江苏省南京某中学2024年高一年级下册期末考试数学试题及答案

2023-2024学年第二学期高一年级期末测试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，复数z满足|z|=l,则Iz—i|的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

2.已知数据3,7,a,6的平均数是4,则这组数据的标准差为()

空c画叵

A,”B.D.

24,22

3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，N表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，

B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正

面向上的点数之和是7"，则（）

A./与3互斥B.B与C互为对立C./与2相互独立D./与C相互独立

4.已知两个不重合的平面a,£和三条不重合的直线a,b,c,则下列四个命题中正确的是

（）

A.若bua,贝！Jq〃aB.若a_L6,b-Lc,贝!|a〃c

C.allB，b//p,aua,bua,贝!JQ〃夕D.a//a,auB，aC(i=b,贝!Ja〃6

5.已知sin(8+匹)=2cos仇则tan28=)

6

A.]

D.23

6.已知非零向量访6满足(。-6)_L(a+2》),且2㈤=3|6],则向量a,。的夹角的余弦值

为（）

AB.--D-8

-48

7.如图，正方体4BCD—42CQ的棱长为3,线段均）上有两个动点E,F,且£尸=啦,

则三棱锥4一5昉的体积是（）

8.如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成,

直径分别为直角三角形A8C的斜边48，直角边BC,AC,N为/C的中

7

点，点。在以4c为直径的半圆上，已知cosNQNC='，COSN£U5=£,

2565

N

AR

则以直角边NC,8c为直径的两个半圆的面积之比为)

A.16：9B.144：25

C.225：64D.160：81

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数Zl,Z2,下列说法正确的是()

A.若Z1=Z2,则Z1=Z2B.若|zi|=|z2|,则Z彳=z々

C.若Z2W0,则(a)=二D.若|zi|=|z2］，则Z1・Z1=Z2・Z2

Z?Z2

10.已知向量。=(3，sin。)，Z>=(cos<9,1),0W6W兀，下列说法正确的是()

A.若a-Lb,则tan9=-3

B.q与〃一定不是平行向量

C.|〃+A|的最大值为2也

D.若㈤=#㈤，且b在"上的投影向量为一也.,则。与b的夹角为囱

46

11.如图，四边形/8C〃是边长为2a的正方形，点E,尸分别为边BC,的中点，将

△ABE,LECF,△EEU分别沿EF,E4折起，使C,。三点重合于点尸，则

()

A.APLEF

B.点P在平面/昉内的射影为△/郎的外心

C.二面角/一斯一尸的正弦值为］

3

D.四面体P-AEF的外接球的体积为#71〃

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在正四棱台中，48=2,/闵=1,4Al=亚,则该棱台的体积为

3甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为:，:，!那么三人中恰有两人

合格的概率是.

14.如图，在△NBC中，。是8c的中点，£在48边上，BE=2EA,AD与CE交于点O,

若就•就=6茄・法，则迎的值是

AC

BDC

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知复数z=l—i.

⑴若zi=---，求Z1;

3—4i

⑵若忌|=2,且Z-Z2是纯虚数，求Z2.

16.（15分）

某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作.现随机抽取了100名

候选者的面试成绩并分成五组：第一组［45,55),第二组［55

65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,频率

绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组

的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

(1)求°、6的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位

数；

(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，

然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概

率.(要求列出样本空间进行计算)

17.（15分）

如图，在直三棱柱/8C—48C1中，M为棱/C的中点,

AB=BC,AC=\f2AAi.

(1)求证：SC//平面4氏饮；

(2)求证：NG_L平面小8”.

18.（17分）

如图，已知△/BC中，AC=4,ZBCA=90°,ZBAC=60°,M,N为线段上两点,

且NVCN=30。.

(1)^CMLAB,求丽•无的值；

(2)设/4。勿=0,试将△MCN的面积S表示为。的

函数，并求其最大值.

(3)若BN=-M,求COS//CM的值.

8

19.（17分）

(1)当6=彳时，求与平面BCD所成角的正切;

(2)当。=；时，求2到平面MCD的距离；

(3)①当cos61=1,求cosZA'BC的值.

②如图二，在三棱锥0—EFG中，己知N0E产=a,ZFEG=/3,/0EG=y,二面角

。一跖一G的大小为仇试直接写出利用a,夕，y的三角函数表示cos。的结论，不需要证

BC

2023-2024学年第二学期高一年级期末测试

数学试卷

命题：高一数学备课组审核：朱骏

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，复数z满足曰=1,则i1的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】设复数z在复平面内所对的点为Z,由团=1知，Z在以(0,0)为圆心，半径为1

的圆上，匕一i|表示点Z与(0,1)的距离，.，电一4max=l+l=2.故选B.

2.已知数据3,7,a,6的平均数是4,则这组数据的标准差为()

1529「画n迤

iA\.•LRJ••\J•

2422

【答案】C

r缶刀十二y+3+7+〃+6八十至(3—4尸+(7—4/+(0—4)2+(6—4/30痂

［解析］由----------=4,得q=0,万差=----------------------------------二一,故

444

标准差=画.故选C.

2

3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，/表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，

3表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4"，C表示事件“两次抛掷，骰子

正面向上的点数之和是7"，则()

A.4与5互斥B.2与C互为对立C./与2相互独立D./与C相互独立

【答案】D

【解析】显然选项A,选项B错误.对于选项C与D,先后抛掷两枚骰子出现点数的所有

可能情况为36种，尸⑷=告=:，P(5)=5=白尸(。=告=)，P(AB)=±P(AO=J.由

于P(AB)WP(A)P(B),P(AC)=P(A)P{C},所以/与3不独立，Z与C相互独立，故选

D.

4.已知两个不重合的平面a,力和三条不重合的直线Q,b,c,则下列四个命题中正确的是

()

A.若q〃b,bua,贝!Ja〃aB.若〃_Lb,bA.c,则q〃c

C.a//P，b//P，qua,bua,贝！Ja〃/D.a//a,aC\/3=b,贝！Ja〃b

【答案】D

【解析】a〃b,bua时存在QUO的情形，所以选项A错误；当aGc=Z,且6垂直于a,c

确定的平面时也满足aJ_6,b±c,所以选项B错误；对于C选项，当/时，存

在aua,bua,且a〃/,b〃/的情形，此时符合b///3,故选项C错误；根据线

面平行的性质定理，知选项D正确，故选D.

5.已知sin(8+匹)=2cos。，贝!Itan2<9=()

6

【答案】c

【解析】由sin(^+-)=2cos6,,得重sine+lcose=2cos。，化简得重sin。-3cos8=0,解得tan。

62222

2tan。2义3

=G由二倍角公式得tan28=3,故选c.

1—tan201—(3)2

6.已知非零向量a,满足(〃一〃)j_g+2A),且2|/=3|b|,则向量a,b的夹角的余弦值

为()

A--6B.--D-8

8

【答案】A

【解析】：向量。，b满足(a-Z»)±(«+2A),(«一方>(。+26)=0,即«2+«7>~2/>2=0,

~~b2

ab4

•*»ab=2b2——a2—2A2——~b2=———b21.'cosVa,b>1,故选A.

44«lI6沁6

2

7.如图，正方体ABC。-N/CQ的棱长为3,线段3以上有两个动点E,F,且瓦仁也,

则三棱锥4—的体积是)

3

A.

2

【答案】A

【解析】由于的高=881=3,所以ABM的面积S=Lx/*3=述，又/到平面

22

8跖的距离即/到平面族。Q的距离，所以三棱锥力—2跖的高=1/C=域，所以

22

三棱锥4—尸的体积=1X"X述=3,故选A.

3222

8.如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角

三角形/8C的斜边直角边8C,AC,N为/C的中点,点。在以NC为直径的半圆

7QQ

上，已知cosNZ)NC=—，cosZDAB=一，则以直角边4C,3c为直径的两个半圆的面

2565

积之比为)

A.16：9B.144：25C.225：64D.160：81

【答案】B____________

【解析】由题意可知/DNC=2/D/N,所以cos/D/N=\l+c°：DNC=g,sinZDAN

=尸手，因为COS皿2磊—'3噂

cosZCAB=cos(ZDAB-ZDAN)^~X-+—X-=—,tanNCAB=*,所以RtASC/

6556551312

中，丝=里所以以直角边/c,2C为直径的两个半圆的面积之比为144：25,故选B.

BC5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数幻，Z2,下列说法正确的是()

A.若Z1=Z2,则Z1=Z2B.若|zj=|z21，则

77Z1一—

C.若Z2#0,则(」)=二D.若|zj=|z21，则Z「Z1=Z2-Z2

Z2Z2

【答案】ACD

【解析】若Zl=£,则Z1与Z2互为共辗复数，所以3=Z2,故选项A正确；不妨取Zl=l,

Z2=i,则一尸㈤,而z』=l,Z2*2=-l,所以zj先22,故选项B错误；根据共辗复数的

性质知,选项C正确；若|Z1|=|Z2|,又|Z1F=Z「Z1,|22F=Z2-Z2,则Z1•Z1=Z2,Z2,故选项

D正确.故选ACD.

10.已知向量。=(3，sin。)，b—(cosd,1),0W6W兀，下列说法正确的是()

A.若a_L"贝！JtanO=一3

B.a与一定不是平行向量

C.|a+b|的最大值为2/

D.若㈤=#㈤，且6在a上的投影向量为一也a,则。与b的夹角为宜

46

【答案】ABD

【解析】对于选项A,若则。力=\6«)5。+$亩6=0,所以tan0=—、j3,故选项A正

确；对于选项B,由于sin0cos0<3，所以sinOcosOW4,。与6一定不是平行向量，

故选项B正确；对于选项C,因为a+g(d3+cos。,sinO+1),所以|a+b|=

+cosd)2+(sin0+1尸=、5+4sin(。+三),所以当6=匹时|a+b|取得最大值，最大

\136

值为3,故选项C错误；对于选项D,方在。上的投影向量为缺

\a\\a\\a\2

所以12=一?，所以cos<a,b>=消X=«又缺X(-弓=

4«124\a\\b\«124

,又0W<a,b>W兀，所以<a,b>=包，故选项D正确.故选ABD.

26

11.如图，四边形N8CD是边长为2a的正方形，点£,b分别为边BC,CO的中点，将

△ABE,4ECF,分别沿EF,E4折起，使8,C,。三点重合于点P,则

A.APLEF

B.点P在平面内的射影为的外心

C.二面角/一所一尸的正弦值为1

3

D.四面体P-AEF的外接球的体积为水侬3

【答案】AD

【解析】对于选项A,,:APLPF,AP_LPE,,：PECPF=P,；.4P_L平面PER平面

PEF,C.APLEF,故选项A正确；对于选项B,设尸在底面/斯上的射影为。，又因

为APLEF,则NO_LM,同理可证EO_L4F,FOLAE,即点尸

在平面内的射影为44跖的垂心，又由△/昉的形状得其垂

心与外心不重合，所以选项B错误；对于选项C,设40与EF交

于点G,易得NPG/为二面角/一斯一P的平面角.在Rt^/PG

中，有cos/尸G/="=l,故选项C错误；对于选项D,由于三

AG3

棱锥P-AEF的三条侧棱PA、PE、PF两两互相垂直，且PA=2a,

尸£=尸尸=/把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为也2+12+Fa=#a,则其外

接球的半径为?。，则其外接球的体积%=$义(：.)3=6侬3,故选项D正确.故选AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在正四棱台中，48=2,小囱=1,44尸也,则该棱台的体积为

s

【答案】△历

6

【解析】如图，将正四棱台/BCD—45QO1补成正四棱锥，则N。

=啦，SA=2\j2,。。1=?,故r=1(Si+&+-^S2)/z-

J/=1X(22+12+^22>Q2)X^=^

326

13.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为:，|那么三人中恰有两人

合格的概率是.

【答案】鼻

【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括

三种情况，这三种情况是互斥的，,三人中恰有两人合格的概率1X3X2+2XL><2+

345345

-2X-3X£3=—7.

34515

14.如图，在中，。是2C的中点，£在48边上，BE=2EA,AD与CE交于点O,

若林•就=6茄・诙，则丝的值是.

AC

【答案】3

【解析】设静=/LZB,则拓='就+'就=土匠+4就，由于£三宙共热以

2222

BDC

—+-=1,解得;1=1.所以茄=1次+1芯，又反＜=就一前=元一I前.由前•就'

222443

=6茄•反1，得次•就=6(1焉+工就)•(就'-1前),化简得3就2=前2,所以四=贴.

443AC

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知复数z=l—i.

(1)若zi=——,求Z1；

⑵若IT=2,且Z-Z2是纯虚数，求Z2.

解⑴•.•复数Z=l—i,

.z1—i(1—i)(3+4i)3+4i—3i4i27+i7.1.(人

3-4i3-4i(3-4i)(3+4i)32-(4i)2252525

(2)设Z2=a+6i,a,b^R,

*.*|Z21=\[a2+b2=2,a2+b2=4®..............................................................................8分

又：zN2=(l_i)(a+4)=(a+6)+(6-q)i,

；.a+6=0,b—aWO②，................................................................................................10分

由①②联立，解得

•'-Z2=\l2—\[2i或Z2=一啦+\12t.13分

16.(15分)

某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿志选拔面试工作.现随机抽取了100名

候选者的面试成绩并分成五组：第一组［45,55),第二组［55

65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,小甦

绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组0045］组匣-

的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

,1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位os"二二J

(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，0^455565758595

然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概

率.(要求列出样本空间进行计算)

解(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,

所以(0.045+0.020+a)X10=0.7,

解得a=0.005,....................................................................................................................2分

所以前两组的频率之和为1—0.7=0.3,

即(a+6)X10=0.3,所以6=0.025；................................................................................4分

面试成绩的中位数为65+必义10-69.4....................................................................7分

0.45

(2)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，

故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4,分别设为a,b,c,d,第五组志愿者人

数为1,设为e,...................................................................................................................9分

则样本空间。={(a，b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d).(b,e),(c,d),(c,

e),(d,e)},样本空间共包含10个样本点................................11分

设“从这5人中选出2人来自同一组”的事件记为4

则4={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,t/)},/包含6个样本点,

................................................................................................................................................13分

故选出的两人来自同一组的概率为0=3....................................................................15分

105

17.(15分)

如图，在直三棱柱/8C—481G中，M为棱/C的中点，

AB=BC,AC=心AAi.„

D\

(1)求证：SC//平面//“；出

(2)求证：NG，平面

解(1)连接/Bi,与/正两线交于点。，连接。\\

在△S/C中。分别为NC,/S的中点，'

所以。的/BC,........................................................................A'MC

又QWu平面AiBM,81az平面AiBM,

所以BiC//平面48M..............................................................

(2)因为在直三棱柱N5C—431cl中，

底面A8C,Wu平面A8C,所以/4_LW./3''船

又M为棱/C的中点，AB=BC,所以取C.\''、/。/PC!

因为X4C,AAi,/Cu平面NCC/i,\

所以BML平面ACCxAx,............................、'7|

AM

又/Ciu平面NCC/i,所以的W_L4Ci...............................

因为/。=仍44卜不妨设NC=2,所以44户也，AM^l.

在RtA^CCi和Rt/\AiAM中,tan//CC=tan//iM4=S，

所以N/QC=//,即ZAC1C+ZC/C=ZAiMA+ZC/C=90°,

所以.........................................................13分

又卸BM,/i"u平面

所以NG_L平面48M.15分

18.(17分)

如图，已知△NBC中，AC=4,ZBCA=90°,/B4c=60°,M,N为线段4B上两点,

且NMCN=30°.

(1)^CMLAB,求丽■•费的值；

(2)设NNCM=O,试将△MCN的面积S表示为。的

函数，并求其最大值.

⑶若BN=『M,求cosZACM的值.

解(1)△G4M中，AC=4,CMLAB,/MAC=/BAC=60°,

所以CM=AC-sm600=2\l3.

所以丽•史=\CM\-\CB\-cosZBCM=ICM\-CM\=12..........................................4分

(2)在△NCA/中，ZACM=6(0°^6^60°),AC=4,ZMAC=60°,

CM4c2\b

所以,所以CM：.....................................................6分

sin60°sin(60。+。)sin(0+60°)

在△/CN中，/ACN=6+30°,4c=4,/NAC=60°,

所以焉=sin(小’所以CN=sin(工r£'

........................................8分

1aJ

所以S^MN=^CM-C7V-sin30°-.z,x——不一

2sin(8+60°)cos。-sin^cos^H-----cos20

22

一应以+返建叁+也―2sin(26+60°)+3''

222

因为0°W0W60°,所以60°W20+60°W180。，所以当且仅当20+60°=180°,即6=60°

时，△CW的面积取最大值为43.............................................................................12分

⑶当BN=^AM时，S^CBN=^SACAM,

88

即L8CCMsin/8CN=«上/C-CWsin//CW,

282

即8CN-sinNBCN=yJiCM-sinZACM.

设//C"=。，由(2)得C"=———CN=空,且/BCN=60°-0,

sin(8+60°)cos。

所以4^sin(60°-0sin(6O0+0)=sin<9cos6>,..................................................................14分

4/[(?cos8)2一(|sin0)2]=sin0cos^,所以A/2sin20+sin^cos^—3^2cos2^=0,

两边同除以cos?仇得也tadO+tan。-3/=0,

解得tanO=S，或tanO=一^^（舍去）.

16分

此时cosZACM=—........................................................................................................17分

3

19.（17分）

(1)当。=彳时，求HC与平面BCD所成角的正切;

(2)当。=；时，求2到平面©CD的距离;

⑶①当cosO=；,求cosZA,BC的值.

②如图二，在三棱锥O—EFG中，已知/OE尸=a,ZFEG=/3,/OEG=y,二面角

。一跖一G的大小为0.试直接写出利用a,p,y的三角函数表示cos。的结论，不需要证

明.

解(1)过/作/'HLBD于H,连接AH,CH.