曲靖市2023-2024学年高三年级第二次教学质量监测（二统） 数学试卷（含答案）

绝密★启用前

曲靖市2023-2024学年高三年级第二次教学质量监测

数学试题卷

（本卷满分150分,考试时间为120分钟）

注意事项:

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在

答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.函数y=2x—l（xe{l,2,3}）的值域为（）

A.[1,5]B.{1,3,5}C.[2,6]D.{2,4,6}

2.小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比

数列，则其中一本书的单价必然是（）

A.25元B.18元C.20元D.16元

3.曲线，+/+2%一4、一4=0所围成的区域的面积为（）

A.J7兀B.InC.3兀D.9兀

4.已知工是等比数列{%}的前〃项和，若的=3,S3=9,则数列{勺}的公比是（）

I.1.11

A.一5或1B.不或1C.--D.-

5.大年初一，爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、读高中的姐姐以及刚满周岁的小弟弟一家六口外出游玩,

到某处景点时站成一排拍照，小弟弟由其中任意一人抱着，则不同的站法共有（）

A.120种B.480种C.600种D.720种

6.在三棱锥。-"C中，OA,OB,比两两垂直，OA=OC=3,OB=2,则直线08与平面

48C所成角的正切值等于（）

3M

数学试题卷第1页共4页

7.已知。是△Z8C的外心，9+就=2茄，5=茄，则向量就在向量数上的投影

向量为（）

A.~^BCB.-BCC.^BCD.坐前

4444

8.设点48的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,M是平面内的动点，直线"5的斜率之

积为人动点M的轨迹C与曲线必=2k|相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的

面积等于4873,则轨迹C的离心率等于（）

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（）

A.£-1|6展开式中f的系数为1B.£+工丫展开式的常数项等于20

kXjIxj

C.（x+：）6展开式的二项式系数之和为64D.0-：）展开式的系数之和为64

10.已知集合S,T,定义S?=k，|xwS,”7},则下列命题正确的是（）

A.若5={1921,1949},T={0,l},则与K的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示实数集，?表示正实数集，则即=夫+

C.若8={2024},R表示实数集，贝1」公=及

D.若5={2049},£表示正实数集，函数/（x）=/og2024X，xe（/?+）S,则2049属于函数

/（x）的值域

11.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，水面在筒车圆弧内的宽度

为3m.记筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m,在水面以下时dvO）,

若在盛水筒P某次刚出水面时开始计时，时间用f（单位：s）表示，则下列说法正确的

是（）

A."与f之间的函数关系是~=3cos图-爸+苧（40）

B.d与（之间的函数关系是"=3si〃（金-?）+苧仁0）

C.时间恰好到1小时时，水筒P处在水面以下

D.筒车旋转3周，盛水筒P离开水面的时间总和等于100s

数学试题卷第2页共4页

|口

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抽样统计得到某班8名女生的身高分别为160,155,157,155.5,154,158,155,162,

则这8名女生身高的第75百分位数是.

13.已知XGC,若，+X+1=0,贝«1+习=.

14.设监N是同一平面上的两个区域，点尸€〃，点。GN,P,0两点间距离的最

小值叫做区域监N间的距离，记作d(M,N).若M={(x,y)|ex-y+2024=0),

N={(x,^)|ln(x-2024)-y=0},贝!]d(M,N)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

袋子中有大小相同的2个白球、3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.

(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；

(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次

数X的分布列和均值.

16.(15分)

已知函数/(x)=(x+a)e*,aeR.

(1)求函数/(x)的图象在点7®,/(0))处的切线方程;

(2)讨论方程f[x)=b的实根的个数.

17.(15分)

小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形X8CZ)绕直线48逆时针旋转

1弧度时，8到达斯的位置，得到如图所示的几何体.

(1)求证：平面NC尸1•平面BDE；

(2)若〃是扇的中点，求二面角C-2M-E的正弦值.

18.(17分)

在△N3C中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,^.acosC+4^csinA=b+c.

(1)求角8的取值范围；

(2)已知△NBC内切圆的半径等于73号，求△XBC周长的取值范围.

19.(17分)

已知一菱形的边长为2,且较小内角等于60。，以菱形的对角线所在直线为对称轴的椭

圆C外接于该菱形.

(1)建立恰当的平面直角坐标系，求椭圆C的方程；

(2)已知椭圆C所在平面上的点。到椭圆C的长轴、短轴的距离依次是左,发，

点48在椭圆C上，直线4。，5。与椭圆C的长轴所在直线的两个夹角相等.求

直线43与菱形对角线的夹角的正切值；

(3)在(2)的条件下求△ABD面积的最大值.

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数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

题号12345678

答案BCDACDCB

解析：

1.（本题源于必修第一册67页例4,考查函数的三要素）

分别把x的值代入解析式，求解后选B.

2.（本题源于等差数列及等比数列的定义）

若一数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列为非零常数列，故选C.

3.（本题源于选择性必修第一册88页习题2.4第1题）

由x2+j?+2x—4y—4=0,得（x+厅+8—21=9,故该曲线围成区域的面积就是

半径为3的圆的面积，s==9乃，故选D.

4.（本题源于选择性必修第二册37页练习第1题（3））

角度一:看到%=3,邑=9,想到公比可以为1,排除C和D,若公比为一;，则生=一6，

q=12,满足邑=9,故选A.（口算即能完成解答）

33

角度二：设等比数列的公比为夕，53=q+生+%==+—+3=9,化简得

q-q

（2q+D（q-l）=0,所以夕=一；或1,故选A.

角度三：两个条件均用4和q表示，联列方程组求解后选A.（需分q=l及qol两种

情况考虑）

5.（本题源于选择性必修第三册19页例4）

首先考虑谁抱着小弟弟，有5种可能，然后5人进行全排列，所以不同的站法共有5&

=5x5x4x3x2xl=600种，故选C.

6.（本题源于选择性必修第一册41页练习第3题〉

角度一：如图所示，取NC的中点为。，连接。。,8。，由已知条件可证N08D就是

直线08与平面所成角.

因为03J.0D,0D=-AC=—，

22

3叵

所以tanN08D==---=?,铿.,故选D.

0B24

角度二：建系利用空间向量求解，但计算费时.

7.（本题源于必修第二册24页第21题，投影向量是个重要概念）

由4B+NC=24O可知。是3C的中点，则/胡C=90°,再

由|而|=|四知4cB=30°.

1D

角度一：如图，过点Z作力。•IBC,垂足为。，则=

4

-----4—

所以向量力。在向量BC上的投影向量等于。。=巳3。故选C.

4，

角度二：设前=2,则就=再，则向量就在向量团上的投影向量等于

画一码岸等前q"死］前’故选仁

8.（本题源于选择性必修第一册121页“探究”）

设“（X,力，则」——匕-=4,所以动点”的轨迹C的方程为4=一^—

x+5x—5x~-25

设轨迹C与曲线y2=2国在第一象限的交点为P（Xo，y0）,则/>0,%>0,且

2

70=2x0,由对称性可知所求矩形的面积5=2x0-2y0=y^-2y0=48百，解得外=2出,

々=6,故P（5,2闾.

4(2⑸2J

因为尸©,2月）在曲线。上，所以；1=

2

x0-25-36-25-11

轨迹C的方程可化为二一二=1,所以轨迹C是双曲线，且。2=25,〃=25；1,

25252

士、以、山口2c?25+25411223J2533

离心率e*两足：e=—-=-------=1H---=—,所rr以iue=-----,选B.

a225111111

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ABCBDABD

解析：

9.略（本题源于选择性必修第三册30页例1）

10.（本题属于新定义型问题，考查学生的数学阅读理解能力以及学生对集合、塞函数、指

数函数、对数函数基本知识的掌握情况，通过两个一百年的主要时间节点渗透爱国主义教

育，激发爱国情怀.本题也体现“多想少算”的命题意图）

对于选项A,已知5={1921,1949},7={0,1},根据所给定义，得7s={o[},

Sr={1,1921,1949},则S，与『s的全部元素之和等于3872,故选项A错误；

对于选项B,S&=卜|y=202eR}=R+,故选项B正确；

对于选项C,Rs=b|y=/M表示某函数歹=/024（xeR）的值域，值域

为[0,+8）,故选项C错误；

2049

对于选项D,xe（R+丫，设x=产9“>0）,则/（X）=log2024z=2049log2024/,

当1=2024时，/（2O242049）=2049,故选项D正确.

11.（本题源于必修第一册241页第7题，属于现实背景的实践应用问题）

筒车上的盛水筒产做匀速圆周运动，设d与1之间的函数关系式为：

t/=3sin（<y/+^）+/?0（Z>0）.

71

.•筒车每分钟转1.5圈，.•.函数的周期为40s,.•.。=工

40

.AB=OA=OB=r=3,二。到筒车轴心的距离

%=。。=半，4COB*.已知在盛水筒P某次刚出水

TT

面时开始计时，则初相°=-；，于是得到d与，之间的函数关

系为：J=3sinf—/--1+—（^0）,故选项B正确.

（203）2

3

_L、H=八.（兀乃、（717t71\（Tt5%、,,-

由诱导公式得：sm—t=cos------/+—=cos—t,故选项A正

（203）（2203）（206）

确.

l=l/,=3600s时，J=3sinf—X3600--1+—=0,故选项C错误.

（203）2

筒车旋转1周，盛水筒P离开水面的时段所对应的圆心角大小为：2万-9=与，对

应时长为红、型=变（s）,则筒车旋转3周盛水筒P离开水面的时间总和等于100s，故

'3乃3

选项D正确.（或者通过解三角不等式处理）.

三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.15913.V314.2025收

解析:

12.（本题源于必修第二册202页例2）

将数据由小到大排列为：154,155.155,155.5,157,158,160,162.

V8x75%=6,...第75百分位数是受土国■=159.

2

13.（本题源于必修第二册80页练习第4题（2））

x2+^+l=0=>f^+—=--=>x=

12）422

q=一；士与'_1+^=_1±v/,卜1+汩「3丁1±乎］=也.

NNNN

14.（本题属于新定义型问题，符号源于泛函分析的范式表达，考查学生的数学阅读理解能力

以及转化化归能力等.两个基本初等函数y=e、与y=lnx互为反函数，其图象关于直线

y=x对称，经过平移建构形成本题.教材必修第一册134-135页引出了反函数概念并探究

其图象关系）

角度一：表示函数夕=婕+2024图象上的动点P与函数歹=ln（x—2024）图

象上动点。的距离的最小值，即|P2|mY

y=ex+2024^ex=y-2024=x=ln(y—2024)，互换x,y得y=ln(x-2024),

因此，y=e*+2024与丁=ln（x-2024）互为反函数，它们的图象关于直线y=x对

4

称•|POL恰好等于函数V=e*+2024图象上的动点P（x/）到直线y=x的距离的最小

值的2倍.

点尸（x,力到直线y=x的距离d（x）=噌1=*卜、一x+2024|.

设/（x）=e、一x+2024,则,（x）=、-l,/（0）=e°-1=0,函数/（x）在（一8,0）

上单调递减，在（0,+8）上单调递增，所以/（Mms=/（0）=2025.

所以，d（x）min=®^^，|POL=2025j1，所以"（“，N）=2025jI

角度二：优秀学生可以凭直觉闪电式获得答案：

函数y=e*与y=lnx互为反函数，函数歹=e”图象上任意点与歹=Inx图象上任意点

之间的最小值恰好等于点（0,1）与（1,0）之间的距离.y=ex图象向上平移2024个单位得到

y=ex+2024的图象，y=lnx图象向右平移2024个单位得到y=ln（x-2024）的图象.

从而d（跖N）就等于点（0,2025）与点电025,0）的距离，故d（M,N）=2025jL

此题的命题意图是引导学生“多想少算今，甚至“只想不算”而快速解决问题，充分

考查学生直观想象、数据分析等学科核心素养.

四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本题源于选择性必修第三册48页第3题）

解：（1）角度一：：第一次摸到白球，.•.第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，

所求概率尸=1......................................................................

5分

4

角度二：设4="第一次摸到白球"，B="第二次摸到白球”，

则P（R）=|,P（闻=言='.

.•.所求概率P=P⑻⑷="粤=4x2=1.

5分

''尸⑷1024

（2）X的所有可能取值为0，1，2-3.6分

P（X=2）=C]10分

5

X的分布列为:

X0123

2754368

P

125125125125

.........................................11分

•.•X〜8(3,|),的均值E(x)=3x|=(..........................................13分

16.(本题源于选择性必修第二册95页例7)

解：(1)-：f(x)=(xJra)ex,/./(0)=<2.

又♦."，(x)=(x+a+l)e、，.•・&=/'(O)=a+l,........................................3分

；・函数/(x)的图象在点T(0,/(0))处的切线方程为y-a=(a+l)x

即y=(a+l)x+a........................................................................5分

(2)••・函数/(x)的定义域为底.且/,(x)=G+a+l)e、，

x<—a-1时/〈X)<0,x>—a—i时康"(x)>0,

.•./々)在(一00,-4-1)上单调递减，在(—a—1,+8)上单调递增，........8分

•••/(x)min=/(x)极小=/(-«-1)=—ir<0-.............................................9分

e

丁时/(x)<0,工>一。时/(工)>0,p

x->-co时/(X).0,xf+8时+00./

.••/(x)的大致图象如图所示............12分\：匕

••・当6<-』打时，方程/(x)=6没有实数根；।

当6=-二，或6N0时，方程/(x)=6有且只有1个实数根；

e

当一占<b<0时，方程/(x)=b有2个实数根.....................15分

e

17.(本题圆弧上点的坐标的书写可借助三角函数的定义)

解：(1)证明：•.•力斤148,AFLAD,/80幺。=4，..•力平面ZBC。，

B。u平面/8CZ),.•.月R_LB。.

6

•••480）是正方形，.・./。18。..................................3分

又•.■工。02尸=力，,8。_L平面/CR,

又BQu平面BDE,二平面4。尸J_平面BDE.........................................6分

（2）由（1）知：力£力3两两垂直，以力。,工£48所在直线分别为x,%z轴,

建立空间直角坐标系如图./以奶=45。，不妨设力8=2,则40,0,0）,A/（V2,V2,0）,

C（2,0,2）,£（0,2,2）.................8分

.-.7A7=（72,72,0）AC=（2,0,2）,万=（0,2,2）,

设加=（x是平面力MC的法向量,则

2x+2~=0

［无二+6*取X-得藕（T，1D

同理可得平面AME的一个法向量为〃=（1,-1,1）......................................12分

cos^/w-=-^—J==—,即二面角C——E的余弦值的绝对值为g.…14分

二二面角—E的正弦值为2互................15分

3

18.（本题源于必修第二册54页第22题）

解：（1）dfcosC+V3csinJ=6+c,

由正弦定理得:sinJcosC+-73sinCsinJ=sinB+sinC，...........................1分

sinAcosC+V^sinCsin力=sin4cosC+cosJsinC+sinC,............3分

即V3sinCsinJ=cosJsinC+sinC.

sinCw0,百sin力=cosZ+1,sinA--=—,6分

I6j2

7t.7157T.7t7t.

•：----<A-----<——,/.A-----=—,..A--.

666663

••角5的取值范围是(0,.........................................

8分

II

(2)vS=—bcsinA=——be,S=—Q+b+c)〃=

242、,

7

:.a+b+c=bcf即a=bc-(b+c).10分

由余弦定理得：a2=b2+c2-bc.

/.(bcf-2bc(b+c)+0+4=伍+_36c,

be=2(6+c)-3.

（当且仅当b=c时取等号），

.♦.20+c)_3W伍;,),.•.b+cM2或b+cN6.12分

3

设A48C与圆内切于点。,E,F,则力。=力R=u・tan60°=—.

2

二b+c=AC+AB>AD+AF=3,

:.b+c>6(当且仅当b=c=3时取等号).....14分

MBC的周长L=a+b+c=\lb2+c2-2bccosA+b+c

=J伍+c)2-36c+6+c>+c)2-+b+c

=1(6+c)>9(当且仅当b=c=3时两处都取等号J

一^min=9.16分

­.•c=AB>DB=—^—=^—(0<B<—

tanO2tan以3

22

..B-0时,c^+8,L~~+oo.

..A48c的周长的取值范围是［9,+8)...................................................17分

另一个角度考虑：

•.,bc=2(b+c)-3,..(Z>-2)(c-2)=1,..c-2=―--.

b-2

若b-2c0,则c一2<0,进而b+c<4,与6+cN6矛盾；

若c-2<0,则b-2<0,进而b+cv4,与b+cN6矛盾.

，b>2且c>2.

/.b-,2时，c-------F2-》+8,/.L->4-oo.

b-2

8

19.（本题是原创题）

解：（1）♦.・菱形边长等于2且较小内角等于60°,

菱形较短对角线的长度为2,较长对角线的长度为2上...............1分

以菱形较长对角线所在直线为x轴，较短对角线所在直线为y轴建立如图所示的平面直

角坐标系......................................2分

设椭圆的方程为2+}=1（。>6>0）,则。=若力=1,

2

.••椭圆。的方程为工+必=1............5分

3

（2）由对称性，不妨设点。位于第一象限，则。V2,—且点。在椭圆上.

3

•.•直线与x轴的两个夹角相等,

二直线ZO,8。的斜率存在且互为相反数...........................7分

设直线4D的斜率为2,则直线4D的方程为：歹-孝=庶一⑸,

即y=Ax+

得（1+3⑶x2+2型（1-网X+6/—2病-2=0.

设力日,弘），8々2，%），因为。一在椭圆C上,

6/一2病-23而2一2伤一五

...........9分

F=1+3G1+3-

3岳2+2园-五

将占中的左换为-左得:

1+3/

又•••直线AD的方程为:V=-Ax++y[lk

3

9

—kx-.+——-+A/2A—kx.———+

35=—^----------—

工2一玉三一