高中一年级上学期数学《基本不等式（第1课时）》教学课件

2.2.1

基本不等式(第1课时)目录情境创设导入课题1探寻方法证明公式2初试公式辨析理解3巩固强化综合提升4一、情境创设导入课题情境创设导入课题动手小实验

步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看成一个矩形，其相邻两边长分别为

，

，故矩形的面积为

；≤准备好两个正方形纸张，记面积分别为

，

.步骤一：把两张纸沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢，则两部分的总面积为

；步骤三：由图显然可得：矩形面积不大于整个面积.情境创设导入课题重要不等式：对任意实数

，有

当且仅当

时，等号成立.问题1

如果

，分别用

代替重要不等式中的可以得到什么结论？取得等号的条件是什么？

当且仅当

时，等号成立.情境创设导入课题

称

为基本不等式，当且仅当

时，等号成立.

其中

叫做正数

的算数平均数，

叫做正数

的几何平均数.

文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.

它可以作为不等式理论的基本定理，成为支撑许多重要结果的基石，也是解决许多最值问题的有力用具.

(均值不等式)二、探寻方法证明公式二、探寻方法证明公式问题2

有哪些方法可以证明基本不等式？方法一：（作差法）

方法二：

要证

①①要证

只要证

②②要证

只要证

③③要证

只要证

④要证

只要证

④⑤显然

成立，当且仅当

时，

中等号成立.

⑤⑤当且仅当

时，等号成立.

执果索因（分析法）探寻方法证明公式问题3

如图，是圆

的直径，点是上一点，

，.过点作垂直于的弦，连接，.则：基本不等式的几何解释：圆的半径不小于弦长的一半.

（1）如何用a,b表示

?

（2）如何用a,b表示

?（3）

与

的大小关系怎样?

即：ABCEabOD探寻方法证明公式已知

，

当且仅当

时，等号成立.基本不等式的特点：1.其成立条件是两数皆为正；2.其结构为不等式一边是两数之和一边是两数之积；3.等号成立的条件是两数相等。

基本不等式：三、初试公式辨析理解初试公式辨析理解例1已知

，求函数

的最小值.解：因为

，所以

当且仅当

，即

时，等号成立，因此所求的最小值为.问题4.例1中

换成

是否成立？不等式中的1

是否为函数的最小值？

初试公式辨析理解练习题

判断正误：（1）已知

，则

的最小值为2；（

）（2）已知

则

的最小值为

；（

）

（3）函数

的最大值为5.（

）解：

当且仅当

时等号成立;解：(2)由

得

所以

当且仅当

时，等号成立;解：(3)由

得

所以当且仅当

时，等号成立.

初试公式辨析理解练习题

判断正误：（1）已知

，则

的最小值为2；（

）（2）已知

则

的最小值为

；（

）

（3）函数

的最大值为5.（

）问题5.观察题目中的代数式的形式，和最值有什么关系？可以证明吗？初试公式辨析理解

例2已知

都是正数，求证：（1）如果积

等于定值

,那么当

时，和

有最小值

；（2）如果和

等于定值

,那么当

时，积

有最大值.证明：因为

都是正数，所以.（1）当积

等于定值

时,所以当且仅当

时，上式等号成立.于是，当

时，和

有最小值.初试公式辨析理解例2已知

都是正数，求证：（1）如果积

等于定值

,那么当

时，和

有最小值

；（2）如果和

等于定值

,那么当

时，积

有最大值.证明：因为

都是正数，所以.（2）当和

等于定值

时,所以当且仅当

时，上式等号成立.于是，当

时，积

有最大值.

积定和最小，和定积最大初试公式辨析理解问题6用基本不等式求最值的条件是什么？正定等

为正实数

积或和为定值

等号成立时

相等“一正、二定、三相等”四、巩固强化综合提升巩固强化综合提升例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为

，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？巩固强化综合提升当且仅当

时，上式等号成立.所以

故将贮水池的池底设计成为边长为40

的正方形时总造价最低，最低总造价为

元.例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为

，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？解：

设贮水池池底的相邻两条边的边长分别

水池的总造价为

元.根据题意，有

由容积为

，可得

即巩固强化综合提升课堂小结1.知识内容：一个公式、两个模型、三项注意；一个公式：,当且仅当

时，等号成立;两个模型：积定和最小