江西省2023年中考备考数学一轮复习 锐角三角函数 练习题(含解析)

江西省2023年中考备考数学一轮复习锐角三角函数练习题

一、单选题

1.（2022•江西景德镇•统考三模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，

利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长.如图，正十二边形的边长是4,则可求出此十二

边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计力的值，下面乃的值正确的是（）

2.（2022•江西赣州•统考一模）如图，将边长为石的正方形绕点8逆时针旋转30。，那么图中阴影部分的

面积为（）

D

B(B)

A.3B.V3C.3-73D.1+73

3.（2022.江西九江.统考二模）如图，ZMON=60°.①以点。为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OM、

ON于点A,C；②分别以A,C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点8；③连接AB、BC.若。4=8cm,

则四边形048c的面积为（）

A.ggcn?B.24cm2

1

C.16^/3cm2D.32y/3cm2

二、填空题

4.（2022•江西•模拟预测）如图，在MABC中，/BAC=90。，AD1BC,垂足为点线段AE与线段

C。相交于点孔MAE=AB,连接。E,ZE=ZC,若AD=3DE,则cosE的值为.

5.（2022•江西抚州•统考一模）已知的半径为2,AB是。的弦，点尸在，;。上，A3=26.若点尸到

直线AB的距离为1,则ZPAB的度数为.

6.（2022•江西九江・统考三模）如图，矩形428中，AB=3,短>=2々，点E是BC的中点，点尸在

上，FB=1,尸是矩形上一动点.若点P从点尸出发，沿尸-A->O-»C的路线运动，当NFPE=30。时，

FP的长为.

AD

7.（2022.江西萍乡•统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=4正，点E是BC的中点，点F在

AB上，FB=2,P是矩形上一动点.若点P从点F出发，沿FTATD—C的路线运动，当/FPE=30。时,

8.（2022•江西赣州•统考二模）平面直角坐标系中,。交x轴正负半轴于点A、B,点、P为。外》轴正

2

半轴上一点，C为第三象限内。上一点，交CB延长线于点已知=PH=15,

9.（2022•江西萍乡•统考一模）如图，在平面直角坐标系中，等边ABC的边3C在x轴上，其中点

B（2,0）,C（4,0）,将ABC向左平移，某直线经过点（2,2）,（4,3）,当点A落在此直线上时，则平移的距离

为.

10.（2022•江西赣州・统考二模）如图1,邻边长为2和6的矩形分割成①，②，③，④四块后，拼接成如图

2不重叠、无缝隙的正方形ABCD,则图1中£：户的长为.

图1图2

H.（2022.江西景德镇•统考三模）如图，直线尸-且无+g与坐标轴分别交于48两点，在平面直角坐

3

标系内有一点G使△A3C与△ABO全等，则点。的坐标为.

3

12.（2022•江西宜春・统考一模）如图，在mAABC中，ZC=90°,ZB=30°,8C=12,点。为8c的中

点，点E为A3上一点，把△沿。E翻折得到^FDE,若FE与44BC的直角边垂直，则BE的长为.

13.（2022•江西九江•统考一模）如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，图中线段上一动点E,

若满足AE=CE,AB=4,NR4c=30。，则以AE为边长的正方形面积是.

14.（2022•江西南昌・统考二模）如图，点E是矩形ABCD边AB上一点，将VADE沿着OE翻折得到一ADE,

AE与。C交于/点，若AD=后,AE=3,则EF=

4

三、解答题

15.(2022•江西萍乡•统考二模)如图，双曲线y=-(x>0)经过RtZXAOB斜边的中点P,交直角边A3于点。,

X

连接。(2,点A的坐标为(8,4).

⑴求直线。。的解析式；

(2)求sin/QOA的值.

16.(2022•江西赣州・统考一模)如图，在AABC中，/AC8=90。，点。在边8c上，以点。为圆心，OB

为半径的。。交于点E,。为。。上一点，点2是弧。E中点.

(1)如图1,若AE=BE,求证：四边形ACDE是平行四边形；

(2)如图2,若OB=OC,BE=2AE,求tan/CAD的值.

17.（2022•江西新余•统考一模）

（1）计算：|-2|-3tan60°+（2>/3）°+V12

k

18.(2022•江西上饶•统考二模)图，在直角坐标系中，直线与双曲线％=—(人4°)分别相交于第

X

2

二、四象限内的A(m,4),8(6,小两点，与x轴相交于C点，与y轴相交于。点.已知OC=3,tanZACO=

5

（1）点C坐标是，点。坐标是

（2）求月,%对应的函数表达式;

（3）求AC®的面积.

19.（2022•江西九江・统考二模）如图，在AO3中，AO=BO,AB与，。相切于点C,延长8。交，。于

点尸、Q.连接CP,CQ.

⑴若ZA=30。，求NCP。的大小.

⑵若tan/CPQ=5，。的半径为3石.求边的长度.

20.（2022.江西宜春.统考一模）计算：

0

(1)+括-2|+tan60°；

/、2m—4m-11

(2)———土-----------

m-4m+2m-1

21.（2022•江西赣州・统考一模）（1）计算：（%-3）°+I|-V12+2sin60o

1

（2）化简:

x+2

22.（2022.江西南昌・统考二模）(1)计算：-+sin30°-|-l|；

2

11

（2）化简:

x2-1X2—X9

-2

23.（2022・江西萍乡・统考二模）计算：|-3|+(V5+7i-2cos60°.

24.（2022•江西抚州•统考一模）（1）计算:后一3tan60°+(%—2)°；

6

（2）已知：如图，在YABCD中，点E、/分别在AD、8c上，且8E平分ABC,EF.求证：四边形

是菱形.

25.（2022•江西南昌•模拟预测）（1）计算：卜-亚卜2cos45。+

（2）如图，在AABC中，ZACB=90°,角平分线AE与高C£＞交于点F,求证：CE=CF.

26.（2022•江西吉安・统考一模）（1）计算：（-Ip。??+卜一退卜（6-3）。+2sin30。

(2)如图，AB=5,DE=4,EF=8,求AC的长.

27.（2022.江西赣州•统考二模）如图1,菱形ABC。中，AB=6.ZB=60°,四边形EFGB的项点E,G分

另I」在边BC和AB上，EF//CD,FG//AD,连接FD

（1）若。P平分NAOC,求证：四边形EPGB为菱形；

（2）在（1）中的条件下，当EC=2时，将四边形EFG8绕点B顺时针旋转至图2所示的位置，连接AG.

①猜想AG与。尸的数量关系，并加以证明；

②当GF过点C时，求sin/G8C的值.

7

nD

28.（2022・江西・统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足

够大的直角三角板尸所（々=90。,/尸=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探

究直角三角板尸EF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

（1）操作发现：如图1,若将三角板的顶点P放在点。处，在旋转过程中，当O尸与重合时，重叠部分

的面积为；当。尸与8C垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S,

在旋转过程中，重叠部分的面积豆与S的关系为

（2）类比探究：若将三角板的顶点E放在点。处，在旋转过程中，OEOP分别与正方形的边相交于点

N.

①如图2,当=时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=OV时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；

（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为/GO"（设NGOH=a）,将

NGOH绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为邑，

请直接写出邑的最小值与最大值（分别用含。的式子表示），

（参考数据：sin15°=^--^-,cosl5o=^+^,tanl5°=2-^）

44

29.（2022.江西景德镇・统考三模）如图，以△ABC的一边A3为直径的半圆。与边AC,的交点分别为

8

点E,点D,且。是BE的中点•

(1)若NA=80。，求/DBE的度数.

(2)求证：AB=AC.

(3)若。0的半径为5cm,8C=12cm,求线段BE的长.

30.(2022•江西赣州•统考一模)图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上

时的侧面示意图，其中矩形ABCD是取暖器的主体，四边形3EFC是底座.已知BC//EF,

NBEF=ZCFE=30。，且BE=CF,烘干架连杆GH可绕边CD上一点H旋转，以调节角度.已知C£>=52cm,

BC=8cm,EF=20cm,DH=12cm,GH=16cm.

(1)求BE的长；(精确到0.1cm,73®1.73)

(2)当NGHD=53。时，求点G到地面斯的距离.(精确到Qlcm,参考数据：sin53。。0.80,cos53。。0.60,

tan53°®1.33)

31.(2022・江西上饶•统考一模)2020年我国建成5G基站超60万个，5G建设跑出“中国速度”.某地有一

个5G信号塔A3,小敏想用所学的数学知识测量信号塔AB的高度，她选择用树。和楼房来测量.首先

在树的底部D处测得信号塔的顶部A的仰角为42。；然后她站在楼房上的点E处恰好看到树的顶端C、信

号塔的顶端A在一条直线上.测得树与楼房的距离。尸=12米，CD=12米，所=6米，已知点3、D、F

9

三点共线，AB1BF,CD1.BF,EF±BF,测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求信号塔AB的高

度.（参考数据：sin42°s0.67,cos42yo.74,tan42°=0.90）

32.（2022・江西•统考中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知

AB//CD//FG,A,D,H,G四点在同一直线上，测得NEEC=4=72.9。,"）=1.66所=6.2m.（结

果保留小数点后一位）

图1图2

（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；

（2）求雕塑的高（即点G到的距离）.

（参考数据：sin72.9°~0.96,cos72.9°»0.29,tan72.9°~3.25）

33.（2022•江西吉安・统考一模）首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台，其优美的造型，独特

的设计给全球观众留下深刻的印象，大跳台场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域4个部分.现将

大跳台抽象成右边的简图，FC表示运送运动员上跳台的自动扶梯，。表示助滑区，口△/）£8表示起跳

台，仍表示着陆坡.已知NCE4=60。，NEBF=30°,在助滑区。处观察到顶点C处的仰角是30。，且自

动扶梯的速度是2m/s,运送运动员到达跳台顶端C点处需要30秒，BE=24m,DE//BF,CA,DG、EH

都垂直于BF.

（1）求大跳台AC的高度是多少米（结果精确到0.1租）；

10

（2）首钢滑雪大跳台主体结构采用装配式钢结构体系和预制构件，“助滑区”和“着陆坡”赛道面宽35米，面

板采用10根加耐候钢，密度为7850kg/n?,求铺装“助滑区”和“着陆坡”赛道的耐候钢总重量是多少吨（结

果精确到1吨）.（071.41,果"73）

11

参考答案:

1.D

【分析】连接半径。打、OF,过0作F于H,求出NEO尸=360。+12=30。，根据等腰三角形三线合

一的性质得到//0"=15。，EH=FH=2,利用三角函数求出。品根据正十二边形的周长近似代替其外接圆

2

周长，列得2万•一^=4x18,即可求出答案.

sin15°

【详解】解：如图，连接半径。区OF,过0作0”，成于〃,

/EOF=360。+12=30°,OE=OF,

：.ZFOH=15°,EH=FH=2,

.八FH2

・・OF=--------------=---------,

sinZFOHsin15°

・・・正十二边形的周长近似代替其外接圆周长，

2万------=4x18,

sin15°

解得加=12sinl5。，

故选：D.

EHF

【点睛】此题考查了正多边形与圆的关系，锐角三角函数，等腰三角形的三线合一的性质，综合应用各知

识点是解题的关键.

2.C

【分析】根据已知条件可证出△C'BM,只需算出三角形的面积，用正方形面积减去2

倍的AABM的面积，即可算出阴影部分面积.

【详解】解：如图所示，连接由旋转可知，

H向

12

•.•四边形ABC。为正方形，

：.AB=CB',ZBAM^ZBCM=90°,

又；

所以在RtAABM与RtACBM中，

[AB=CB

所以RtXABMQRtACBM(HL),

VZABA1=ZCBC=3Q°,

：.ZABM=ZCBM=30°,

AM=AB-tan30°=l,

,,SAABM=1X73X-=^,

四边形ABC'M的面积为：相，且正方形A2C£＞面积为：6x6=3,

,阴影部分面积为：3-73,

故选：C.

【点睛】本题考查割补法求面积，全等三角形，以及三角函数的应用，能够熟练利用割补法求面积是解决

本题的关键.

3.D

【分析】先确定。3是NMON的角平分线，得出NBON=30。，作于D,根据等腰三角形的性质得

出/BCN=60。,解直角三角形求得BD,然后根据三角形面积公式求得4BOC的面积，进而求得四边形OABC

的面积.

【详解】解：由题意可知。8是/的角平分线，

ZM0N=6Q°,

NBON=30。,

作_LON于。，

,?f?C=BC=8cm,

：.ZBOC=ZOBC=30°,

13

ZBCD=60°,

:・BD=^BC=46,

2

•'•Sgga形OABC=OCxBD=8x4乖,=32垂),

故选：D.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质以及三角形的面积，解直角三角形求得8。是解题的

关键.

4.—y/14

14

【分析】在A。取点G使AZ)=3AG,连接8G,证明(SAS),得出8G=AO=3OE=3AG,

由勾股定理得出BD=dBCf-D3=4^AG,AB=VAZ)2+BD2=V14AG,再由三角函数定义即可得出

答案.

【详解】解：取A。上的点G使AO=3AG,连接BG,如图所示：，

\9AD=3DE,

：.DE=AG,

VZBAC=90°,AD±BC,

：.ZABC+ZC=NA3C+N3AG=90。，

:・/C=/BAG,

•:NC=/E,

：.ZBAG=/E,

在A48G和AEA。中，

AB=EA

</BAG=/E,

AG=ED

：.AABG^AEAD(SAS),

：.BG=AD=3DE=3AGfDG=2AG,

BD=y/BG2-DG2=^(3AG)2-(2AG)2=也AG,

・・・A8=JAD?+BD2=J(3AG『+(B1G『=y/uAG

ABV14AG14

14

故答案为：诬

【点睛】本题考查的知识点有全等三角形的性质，勾股定理的性质，三角函数，解题的关键是构造出全等

三角形，再结合勾股定理和三角函数确定各边之间的关系求解.

5.15°,30。或105。

【分析】分三种情况：当PCLAB交AB延长线上时，当AB垂直平分OP时，当点C在BA延长线上时，

利用三角函数，平行四边形的性质分别求出钻的度数.

【详解】如图1,

当PC_LAB交AB延长线上时，过点O作OE_LAB于E,

AB=2』,

AE=,

VOA=2,

.*.cosZOAE=—^

OA2

：.ZOAE=30°,

AOE=1,

VPC=1,OE±AB,PC±AB,

APC=OE,PC/7OE,

・・・四边形PCEO是平行四边形，

AOPAC,

・・・NOPA=NPAB,

VOA=OP,

JZOAP=ZOPA=ZPAB,

.*.ZPAB=15°；

如图2,当AB垂直平分OP时，

VOP=2,APC=1,

VOA=2,OC=1,

15

.*.ZBAO=30o,

・•・ZAOC=60°,

VOA=OP,

・•・ZOAP=ZOPA=60°,

AAC±OP,

.*.ZPAB=30°；

如图3,当点C在BA延长线上时，可知四边形POEC是平行四边形,

・・・OP〃AB,

・・・NAOP=NOAB=30。，

VOA=OP,

NPAO=75。，

ZPAB=ZPAO+ZOAB=105°,

故答案为：15°,30。或105。.

【点睛】此题考查圆的垂径定理，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性

质，锐角三角函数.

6.2或4或20

【分析】如图，连接。尸，AE,DE,取。尸的中点O,连接。4、OE.以O为圆心O尸为半径画。。交8

于尸3.只要证明尸尸2尸=/尸尸3E=30。，即可推出尸P=2,尸尸2=4,尸尸3=2上解决问题.

【详解】如图，连接ORAE,DE,取。歹的中点。，连接。4、OE.以O为圆心。尸为半径画。。交CO

于B.

16

・・•四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD=ZB=90°,

9：BF=\,BE=6,AF=2,AO=20，

Ji

tanZFEB—tanZADF=——,

3

Z.ZADF=ZFEB=30°,

EF=《BF。+BE，=2,0F=0D=2,

.•.△OEF是等边三角形，

/EP〕F=NFP2F=ZFP3E^30°,

:.FPI=2,FP?=4,FP3=26,

故答案为：2或4或2石.

【点睛】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

7.4或8或4出

【分析】如图，连接DF,AE,DE,取DF的中点O,连接OA、OE.以O为圆心画。。交CD于P3.只

要证明/EPIF=NFP2F=/FP3E=30。，即可推出FPI=4,FP2=8,FP3=4百解决问题.

【详解】如图，连接DF,AE,DE,取DF的中点O,连接OA、OE.以O为圆心画OO交CD于P3.

17

•..四边形ABCD是矩形,

NBAD=NB=90°,

VBF=2,BE=24，AF=4,AD=40,

也

/.tanZFEB=tanZADF=——,

3

.•.NADF=NFEB=30°,

易知EF=OF=OD=4,

.♦.△OEF是等边三角形，

O

ZEP,F=ZFP2F=ZFP3E=30,

；.FPI=4,FP2=8,FP3=4近，

故答案为4或8或4G.

【点睛】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

8.2

11

【分析】要求tan/BAC的值，可先求AC、BC,通过做辅助线，利用圆的对称性、相似三角形、全等三角

形的性质求出相应的边长即可.

【详解】设尸3交。。于点N,连接以，延长尸2、AC交于点如图所示，

•.乂8是直径，PHLCB,

18

・・・ZANP=90°=ZACB=ZH,

:・MC〃PH,

由圆的对称性可得，PB=PA,ZBPO=ZAPO=^ZAPB,

•・・ZBPH=2ZBPOf

：.NBPH=/APB,

：.APHB=APNACAAS),

：.PN=PH=15,

由MC〃PH得：ZHPB=ZM=ZAPM,

：.AM=AP=PB,

*：AN±PMf

:・PM=2PN=33

由△PHB〜△MCB,

.MCBCMB

设AfC=mBC=b,MB=c,

.abc七b4

1524—b30-cc5

h43

=sinM=sinZHPB,即有cos/HP3=—,

c55

在放△PHB中，PH=T5,

•.•*嬴编=25,HB=sinZHPBxPB=20,

.•.BC=24-20=4,〃8=30-25=5,贝！］林7=存=不=3,

在MAABC中，BC=4,AC=AM-MC=25-3=22,

42

tanABAC=—

AC2211

.?

故答案为：—.

【点睛】考查圆、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角三角形的边角关系等知识，综合

应用知识是解答本题的关键.

9.5-2A/3##-2A/3+5

【分析】过点A作AO垂直x轴于点。，则/4。8=90。，根据等边三角形的性质和锐角三角函数可得A。

的长，利用待定系数法求出经过点（2,2）,（4,3）的直线/,过点A作AE尤轴交直线/于点E,求出点E的

19

坐标，求出AE,即可得到平移的距离.

【详解】解：如图，过点A作垂直x轴于点。，KiJZADB=90°,

VABC是等边三角形，且点3(2,0),C(4,0)

：.BC=AB=AC=2,ZABC=60°

.\AD=AB*sin60o=2x--=#）

2

设直线/：>=丘+。经过点（2,2）,（4,3）,

2=2k+b

得到

3=4上+6

k=-

解得2

Z?=1

丁・尸齐+1

过点A作AE.无轴交直线/于点E,

...当时，尤=2/一2

，点E的坐标是(26—2,73)

,点A的坐标是(3,73)

：.AE=3~（2石-2）=5-273

平移的距离是5—2Q.

故答案为：5-273.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、锐角三角函数、待定系数法求函数解析式、平移等知识，待定系

数法求一次函数解析式是解此题的关键.

10.6-30

【分析】由面积不变，求出正方形的边长26，再根据锐角三角函数和勾股定理求出QG和G”的长，进

而求出EF.

【详解】解：•••矩形的邻边长为2和6

20

；•矩形的面积为2x6=12

•..正方形ABC。由①②③④拼成，且不重叠、无缝隙

，正方形的面积=矩形面积=12

*'.cr>=712=273

DG=yjcD2-GC2=7（273）2-22=272

si型272_76

CD2V3

VZ1+Z2=9O°

Z2+Z3=90°

.\Z1=Z3

sinZl=^=^

DH3

：.DH=3y/2

：.GH=DH-DG=3夜-2后应

•*.£F=6-72-272=6-372

【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，勾股定理以及锐角三角函数，解决本题的关键是利用三角函数求

边长.

11.（3,后）或（|，手）或（|，-y-）

【分析】先求得A（0,g）,8（3,0）,再利用特殊角的三角函数值求得/A8O=30。，再分类讨论即可求解.

【详解】解：令x=0,则产后，令产0,则x=3,

/.A(0,73),8(3,0),

/.OA=，08=3,

■an/ABO噌=g,

21

ZABO=30°,ZBAO=60°,

当时，

CiB=OA=^3,CiA=OB=3,

：.Ci(3,73)；

当AOAB丝AC2AB时，

：.C2B=OB=3,C2A=OA=y/3,

oo

：.ZC2A£>=180-60°-60=60°,则/DCM=30°,

：.AD=-C2A=—,DC=~,

2222

•••C2(|)")；

当AOA哈AC33A时，

同理得C3(1_,-3)；

22

综上，点C的坐标为（3,档）或（；，地）或弓，

2222

故答案为：（3,万）或（；，或（；，

2222

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，特殊角的三角函数值，勾股定理，全等三角形的判定

和性质，分类讨论是解题的关键.

12.或6月或6

【分析】分三种情况：①当FE±BC,如图1设射线FE交BC于点、G,由小BDE沿OE翻折得到小FDE,

可得/8=//=30。，ZBDE=ZFDE=^ZBDF,再由EP_LBC得/BOE=/8=30。，于是可求出8G=OG=3,

从而可求出8E的长；②当E/UBC时，可得BE=2GE=66；③当E/UAC时，可得BE=BD=6.

【详解】解：①当/EL8C,设射线EE交BC于点G,如图1,

22

A

F

D

图1

ZB=30°,△班陀沿。石翻折得到△FDE,

ZB=ZF=30°,ZBDE=ZFDE=^ZBDF

EF±BC,

ZBDF=90°-30°=60°

・••ZBDE=ZFDE=^/BDF=30。,

・•.ZBDE=ZB=30°,

FE_LBC,

1-BG=DG=—BD=—x—BC=3,

222

在中，ZB=30°,BG=3,

BE=————=—A/3x3=2^3；

cos3003

②当好LL8C时，如图2,

图2

ZB=30°,EFLBC,

.ZBEG=60°,

△BDE沿。片翻折得到△FDE,

1.ZBED=ZFED=^ZBEG=30°,

.ZBED=ZB=30°,

.BE=BD=—BC=6,

2

在Rt一DEG中，ZZ)EG=30°,DG=^DE=3,

23

GE=旧DG—3y[3

在RdBEG中，ZB=30°,

:.BE=2GE=673；

③当EFJ_AC时，如图3,

A

图3

EF±AC,ZC=90°,

•••EFUBC,

：.ZAEF=ZB=30°,

ABDE沿翻折得到小FDE,

ZBED=ZFED=^4BEF=75°,

：.ZBDE=1SQ°-ZBED-ZB=75°,

ZBDE=ZBED,

BE=BD=—BC=6,

2

综上所述BE的长为26或6百或6,

故答案为：20或66或6.

【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是熟练运用含30。角的直角三角形三边关系.

13.g或32-16Q或4

【分析】由题可知，点E在AC的垂直平分线上，由此可确定出点E的具体位置，即符合条件的点E有3个,

利用三角函数与勾股定理进行求解即可.

【详解】解：.AE=CE,

.•.点E在AC的垂直平分线上.

作AC的垂直平分线，交AB于耳，交于交AC于Z,则E2,当都是符合题意的点E,且

“厂224

11AE[=------------=--------=—产=—产

AE3=—AC=—AB=2,cosABACcos300百指，

~2

4

EE=AE]sinABAC=xsin30°=

X3忑

24

A

过点E2作心尸，A5于尸，

AB=AC,AD1BC,

，AD平分NBA。，

又E2F1AB,E2E31AC,

/.E2F=E2E3.

设E2F=E2E3=x则64=64-占区二

£[£31AC,ZBAC=30°,

ZAE]£3=60°,

EF真_-

•••sinZA£i£=-^7r,即2一2

33廿

解得x=4—26，BPE2F=E2E3=4-273,

AE2=^AEf+E2El=百+(4-2我2=^32-16^.

4________

综上，AE的长为耳或J32-16若或2.

・••以AE为边长的正方形的面积为g或32-166或4.

【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一，三角函数的应用,

勾股定理解直角三角形，解决本题的关键是找到所有符合条件的点E的位置.

14.2

【分析】根据矩形的性质和4。=退，AE=3,可得NCDE=NAED=30。，再由折叠的性质可得

25

ZA'DE=ZADE=60°,AD=AD=^3,A'E=AE=3,从而得到NA'£)P=30。，进而得到A'尸=1,即可求

解.

【详解】解：在矩形ABC。中，ZA=90°,CD//AB,

：.ZCDE=ZAED,

,/AD=y/3,AE=3,

.AD73

••tanNAED=----=—,

AE3

：.ZCDE=ZAED=30°,

：.ZADE=60°,

fr

根据题意得：ZADE=ZADE=60°,AD=AD=^fA!E=AE=3,

・•・NA'D尸=30。，

:./FDE=ZDEF=30。,

：.DF=EF,

A,F=A,D^nZA,DF=y/3x—=l,

3

：.DF=2,

：.EF=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了矩形和折叠，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键.

15.⑴y=2x

【分析】(1)先求点A的坐标为(8,4),将点P坐标代入到双曲线，='(x＞0)中，即可求出3得到y=§,

%X

再求出。(2,4),代入设直线。。的解析式为＞=双，即可求解.

(2)过点。作于点。，求出Q。，。。的长，即可求得sin/QQ4=^=:.

(1)

解：：。4的中点是「，点八的坐标为(8,4),

P(4,2).

•・•双曲线＞=一。＞0)经过点P；

X

左=4x2=8,

26

・•.T.

X

*/AC®为直角三角形，

,?轴，

，A,。两点的纵坐标相等，均为4,

/.2(2,4).

设直线。。的解析式为＞=⑪，

4=2a,解得(1=2.

・・・直线。。的解析式为y=2%.

(2)

如图，过点。作QDLOA于点

QDOB

,/sinA=

AQ~OA

.叽4解得QD=华,

••6“2+8?

6A/5

.•.在RtOQD中,"==_=3

sinZQOA=

OQ6+425

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及构造直角三角形求三角比，解决本

题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征.

16.(1)证明见详解；(2)tan?GW*.

【分析】(1)连接CE,则CE=3E,证明AE〃CD,AE=CD即可.

(2)连接DE,设AE=2,BE=4,则AE。==2?612,求出CF,AC即可解决问题.

【详解】解：(1)连接CE,则CE=3E,

27

\?ECB?B,

点5是弧DE中点

BD=BE，

•.ZBCD=/ECB,

:.NBCD=NB,

:.ABHCD9

又QCD=CE=AE,\AE/JCDf

..・四边形4CDE是平行四边形；

(2)连接DE,设AE=2,BE=4,则=AEg/\B=2?612,

AC=26，:.BC=2逐，

设DE交BC于点H,AD交BC于点F,

由(1)知£>E_L8C,DH=EH,

„乂-E-H-=--B-H-=--B-E-=—2\BH=鲍

ACBCAB33

\CH=^~

3

八八〃DHFH2

QEH=DH,..——=——二一

ACCF3

28

\八|小|?半*

2旗

Xtan?CA0紧磊泻，

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题,

是解题的关键.

17.⑴3-石

(2)无解，x=-2是分式方程的增根

【分析】(1)先计算绝对值、正切、零指数幕，二次根式的化简，然后进行加减运算即可;

(2)先去分母、去括号，然后移项合并、系数化为1,最后检验即可.

(1)

解:|-2|-3tan60°+(2A/3)°+V12

=2-3x73+1+2A/3

=3-石

(2)

去分母得：尤(无一2)-(尤2-4)=8

去括号得：x2—2x—x2+4=8

移项合并得：-2%=4

系数化为1得：x=-2

将％=-2代入原式检验得，x=-2不是原分式方程的解，是原分式方程的增根.

【点睛】本题考查了绝对值，正切，零指数塞，二次根式的化简，解分式方程.解题的关键在于正确的计

算.

18.(1)(3,0),(0,2)

212

(2)Ji=--x+2,y=-----

32x

(3)9

29

2

【分析】(1)根据OC=3,tanZACO=§即可分别求得；

(2)首先把C、。点的坐标分别代入*=依+。(。20),利用待定系数法即可求得直线必的表达式；再把A,

B的坐标分别代入外,即可求得A(-3,4),B(6,-2),据此即可求得反比例函数的表达式;

⑶由'.OB=S*oc+S^BOC即可求得.

(1)

解：OC=3,

「•点。坐标是(3,0),

QtanZACO=-=-

OC3

OD=2,

•・•点。坐标是(0,2)；

(2)

解：把C、。点的坐标分别代入乂=水+。(。工0),得

[3a+b=0a=--

则，。,解得3,

乒2[b=2

2

・,・直线丹的表达式为y=-丁+2,

2

把A,5的坐标分别代入％=-1％+2,得根=-3,〃=-2,

・・・A(-3,4),5(6,-2),

左=—3x4=—12,

12

.••反比例函数的表达式为y=--

2X：

(3)

解：S&AOB=，Z\AOC+%oc=；x3x4+gx3x2=9-

【点睛】本题考查了正切函数的定义，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，求不规则图形

的面积，采用数形结合的思想是解决此类题的关键.

19.(1)30°

⑵8君

30

【分析】(1)根据切线的性质求出NCOB=60。，再根据圆周角定理求N"Q的大小即可;

(2)证明结合tan/CPQ=g即可求出8。的长度，再由相似得到的比例即可求出的

长度，最后根据AB=2BC求值即可.

(1)

如图，连接CO.

•••A8与|。相切于点C,

/.CO.LAB.

・.,AO=BO,ZA=30°9

：.ZB=ZA=30°,ZCOB=60°,

/CPQ=g/COB=30°.

(2)

：尸。是。的直径，

ZPCQ=90°.

VtanZCPQ=~,

.CQ_1

"CP~2

,/NPCQ=NOCB=90°,OC=OP,

：.ZOPC=ZOCP=NBCQ.

"：ZB=ZB,

：.ABQCs^BCP,

.BQ_B£_CQ_]_

•,就一而一而一5'

/.BP=2BC,BC=2BQ,

：.BP=4BQ=BQ+6y/5,解得2。=2如,

/.BC=4#.

：.AB=3也

31

【点睛】本题综合考查切线的性质、圆周角定理、正切、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质,

考查的知识点比较多，但是都比较简单，正确的作出辅助线是解题的关键.

20.(1)3；(2)------

【分析】(1)先代入特殊角的三角函数值，根据零次累和绝对值的法则求出结果，即可求出答案;

(2)先计算分式的除法，再计算同分母分式的加法即可求出结果.

【详解】解:(1)++tan60°,

—1+2-^/3+y/3,

二3；

/八、2m-4m—11

(2)------------------------,

m-4m+2m—1

2(m-2)m+21

=-------------------x-----------------

(m—2)(m+2)m—1m—1

__2_____1

m-1m—1

1

m-1

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、零次累和绝对值以及分式的混合运算，能将分式的分子分母

因式分解及熟记特殊角的三角函数是解题的关键.

21.(1)4—y/3(2)------

x-i

【分析】(1)任意非零数的零次幕为1,’表示g的倒数，化简J历，熟记sin60。的值，计算即可得到答

案；

(2)按照分式的混合运算法则进行计算即可.

【详解】解：(1)原式=1+3-20+2x3

2

=4-73

—X—1x+2

x+2(x+l)(x-l)

【点睛】本题考查实数的计算及分式的混合运算，计算过程中需注意符号问题.

32

X

22.(1)0；(2)---

x+1

【分析】(1)直接根据特殊角的三角函数值和绝对值的意义先求出各自的值，再加减;

(2)先把除法转化成乘法，并把分子父母进行分解因式，再约分即可.

【详解】解：⑴原式4+11=。