

10cm/s,几秒后APCQ的面积为R3ACB面积的』？

8

3.商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发觉，当每件商品售价为130元时，每天

可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就削减1件，据此规

律，请回答：

(1)当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

(2)在上述条件不变，商品销售正常的状况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈

利可达1500元？

4.如图，长方形Q46C的边Q4,0C在坐标轴上，A（0,2）,C（4,0）.点。从点A

动身，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO方向运动，同时点。从点C动身，以每秒2

个单位的速度沿射线CO方向运动.设点P运动时间为/秒（/>0）.

（1）当1=1时，求仆BPQ的周长；

（2）当/为何值时，△5尸。是等腰三角形；

（3）点C关于3。的对称点为C',当C'恰好落在直线AQ上时，ABP。的面积为

.（干脆写出结果）

课题3.1用树状图和表格求概率

学习目标

1.学习用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事务发生的概率.

2.培育学生合作沟通的意识和实力.

3.提高学生对所探讨问题的反思和拓广的实力，逐步形成良好的反思意识.

学习重难点

重难点：能用列表法或画树状图计算简洁事务发生的概率。

学习过程

预习案

一、预习教材

1.请同学们阅读教材60——63页的内容，并完成书后习题。

2.预习过程中请留意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号;

⑵完成你力所能及的随堂练习和习题。

二.感知填空

1、当一个事务满足什么条件条件时，可以用树状图或表格求概率？

2、某同学掷一枚匀称的硬币，共掷了100次，正面朝上的次数是48次，下列说法正确的

是()

(A)正面朝上的频数是100(B)正面朝上的频率是20.8%

(C)正面朝上的频率是48%(D)以上都不对

3、从甲、乙、丙中任选两名为代表，求甲被选上的概率.()

三.自主提问：

探究案

一、探究一：

1、探究活动：用树状图和列表法计算概率

例1、小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”嬉戏。嬉戏规则如下：

由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的嬉戏，假如两人的手势相同，那么小凡获胜；

假如两人手势不同，那么依据“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则确定小明和小

颖中的获胜者.

假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个嬉戏对三人公允吗？

你还可以用别的方法来解答吗？

做一做：

小明和小军两人一起做嬉戏，嬉戏规则如下：每人从1,2….12中随意选择一个数，然

后两人各掷一次质地匀称的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；假

如两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述嬉戏，直至决出输赢。假如你

是嬉戏者，你会选择哪个数？

跟踪练习：

1、有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把

三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在其次个盒子中。分别摇匀

后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率。

2、打算两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3,从每组

牌中各摸出一张牌。

(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？

(2)两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？

(3)两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？

3、一个盒子中装有一个红球、一个白球。这些球除颜色外都相同，从中随机地摸出一个

球，登记颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求：

(1)两次都摸到红球的概率；

(2)两次摸到同颜色球的概率；

4、小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；2块橡皮擦，分别为白色、黑色.小明从

中随意取出1支水笔和1块橡皮配套运用.试用树状图或表格列出全部可能的结果，并求取

出红色水笔和白色橡皮配套的概率.

作业案

一、过关练习

1.下列事务中可作为机会均等的结果的事务来计算概率的是()

①某篮球运动员投篮一次命中目标；②抛一枚图钉，钉尖朝上；③一副扑克牌(去掉大

小王)中任抽一张是红桃；④号码由1,2,3三个数字组成的内线电话，随意拨其中的

三个数字电话接通

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

2.袋中有3个红球，2个白球，若从袋中随意摸出1个球，则摸出白球的概率是()

1221

A.-B.-C.一D.一

5533

3.随机掷一枚质地匀称的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰

子向上的一面点数是奇数的概率为()

1111

A.一B.-C.-D.一

2345

4.在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个

图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为.

5.九年级(1)班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、•丁两位女生参

与竞选.

(1)男生当选班长的概率是；

(2)请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率.

6.某商店举办有奖销售活动，方法如下：凡购货满100元者得奖券一张，多购多得，每10000

张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100•个，那么买100元

商品的中奖概率是多少？

7.在“妙手推推推”的嬉戏中，主持人出示了一个9位数，让参与者猜商品价格.被猜的

价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.假如参与者

不知道商品的价格，从这些连在一些的全部4位数中，用富猜一个，求他猜中该商品价

格的概率.

8.小红与父母一起从杭州乘火车去上海，火车车厢里每排有左、中、•右三个座位.小红一

家三口随意坐在某排的三个座位，则小红恰好坐在中间的概率是多少？

二、实力提升

9.小刚与小亮一起玩一种转盘嬉戏.如图是两个完全相同的转盘，•每个转盘分成面积相等

的三个区域，分别有“1”、“2”、“3”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自

由停止，若两指针的数字和为奇数，则小刚获胜；否则，小亮获胜.则在该嬉戏中小刚

获胜的概率是（）

10.从分别写有1,3,-5,-7,・9•的五张卡片中任取一张恰好是3•的倍数的概率是

11.如图，三张卡片上分别写有一个代数式，把它们背面朝上洗匀，•小明闭上眼睛，从中

随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张.•第一次抽取的卡片上的整式做

分式，其次次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或画树状图法求能组成分式的概率

是多少？I-----------------------

xJC-12

12.一枚质地匀称的正方体骰子，六个面分别标有1,2,3,4,5,6,连续投掷两次.

(1)用列表法或树状图表示出朝上的面上的数字全部可能出现的结果；

(2)记两次朝上的面上的数字分别为p、q,若p、q分别作为点A•的横坐标和纵坐标,

12

求点A(p,q)在函数y=—的图象上的概率.