【一轮复习讲义】2024年高考数学考点题型归纳与方法总结（新高考）解析版第41讲椭圆及其性质

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第41讲椭圆及其性质（精讲）

题型目录一览

①椭圆的定义及其应

用

②求椭圆的标准方程

③椭圆的几何性质

④椭圆的离心率

一、知识点梳理

一、椭圆的定义

平面内与两个定点片，工的距离之和等于常数2。（2a>|看6|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为:

{P||尸耳|+1%|=2a{2a>\F}F21=2c>0)}

注意：当2〃=2c时，点的轨迹是线段；当2a<2c时，点的轨迹不存在.

统一方程iwc2+ny1=l(m>0,n>0,mM)

[x=acosd、，乙w,/、[x=acos0、rA”，,、

参数方程1z.A，。为参数(。£[。,2扪)7.八&为参数(。£[。,2乃])

[y=/7sine[y=bsm。

第一定义到两定点月、工的距离之和等于常数2a,§P\MFi\+\MF2\=2a（2a＞|百乙|）

范围—a<x<aS--b<y<b-b<x<bS--a<y<a

A1(—a,0)、A2(a,0)A1(0,—a)、A，2^0,

顶点

B](O,询、B2(O,fe)BI(-反0)、B2(Z7,0)

轴长长轴长=2a,短轴长=2b长轴长=2Q,短轴长=2A

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（一c,0）、g（c,0）片(0,-c)、乙(O,c)

222

焦距\FtF2\=2c(c=a-b)

离心率一产产F（0＜e＜D

22

对于过椭圆上一点（x。,%）的切线方程,只需将椭圆方程中X换为xox,y换为为y

可得

焦半径最大值a+c,最小值〃-c

【常用结论】

1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b生2.

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为。-c.

2.椭圆的切线

22

①椭圆二+4=1（4＞。＞0）上一点P（毛，为）处的切线方程是华+誓=1；

abab

22

②过椭圆二+1=1（a＞匕＞0）外一点P®,%）,所引两条切线的切点弦方程是算+理=1;

abab

22

③椭圆1+与=1（。＞匕＞0）与直线Ax+3y+C=0相切的条件是片片+长廿…匕

ab

二、题型分类精讲

题型二J陌圆的定义及其应用

畲策略方法椭圆定义的应用类型及方法

⑴探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆.

⑵应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PB|+|PR|=2a实现等量转换.

⑶焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题.

【典例1】（单选题）椭圆二+匕=1的两个焦点分别为斗F2,过耳的直线交椭圆于4、8两点，则，4班

1625

的周长是（）

A.10B.12C.16D.20

【答案】D

【分析】根据椭圆定义进行求解.

【详解】由题意得。=5*=4,

由椭圆定义可知，|前|+|钻|=|跖|+|巡|=2a=10,

所以A班的周长为|峰|+|明+|典|=|叫|+|盟|+忸闾+忸司=20.

故选：D

【题型训练】

一、单选题

1.方程-4)2+r++"2+r=I。的化简结果是()

【答案】C

【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.

【详解】方程的几何意义为动点(x,y)到定点(-4,0)和(4,0)的距离和为10,并且10>8,

所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为2a的椭圆，所以a=5,c=4,

22

根据〃=〃一/=9，所以椭圆方程为二+乙=1.

259

故选：C.

22

2.已知点尸为椭圆亍+三=1上的一点，工,工为该椭圆的两个焦点，若俨阊=3|尸耳则归耳|=()

A.|B.—C.1D.3

22

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义进行求解.

22

【详解】因为点P为椭圆'+<=1上的一点，所以|「耳|+|P用=4,因为|尸阊=3|尸£|,所以|尸耳|=1.

故选：C.

3.椭圆(+葛=1的两个焦点分别为耳、F2,过居的直线交椭圆于4B两点,则小洱的周长是()

A.10B.12C.16D.20

【答案】D

【分析】根据椭圆定义进行求解.

【详解】由题意得。=5*=4,

由椭圆定义可知，|然|+|钻|=|跖|+|典|=2a=10,

所以AM的周长为|A耳|+|4?|+忸即=|/囱+卜阊+忸阊+|%|=20.

故选：D

4.已知椭圆C:=+/=15>1），4，凡为两个焦点，P为椭圆C上一点，若△尸月月的周长为4,贝1］。=（

a

35

A.2B.3C.—D.一

24

【答案】D

【分析】根据椭圆的方程可得。涉，。的关系，结合△产£工的周长，列方程求解，即得答案.

【详解】设椭圆C的焦距为2c,则，+1=",

35

△尸片耳的周长为2a+2c=4,解得c=1,a=^,

44

故选：D

22

5.已知耳B是椭圆C噌+古=1的两个焦点，点M在C上，则叫||叫的最大值为（）

A.8B.9C.16D.18

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解.

【详解】由椭圆的定义可得|町|+|"闾=2。=8,

所以由基本不等式可得|叫|阿闾《也媪答引）=16,

当且仅当|岫|=|哂|=4时取得等号,

故选:C.

22

6.已知△尸。尸的顶点尸,。在椭圆上+上=1上，顶点/是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在PQ边

1612

上，则△PQP的周长是（）

A.12B.4后C.16D.10

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义求解即可.

【详解】设椭圆的另外一个焦点为片，如图,

则△PQ尸的周长为|尸@+|尸耳+|纱|=|尸/+|尸耳+（依耳|+|改|）=2a+2a=4a=16,

故选：C.

22

7.已知椭圆C会+亳=1的左、右焦点分别为耳，招，点尸是椭圆C上的动点，〃?=阀|，n=\PF2\,则

竺4H7上+7的7最小值为（）

mn

20-3eD20+3救

A.2Bc

8-i*9•9

【答案】A

【分析】根据椭圆定义得机+〃=8,再利用基本不等式求解最值即可.

22

【详解】因为点P是椭圆C：L+^=1上的动点，m=|母;n^\PF2\,所以m+〃=8,

1612

Am+n

所以

mn

、r,r-tft-t、r,4〃Z"8161n.、、.

当且仅当——=一即加=不九=:■时，等节成立.

nm33

故选:A.

8.已知椭圆C：5+]=1的左、右焦点分别为耳，乙，A是C上一点，8（2,1）,则+的最大值

为（）

A.7B.8C.9D.11

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义可得|AB|+|M|=|AB|+2a-|”|,利用|45日然|W忸周可求|川?|+M川的最大值.

如图，连接「工,M|AB|+\AF^\AB\+2a-\AF2\=6+\AB\-\AF2\,

而|知|-|隹|<|典|=1,当且仅当A,工,8共线且工在A3中间时等号成立，

故|钿|+|相|的最大值为7.

故选:A.

22

9.已知P是椭圆C:\+q=l的左焦点，点M在C上，N在P:x2+（y-3）2=2x±,则—的最

大值是（）

A.2B.V10-1C.岳-1D.V13+1

【答案】A

【分析】求得圆心坐标和半径，利用椭圆得到定义转化为|阿H“N|=2a-（|M耳|+|脑V|）,结合圆的性质，

求得（|M£|+|MN|焉=户用-r,进而得到答案.

【详解】由尸:养+（y-3?=2x,可得（fz+（y-3）2=1,

可得圆，的圆心坐标为尸（1,3）,半径厂=1,

22

由椭圆C:三+匕=1,可得”2,

43

设椭圆的右焦点为匕，根据椭圆的定义可得|MH=2a-|M耳

所以|力甸肱V|=2a-（|八闺+\MN\）,又由-乙

如图所示，当点用四点共线时，即PW,",6时，|町|+pW|取得最小值,

最小值为(|次|+①„=(|M4|+|MP|-r)=|「耳|-r=3-1=2,

所以(|MF|ACV|)1mx=2x2-2=2.

10.若£(0,-3),工(0,3),点P到耳，尸?的距离之和为1。，则点尸的轨迹方程是

v22

【答案】匕+土=1

2516

【分析】根据椭圆的第一定义，得到，岑|+|/句=10>闺闾=6,得至1」2。=10,2。=6,进而计算求解，可得

答案.

【详解】因为|「耳|+|尸耳］=10>|耳名|=6,所以点尸的轨迹是以耳，尸2为焦点的椭圆，其中

_______22

a=5,c=3,b=-02=4,故点P的轨迹方程为会+,=1.

2丫2

故答案为：工v+2=1

2516

22

11.已知椭圆工+匕=1的左、右焦点分别为%F2,过匕的直线交椭圆于A,2两点，若|然|+忸闾=14,

369

则|A.=.

【答案】10

【分析】根据椭圆的定义可得|A6|+忸鸟|+|ABU4a,结合题意即可求解.

【详解】因为a=6,|前|+|钻|=2。，忸用+忸引=2a,

两式相加得|M|+|%|+|AB|=4a=24.

又|A玛|+|巡|=14,所以|明=10.

故答案为：10.

12.已知椭圆江+亡=1的左、右焦点分别为片、工，若椭圆上的点尸满足I力"=2|"|,贝。|列"=______

94

【答案】4

【分析】根据椭圆定义，得至！]|尸耳|+|尸阊=2a=6,再由题中条件，即可得出结果.

22

【详解】由题意，在椭圆5+3=1中，归国+1尸段=2。=6,

又归耳|=2|「局，所以引产周=6,因此|尸耳|=4.

故答案为：4

【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.

22

13.已知椭圆点+3=1的左、右焦点分别为F2,点尸在椭圆上，若线段的中点在y轴上，\PFi\

-\PF2\=.

【答案】I

【分析】因为线段尸耳的中点在y轴上得I尸阊的长，进而求得|尸叶-归阊・

【详解】因为线段P片的中点在y轴上，可得尸尸?〃》轴，所以尸轴，

所以陷1=?=（附|=24-质|=6->],

所以归川-B巴卜、

故答案为：|.

22

14.设4是椭圆三+七=1的左焦点，P为椭圆上任一点，点。的坐标为（T4）,则|PQ|+|P制的最大值

为.

【答案】U

【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案.

22

【详解】由题意可得。=3,6=逐，c=7a-b=79-5=2，

所以耳（—2,0）,五（2,0%

因为I7耳|+|尸刃=2。=6,

所以|尸片|+|尸。|=6-|尸乙|+|尸。区6+|。8|；

因为IQ&1=7（-1-2）*2+（4-0）2=5，

所以|即|+|尸。区11.

故答案为：11.

题型二求椭圆的标准方程

畲策略方法待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

也*:根据条件判断椭圆的焦点是在X轴上，还是I

一一一二一一；在y轴上，或者是两个坐标轴上都有可能：

作判断，（这时需要分类讨论）：

0.-----------------------二----------;

第二步：根据上述判断设方程为4+^=l（a>6>0）：

设方程;或斗+号=1（。>6>0）

0:二二二二二二二二二二二二二

至•二根据已知条件，建立关于a,b,c的方程（组）：

找关系注意椭圆中固有的等量关系c2=a2_&2）

二二一卜［解方程组，将解代入所设方程，得所求

定结果I:.——

【典例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A（g,-2）和8（—2石，1）两点;

（2）a=4,c=s/15；

（3）过点P（—3,2）,且与椭圆工+上1=1有相同的焦点.

94

【答案】（1）二+t=1；（2）二+/=1或无2=1（3）反+片=1

【分析】（1）利用待定系数法求得椭圆方程;

(2)求得6,根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；

(3)首先求得,2,然后利用P点坐标求得片,从，由此求得椭圆方程.

【详解】(1)设所求椭圆方程为+町2=1(心0,〃>0,

由小万,-2)和川-2百,1)两点在椭圆上可得

+〃・（—2）2=1即3m+4〃=1

根・（-2后+〃42=112m+n=l

1

m=——

解得1;

15

22

故所求椭圆的标准方程为土+匕=1.

155

(2)因为〃=4,C=^/i5所以52=〃2—02=1,b=l

所以当焦点在“轴上时，椭圆的标准方程是工+丁=1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是2+-=1.

1616

22

(3)因为所求的椭圆与椭圆±+工=1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且C2=5.

94

22

设所求椭圆的标准方程为三+方=l(a>b>0).

因为所求椭圆过点尸(-3,2),所以有59+方4=1①

ab

又。2—》2=。2=5,②

由①②解得解=15,方2=10.

故所求椭圆的标准方程为］+A=1・

【题型训练】

一、单选题

22

1.“加<2”是“方程^+上=1表示椭圆”的()

2-mm+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.

2-m>0

22-1<m<2

【详解】方程=匚+上=1表示椭圆O,m+1>00<1

2-mm+1mw一

2-mm+12

22

所以“加<2”是“方程一^+上=1表示椭圆”的必要不充分条件,

2-mm+1

故选：B.

22

2.设椭圆二+与=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳B，上顶点为反若忸局=|耳闻=4,则该椭圆的方

ab

程为（）

A.JCX—_]

R

D.-----------1------=1D

1612164128-三卜

【答案】A

【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到。=2c=4,进而求得b的值，即可求解.

【详解】由椭圆的几何性质，因为|巡卜阳司=4,可得a=2c=4,

22

所以a=4,c=2,贝心=7?=7=26，所以椭圆的方程为'+上=「

1612

故选：A.

3.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，Fi,B为C的两个焦点，C的短轴长为4,且C上存在

一点P,使得IPFi\=6\PF2\,则C的方程可能为（）

A.j=lB/+y2_]

49104

22V2V2

C.土+匕=1D.土+二=1

4748

【答案】A

【分析】由题6=2,由|尸胤=6-闾得a的取值范围，选出椭圆的方程.

【详解】因为|尸耳|+户闾=2a,怛K|=6|「闻，可得「闾=一

又因为|尸目=一加一°,所以7c25a,平方可得49（〃-从）225a2,

49

由题Z?=2,所以。2之高.

6

故选：A.

22

4.己知椭圆C:=+[=l（a>6>0）的左、右焦点分别为用B，〃为C上一点，若M片的中点为（0,1）,且

ab

△MKB的周长为8+4立，则C的标准方程为（）

r2v222

A.—+^=1B.二十二=1

16884

c"2.1D.J

1643216

【答案】A

【分析】根据的周长可得a+c=4+2应，由西的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得。/关

系式，解方程可得。力的值，即可求得答案

【详解】因为△询工的周长为8+4攻，所以2cz+2c=8+40,贝！la+c=4+2后,

又与(-c,O),M£的中点为(0,1),所以M的坐标为河(c,2),

故(+*=则5=2'

结合a+c=4+20,解得a=4,b=c=2后，

22

所以椭圆C的标准方程为3上I,

故选：A

5.已知椭圆C的焦点为月(0,-2),居(0,2).过点居的直线与C交于A,8两点.若小洱的周长为12,则

椭圆C的标准方程为)

222x2

A.—r+^v=1B.匕v+一=1

9595。泉+「

【答案】B

【分析】根据已知条件求得。，如由此求得椭圆C的标准方程.

c=2

【详解】依题意4〃=12,解得a=3,b=非9

a2=b2+c2

由于椭圆的焦点在y轴上,

22

所以椭圆c的标准方程为工+土=1.

95

故选：B

6.已知直线3》-2丁-6=0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为()

Af丁4丫2

A.——+—=1B.—+y2=l

949

C-D.它+/=1

949

【答案】C

【分析】求出直线3x-2y-6=。与两坐标轴的焦点为（0,-3）,（2,0）.根据卜3|>2,可设椭圆的方程为

22

H=求出。,6即可.

ab

【详解】令x=0,可得尸-3；令y=0,可得x=2.

则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为（0,-3）,（2,0）.

因为卜3|>2,所以椭圆的焦点在y轴上.

22

设椭圆的方程为斗+5=1,贝!M=3,b=2,

ab

所以椭圆的方程为二+二=1.

94

故选：C.

22

7.已知椭圆E：5右焦点为（也叫其上下顶点分别为。，C2,点A（L0）,AQ±AC2,

则该椭圆的标准方程为（）

r2v2R32,

A.----1-----=1D.-----1-----=1

3443

C.x2+^=l

D.—+y2=l

33

【答案】D

【分析】由椭圆的几何性质可知上下顶点坐标，再由向量数量积可得6"即可得到答案.

【详解】根据题意可知，G（Qb），C式0,-加；

所以AQ=(―1/)，AC2=(-1-b),

又AC；J_AC；,所以AC].AC=l-〃=0,可得廿=1

在椭圆中，c=V29又/=//+,所以〃2=3

即椭圆的标准方程为

故选：D.

8.若椭圆c的中心为坐标原点、焦点在y轴上；顺次连接c的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形，顺

次连接C的四个顶点构成四边形的面积为46，则C的方程为（）

2222y22

匕+±=乙+匕X

A.1B.=1C.^+—=1D

436284-

【答案】A

a=2c

【分析】由题可知，2b=4陋,解之即可得a和b的值，从而求得椭圆的方程;

a2=b2+c1

22

【详解】设椭圆的标准方程为点+]=l（a>b>0）,

a=2c

由题可知，<—•2a-2b=4A/3,解得a=2,b=3,

a2=b2+c2

22

故椭圆的标准方程为乙+工=1.

43

故选:A.

9.阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近

法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y

轴上，且椭圆C的离心率为91,面积为12%，则椭圆。的方程为

()

3

22V2r2y2%2v2r2

A.土r+工v=1B.匕+±=1C.乙+±=1D.^+―=1

1889818884

【答案】C

【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.

【详解】可设椭圆c的方程为（y2

H---—1(〃>b>0),

a

cV5

e=—=——2

a3a=18

由题意可得：〃份i=l2兀,解得:b2=8,

b1-a1-c2c2=10

22

所以椭圆C的方程为土+匕=1.

818

故选：C

二、填空题

22

10.已知椭圆C：3+多=1（a〉b〉0）,若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准

ab

方程为

Y2V2

【答案】土+匕=1

98

【分析】根据题意求得a=3,两焦点恰好将长轴三等分，求得c=L从而写出椭圆方程.

【详解】椭圆长轴长为6,即2a=6,得a=3,

・・•两焦点恰好将长轴三等分，

/.2c=1-2a=2,得c=L

:.b2=a2—c2=9—1=8,

Y2丫2

・•・此椭圆的标准方程为土+匕=1.

98

/2

故答案为：-+^v=1

98

11.若椭圆的两焦点分别为耳（T,。），区（4,0）,点尸在椭圆上，且三角形尸耳鸟的面积的最大值为12,则

此椭圆方程是.

【答案】三+匕［=1

2595232

【分析】根据三角形P用工的面积的最大值求得6,进而求得。，从而求得椭圆方程.

【详解】依题意C=4,2C=8,椭圆焦点在x轴上，

三角形P;转的面积的最大值为gx8xb=12nb=3,

所以a=J/+（:2=,9+16=5，

22

所以椭圆方程为土+^=1.

259

故答案为：兰+.=1

259

12.若一个椭圆的长轴长2a,短轴长2b,焦距2c成等差数列，则a:6:c=.

【答案】5:4:3

34

【分析】根据等差数列的性质和椭圆中“，b，c的关系列式，解关于a,c的方程得c=ga,从而6=即

可得出答案.

【详解】长轴长2a,短轴长2b,焦距2c成等差数列

:.4b=2a+2c,即2，=a+c,平方得4/=（a+c））,即4（〃-c?）=（a+c）。

314

化简得5c2+2℃-3/=0,即（c+a）（5c-3。）=0,解得^b^_{a+c^-a

因此，a:b:c=5:4:3.

故答案为:5:4:3.

13.已知A（l,2）,网百，-1）两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为.

【答案】H+TT-1

TT

【分析】讨论焦点在x轴和在y轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出。力,

即可得到结果.

22

【详解】当焦点在X轴上时，设椭圆的标准方程为二+3=1（。＞6＞0）,

ab

4

J.-1

3Hn

22

解得----

又因A（l,2）,网点-1）在椭圆上，所以：132

-1

记1

此时，a＜b,故舍弃.

22

当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为为+==1（。＞人＞0）,

ab

4

/+=1

又因A（l,2）,网后-1）在椭圆上,所以＜，解得/=?,/=?,所以椭圆的标准方程为

b1+=123

二+J=1

1111・

~2~3

故答案为：TT+T1-1.

T~3

三、解答题

14.根据下列条件求椭圆的标准方程

⑴两个焦点的坐标分别是（T,。）、（4,0）,椭圆上一点尸到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0,-2）、（0,2）,并且椭圆经过点rir

（3）椭圆经过两点I:，

（4）离心率为暂且过点（2,0）

丫2v2

【答案】⑴土+匕=1

259

⑵匚二=1

106

(4)上+/=1或匕+工=1

【分析】（1）依题意可得。、c,即可求出。，从而得解；

（2）依题意可得c=2,根据椭圆的定义及两点的距离公式求出。，即可求出6,从而得解；

（3）设椭圆方程为如?+町;2=1（“,机＞0）,代入点的坐标得到方程组，求出参数的值，即可得解;

（4）分焦点在x轴、y轴两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】（1）依题意c=4、2a=10,所以a=5,则川J/—?=3,

22

所以椭圆方程是三+4=1.

（2）依题意椭圆的焦点在y轴上，c=2.又椭圆经过点

_______22

所以〃=^0，则/?=a2-C2=^6，椭圆方程是—+—=1.

106

（3）设椭圆方程为如2+行2=］（〃,根＞0）,

f1

r3m+5n=1m=—22

依题意可得925,，解得?，所以椭圆方程是2+±=1.

-m+—n=l1106

n=一

144I10

（4）若焦点在x轴上，贝!|a=2,又离心率e=£=且，所以c=G，

则6=向7=1，所以椭圆方程为9+y=1;

若焦点在＞轴上，贝!16=2,又离心率《=£=3，c2=a2-b2,

解得1=16,所以椭圆方程为^+《=1;

222

综上可得，所求椭圆方程为上+丁=1或匕+±=1.

4164

题型三椭圆的几何性质

畲策略方法利用椭圆几何性质求值或范围的思路

⑴将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.

⑵将所求范围用a,b,c表示，利用a,b,c自身的范围、关系求解.

【典例1】（单选题）已知月、B为椭圆r：J+y2=l的左、右焦点，M为「上的点，则工面积的最

4

大值为（）

A.73B.2C.2港D.4

【答案】A

【分析】由于|耳玛|为定值，所以当点M到4居的距离最大时，面积取得最大值，即当M与短轴

的一个端点重合时，△儿用入面积的最大

【详解】由,+/=1,得"=4万=1,

所以4=2,6=1,<?=1。2-62=石,

由椭圆的性质可知当M与短轴的一个端点重合时，△加月区面积的最大，

所以△孙工面积的最大值为

g由瑞|6=gx2括xl=^,

故选：A

【题型训练】

一、单选题

1.椭圆工+£=1的短半轴长为（）

25

A.2&B,72C.75D.百

【答案】B

【分析】根据椭圆方程确定短半轴长即可.

【详解】由椭圆方程知：b=拒,即短半轴长为0.

故选：B

2

2.椭圆/+匕=1的焦点坐标是（）

11

A.（±2^,0）B.（0,±2石）C.（0,±V10）D.（±710,0）

【答案】C

【分析】由椭圆的标准方程求解即可.

2

【详解】由于椭圆标准方程为：X2+^=1.

11

b2=1fa2=11,所以。2=储―〃=11—1=10,贝！

又u>i,所以焦点在y轴上，故焦点坐标为：（。，土M）.

故选：c.

22

3.已知椭圆C：[+5=1（利>0）的一个焦点的坐标为（2,0）,则，"=（）

A.1B.2C.5D.9

【答案】A

【分析】根据焦点坐标得c=2,根焦点在x轴，可以判断/=5,b2=m,根据4=^+°2可得.

【详解】由题意得，c=2,

因焦点在x轴，所以"=5,b1=m>

由/=6?+，得5-相=2Z,解得m=l.

故选：A

4.国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近

似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为

40cm,短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为（）cm

A.30B.10C.20D.10#）

【答案】C

【分析】大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，据此即可求解.

【详解】在大椭圆中，a=20,6=10,则c=10VLe=—.

2

•••两椭圆扁平程度相同，.•.离心率相等，.•.在小椭圆中，e正,

2

结合6'=5,得q=10,...小椭圆的长轴长为20.

故选：C

5.已知椭圆C:工+t=1的左，右焦点分别为月，工，A,8两点都在C上，且A,8关于坐标原点对称,

下列说法错误的是（）

A.的最大值为2指

B.|A4|+|班|为定值

C.C的焦距是短轴长的2倍

D.存在点A,使得A片，Ag

【答案】C

【分析】由椭圆方程，结合椭圆的对称性、定义及余弦定理判断各项的正误即可.

【详解】由题意，cr=6>b2=21c2-a2—b2=4,所以a=b--72,c=2,

而|A3|42a=2"，||=血，所以A正确，C错误；

由椭圆的对称性知，\AF\+\BF\=\AF\+\AF^=2a=^,所以B正确;

当A在y轴上时，cos/耳=2二——<0,则N大为锐角，

2x6

所以存在点A,使得A居，48，所以D正确.

22

6.已知P是椭圆=+々=1（。>6>0）上一点，K、居分别是椭圆的左、右焦点，若△尸耳居的周长为6,

ab

且椭圆的离心率为则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（）

A.—B.1C.—D.2

22

【答案】B

【分析】由焦点三角形周长、椭圆离心率列方程求椭圆参数，结合椭圆性质即可确定椭圆上的点到椭圆焦

点的最小距离.

【详解】设椭圆的焦距为2c,且△尸耳工的周长为6,所以2a+2c=6,

椭圆的离心率i为则c$=1

2a2

2a+2c=6

a=2

综上，£=j_,解得则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为"=L

、a2

故选：B

丫2v2

7.已知椭圆C:=+2=l（a>b>0）的左右焦点分别为月,工，过招的直线交C于尸,Q两点，直线耳。交》轴

ab

于点若。尸耳|=|PQ|=2,则椭圆C的焦距为（）

A.6B.76C.1D.在

22

【答案】A

【分析】由耳。且|尸£|=|尸。=2,得到M为耳。的中点，得出尸Q