江苏省南通市如皋市2024届高三上学期1月诊断测试《数学》试题（解析版）

第第页如皋市2024届高三1月诊断测试数学试题注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标.【详解】由可得抛物线标准方程：，其焦点坐标为.故选：D.2.在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，可利用公式求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的值.【详解】由已知条件可得，解得或.设等比数列的公比为.①当，时，由，解得，，解得；②当，时，由，解得，，解得综上所述，.故选：B.【点睛】关键点点睛：已知、、求等比数列的基本量，利用公式计算较为方便，但需要注意分和两种情况讨论.3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．4.有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．A.72 B.144 C.108 D.96【答案】A【解析】【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得.【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法，除甲、乙外的其它三辆车共有种停法；若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法，除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种，故共有种停放方法.

故选：A.5.已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，则得到的值，进而即可求解．【详解】因为，边的中点为，所以，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，，故.故选：D．6.已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（）A.线段（不包含端点） B.椭圆一部分C.双曲线一部分 D.线段（不包含端点）和双曲线一部分【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可.【详解】因为函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，所以，因为，，成等比数列，所以有，且有成立，即成立，由，化简得：，或，当时，即，因为，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；当时，即，因为，所以，而，所以不成立，故选：A7.已知，则（）A3 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，故.故选：A8.已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以MO是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.所以，，双曲线C的渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，即，又T在上，则，即，解得，，由，故，即距离之和为.故选：A.【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，∴，不妨设，，，A正确；，C正确；，∴，时，，B错；时，，，计算得，，，同理，D正确．故选：ACD．10.若函数，则（）A.的最小正周期为πB.的图像关于直线对称C.的最小值为-1D.的单调递减区间为【答案】BCD【解析】【分析】先求出的定义域，再对四个选项一一验证：对于A：利用定义法判断出的最小正周期；对于B：由，即可判断；对于C：设，得到利用导数求出，即可判断；对于D：利用复合函数单调性法则直接判断.【详解】由得的定义域为.对于A：当时，不在定义域内，故不成立，易知的最小正周期为，故选项错误；对于B：又，所以的图像关于直线对称，所以选项正确；对于C：因为，设，所以函数转化为，由得，.得.所以在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选项正确；对于D：因为在上单调递减，在上单调递增，由，令得，又的定义域为，解得，因为在上单调递增，所以的单调递减区间为，同理函数的递增区间为，所以选项D正确.故选：BCD.11.设a为常数，的定义域为R，，则（）．A.B.成立C.D.满足条件的不止一个【答案】ABC【解析】【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.【详解】对A：对原式令，则，即，故A正确；对B：对原式令，则，故，对原式令，则，故非负；对原式令，则，解得，又非负，故可得，故B正确；对C：由B分析可得：，故C正确；对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________．【答案】或【解析】【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得.【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求；当时，对，需，即；故答案为：或.13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】由线面角的定义得出，从而得出，再由导数求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，易知.圆锥的体积为令，则，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，即，此时.故答案为：；14.函数的最小值______________．【答案】##【解析】【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得.【详解】由，故，由，故、，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设曲线在点处取得极值.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；的极大值为；的极小值为.【解析】【分析】（1）根据，即可容易求得；（2）根据（1）中所求，求得，即可容易求得单调区间和极值.【详解】（1）因为，故可得，又因为，故可得，解得，经检验符合题意.（2）由（1）可知，，令，解得，又因为函数定义域为，故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.故的极大值为；的极小值为.【点睛】本题考查利用极值点求参数值，以及利用导数求函数的单调区间和极值，属综合基础题.16.袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．【答案】（1）概率分布见解析，（2）3【解析】【分析】（1）由分布列及均值定义计算即可得；（2）由二项分布均值公式计算即可得.【小问1详解】X的可能取值为1，2，3，，故抽取次数X的概率分布为：X123P；【小问2详解】每次检验取到新球的概率均为，故，所以．17.如图，在三棱柱中，，，且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得，则，进而由面面垂直的性质得出平面，即得，在中，由余弦定理求出可得，结合可得平面，即可证明；（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量关系求解.【详解】（1）证明：因为，所以.因为，所以.在中，，即，所以，即.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以，在中，，，，所以，即，所以.而，平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，平面，，，在三棱柱中，，可得，，为中点，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，则，设直线与平面所成角为，则,故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；（2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据及得到点C的坐标为，代入抛物线方程，求出，得到直线方程；（2）设直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为，代入抛物线方程，得到，由根的判别式得到，所以，所以点A的横坐标，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【小问1详解】设直线的方程为，与联立得，由得，设，则，所以，由题意知，因为，所以，所以，故即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得，满足条件，所以直线的方程为．【小问2详解】证明：设直线的方程为，与联立得，，所以，所以．由（1）知，所以，即点A的坐标为．又点A在抛物线上，所以，所以，又，所以，所以点A的横坐标，同理可证，B，C两点的横坐标也小于2．所以三个顶点的横坐标均小于2．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19.对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①，；②，，；③，，，．（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．【答案】（1）①线性相关，②线性相关，③线性相关（2）向量，，线性无关，理由见解析