湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

2024年高三秋季数学入学考试试题一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列举法写出全集，再利用并集、补集的定义求解作答.【详解】依题意，全集，而，有，所以故选：B2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四像限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，由几何意义得复平面内对应的点所在象限.【详解】，则在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D．3.已知第二象限角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解.【详解】∵，∴，解得或（舍去），所以.故选：D4已知正项数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解.【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，所以.故选：B5.已知数列an的各项均为正数，bn满足，，则下列结论正确的是（）A.bn是等差数列 B.bC.是等差数列 D.是等比数列【答案】C【解析】【分析】分析可知数列bn的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论．【详解】因为数列an各项为正数，bn满足，，故对任意的，，则，所以数列bn的每一项都是正数，所以，可得.由等差中项法可知，数列是等差数列．故选：C.6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）A.240 B.420 C.540 D.900【答案】C【解析】【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为或或，结合排列、组合数的计算公式，即可求解.【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法，故不同的安排方法种数是．故选：C．7.如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，得到和，两式相除即可求解.【详解】设，则，，两式相乘得,①因为直径所对的角是直角,所以所以,②①除以②得，故，故选：D8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，由圆，可得，则圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，其中，则，则，所以的最大值为.故选：D.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则A.平面B.直线和直线所成的角为C.当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆D.过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为【答案】ABD【解析】【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断A、B正误；结合椭圆的定义可判断C的正误；结合空间中垂直关系的转化可判断D的正误．【详解】解：将该正四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，则平面，故A正确；设中点为，则，且，故B正确；，在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，又平面与其长轴垂直，截面为圆，故C错误；设平面与，交于点，，连接，，，，，，，，，，，，，而，故，同理，而，平面，而平面，则，平面，平面，，，，平面，平面，而平面，则，，同理，，又，，则，而，交线长为，故D正确．故选：ABD.10.已知棱长为2正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（）A.平面平面B.不存在点，使得直线平面C.的最小值为D.的周长随着线段长度的增大而增大【答案】ACD【解析】【分析】根据几何体特征判断A选项,根据线面平行的判定定理判断B选项,结合距离和最小判断C选项,根据导数结合函数单调性判断D选项.【详解】由于正方体的对角面相互垂直，故正确；当点与重合时，直线平面，故错误；将四边形翻折至与四边形共面，则，故C正确；当时，为，且的周长为．当时，为四边形，且四边形的周长为．当时，如图，过点作，易得，所以为四边形，设，四边形的周长为，则，所以，令，解得，所以在0,2上单调递增，所以的周长随着线段长度的增大而增大，故D正确．故选:ACD．11.已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（）A.函数的图象关于中心对称B.函数的极大值有可能小于零C.对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率D.若三点共线，则.【答案】AD【解析】【分析】由奇偶性和图象平移可判断A；利用导数求出极大值点，再由单调性与比较可判断B；利用导数求出，然后作差比较，即可判断C；根据化简即可判断D.【详解】对于A，设，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点中心对称，A正确；对于B，令，解得，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，由单调性可知，，故B错误；对于C，，因为，所以，又，所以，因为，所以，即，C错误；对于D，同上，可得，，，当三点共线时，则有，整理得，因为，所以，即，又，所以，整理得，因为，所以，即，所以，D正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：本题解题思路是首先是构造函数，利用其奇偶性，再就是用导数判断出其单调性解题，利用切线斜率解题，考查了学生的思维能力、运算能力.12.已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合，结合周期性，可判定C错误；求得，进而可判定D正确.【详解】由题意知，所以，所以，所以A错误；又由，因为关于点中心对称，所以，所以，又因为，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，所以，所以B正确；由，所以C错误；因为，所以，所以，所以D正确.故选：BD.三、填空题（共4小题，）13.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】列举法表示M，由交集的定义求.【详解】因为，又，所以．故答案为：14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数以及放缩法得出函数的单调性，将不等式化简，计算出不等式的解集．【详解】函数的定义域为，且，则是偶函数，，且，是奇函数，又，即是为增函数，当时，，即在上为增函数，则不等式等价于，，平方得，化简得，解得或，故答案为：15.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】作，分别求得，，，在直角中，利用勾股定理，列出关于离心率的方程，结合离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，作，垂足为，因为，所以，点为的中点，所以，因为，所以，所以，所以，所以，在直角中，由勾股定理可得，整理得到，即，因为，解得.故答案为：.16.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案.【详解】由题意，，，则；，，则；故答案为：.四、解答题（共6小题）17.已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在时取得极小值，求的值；（3）若存在实数，使对任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；（2）由求得值，并验证此时是极小值点；（3）求出导函数，，然后根据的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出在（存在正实数）上与同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．小问1详解】，，又，∴切线方程为；【小问2详解】由（1），函数在处取得极小值，则，即，，设，则，，由的图象的连续性知在附近是正值，因此在附近是递增的，又，所以在附近从左到右，由负变正，在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意；所以．【小问3详解】，，当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增，因此，不合题意，当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减，因此，满足题意，时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意，综上，的取值范围是．18.如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上（异于端点）．（1）若点是棱的中点，求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直，先证明平面，即可得出平面平面.（2）分别以为轴､轴､轴正方向建系，设，则进而表示出，求出平面的一个法向量为，再利用二面角的余弦值为求出，最后得出结果.【小问1详解】由题意得，正四棱锥所有棱长均为，因为是的中点，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】如图，连接，易知两两垂直，分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设，则，所以，所以．设平面的法向量为n=x,y令，则，所以平面的一个法向量为．易知平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，即，解得或（不合题意，舍去），此时．19.国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；（2）求出关于的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为参考数据：，【答案】（1）答案见解析（2），513（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断，（2）利用最小二乘法即可计算求解，（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解.【小问1详解】相关系数因为与的相关系数，接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.【小问2详解】所以与的线性回归方程为又2022年对应的年份代码，当时，，所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.【小问3详解】对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.20.已知函数，其中．（1）若，讨论在上的单调性；（2）若存在正数，使得，且时，，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）求导f'x，讨论的正负及与1和4的大小关系判断单调性；（2）先转化为，构造新函数得，求导分类讨论判断单调性，当分离参数求得范围.【小问1详解】由题意得，f'x．若，则f'x>0，此时在上单调递增；若，则f'x≥0，此时在上单调递增；若，则，此时在上单调递减；若，则当时，f'x>0，当时，f'故在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减．【小问2详解】由题意得，，使得函数在0,+∞上单调递减，f'x令，问题即转化为：．①当时，，且单调递增，易知，不合题意，舍去．②当时，因为，在上单调递增，在上单调递减，．即，使得．令，故，在0,+∞上单调递减，且当时，，．综上所述，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性及恒成立问题，注意第二问双变量k,x的处理，先看做x的恒成立问题，再对k有解.21.已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.（1）设，求证：是定值；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线的方程联立即可计算作答.（2）由（1）求出直线的方程并求出点的横坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，借助直线求出点的横坐标，再列式求出范围作答.【小问1详解】由是直线与抛物线的两个交点，显然直线不垂直y轴，点，故设直线的方程为，由消去并整理得，所以为定值.【小问2详解】由（1）知，直线的斜率，方程为，令，得点的横坐标，设，由消去得，，，而直线的