三角形压轴题综合（解析版）-2024年中考数学题型归纳与变式演练（全国卷）

专题10三角形压轴题综合

目录

热点题型归纳...................................................................................

题型01三角形与旋转变换.......................................................................

题型02三角形与平移变换.......................................................................

题型03三角形与翻折变换.......................................................................

题型04三角形类比探究问题.....................................................................

中考练场.......................................................................................

热点题型归纳

题型01三角形与旋转变换

【解题策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线

的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023・四川・中考真题）如图1,已知线段A3,AC,线段AC绕点A在直线A3上方旋

转，连接8C,以8C为边在3C上方作RtBDC,且/D3C=30。.

⑴若23DC=90。，以A3为边在AB上方作,且NAEB=90。，NEBA=30。，连接

DE,用等式表示线段AC与OE的数量关系是；

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（2）如图2,在（1）的条件下，若DEJ.AB,AB=4,AC=2,求BC的长；

（3汝口图3,若4cz）=90。，AB=4,AC=2,当的值最大时，求此时tan/CBA的值.

【答案】⑴"=：夙石

(2)BC=2A/7

【分析】（1）在Rt中，"3c=30。，RtABAE,且NAEB=90。，ZEBA=30°,可

ARBF

得VABESVCBD,根据相似三角形的性质得出二厂==,NDBE=NCBA,进而证明

BCBD

△ABCSAE3D,根据相似三角形的性质即可求解；

（2）延长DE交A3于点产，如图所示，在RtAE尸中，求得EP,AP,进而求得母■的长，

根据（1）的结论，得出DE=C，在^i.BFD中，勾股定理求得BD,进而根据^ABC"AEBD,

即可求解.

（3）如图所示，以AB为边在上方作Rt44E,且/E4B=90。，/ES4=30。，连接8E,

EA,ED,EC,同（1）可得.8DES_5C4,进而得出。在以E为圆心，速为半径的圆上

3

运动，当点AE,。三点共线时，阳的值最大，进而求得=sin/BD4=@,

77

根据△ABCSZ^ESD得出=过点A作AF1BC,于点尸，分别求得ARC尸,

然后求得8尸，最后根据正切的定义即可求解.

【详解】（1）解：在RtBDC中,ZDBC=30°,RtABAE,且ZA£B=90。，ZEBA=30°,

VABEsVCBD,NDBE+NEBC=ZABC+NEBC,BE=ABxcosNABE=AB

2

.AB_BE

NDBE=NCBA,

"~BC^~BD

：./\ABC^/\EBD

ACABAB2^73

•••加一蕨飞,「亍

----AD

2

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/.AC=^#>DE,

3

故答案为：AC=^6DE.

(2)VRtAS4E,且ZAEB=90。，AEBA=30°,AB=4

：.AE=AB-sinZEBA=-AB^2,ZBAE=60°,

2

延长DE交AB于点尸，如图所示，

D

,/DELAB,

：.NBFD=NDFA=90°,

.•.在Rt/中，EF=AExsinZBA£=—x2=V3,AF=^AE=l,

22

:.BF=AB-AF=4-1=3f

由⑴可得AC=|®E,

DE=—AC=y/3,

2

DF=DE+EF=2y[3,

在RtRTO中，BD=JBR'+DF。=.+(2目=历,

•/AABCSZ\EBD,

.BCAC2A/3

BC=^乂亚=23,

3

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/.BC=2^/7；

(3)解：如图所示，以A3为边在AB上方作Rt4AE,且/E4B=90。，ZEBA=30°,连

接BE,EA,ED,EC,

则匹=处=毡

ACBC3

；AC=2,贝1」。石=撞

3

在RtAEB中，AB=4,AE=ABxtanZEBA=4x^-=^~,

33

，£）在以E为圆心，逑为半径的圆上运动,

3

当点AE,。三点共线时，A。的值最大，此时如图所示，则AD=AE+DE=^①

3

D

在中，BD7ABjAD?45

3

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8A/3

4A/21

4n亍2币sinZBDA=—

cos/BOA=—BD4>/21~7，

BD4^/21一7

3

3

AABCsAEBD,

：.ZBDE=ZBCA,

过点A作AF人3C,于点尸，

CF=AC义cosNACB=2x型-=过~,AF=ACxsinZACB=

777

,?ZDBC=3Q°,

."一6an一追心历一万

,*BC——BD——x--------2、1,

223

/.BF=BC-CF=2不一,

77

25

A_F—7—J

RCAFB+,tanZCBA=-^=-

7

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求

圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•贵州贵阳二模）在BBC中，/。钻=90。，在丫4龙中，/石4£）=90。，已知RtZkABC

和有公共顶点A,连接和CE.

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⑴如图①，若AB=AC,AD=AE,当，ABC绕点A旋转c(0°＜戊＜360。)，8。和CE的数

量关系是,位置关系是;

(2)如图②，若AO:AE=A8:AC=1：VL当RtaABC绕点A旋转矶0°＜。＜360。)，(1)

中和CE的数量关系与位置关系是否依然成立，判断并说明理由；

⑶在(2)的条件下，若AD=2e，AB=y/3,在旋转过程中，当C,B,。三点共线时，请

直接写出CE的长度.

【答案】(1)BD=CE,BDLCE

(2)CE=y/3BD,CE±BD,理由见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等

知识：

(1)根据SAS证明上BAI玲CAE得BD=CE,再证明ZOAD=ZEHO=90°,可得BDLCE-,

(2)延长DB交CE于H,与AE交于。，证明BADs1可得结论；

(3)分两种情况讨论：运用相似三角形的性质求出AC,AE,由勾股定理求出DE,在

白△ECD中，运用勾股定理求出3D,从而可求出CE.

【详解】(1)证明：如图，延长£＞8交CE于与AE交于。

：VADE和是等腰直角三角形，

/.AB^AC,AD=AE,

又ZCAE+NEAB=ZDAB+NEAB=90°,

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ZBAD=ZCAE,

：.^BAD^CAE(SAS),

:・BD=CE,ZBDA=ZCEA,

u：ZDOA=ZHOE,

・•・ZOAD=ZEHO=90°,

：.CE±BD,

故答案为：BD=CE,BD±CE；

(2)解：CE=&D,CE工BD,理由如下:

延长。?交CE于"，与A石交于0,

E

ADAB1

NFFNB3NCAE,

：..BAD^CAE,

BD1

,ZADB=ZAEC

CEf

CE=MBD,

*.*/BOA=/EOH,

：.ZOAD=ZEHO=90°,

JBDLCE

综上BD上CE,CE=MBD

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(3)解:①如图:

AD

,乙BDABAD1

由（2）知&B4Z）sC4E,—9且皮）_LCE,

C/5AC\Jj

,:AB=6,

：.AC=3,

在RtZXABC中，由勾股定理得BC={AB。+AC?=2拒，

•AD=2-J3>

：.AE=6

在Rt&lE。中，由勾股定理得DE=JA£2+AT>2=4#，

VC,B,。三点共线，且NECO=90。

在RtAECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2

即卜⑹?=（取“+[BD+2再

•••加回

2

2

②如图：

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E

BDAB1

由（2）知,.RWsCAE,,且BD_LCE,

CE-

AB=s/3,

：.AC=3,

由勾股定理得BC=\lAB2+AC2=273，

AD=273,

，AE=6,

在RtZkAED中，DE=yjAE2+AD2=4A/3-

VC,B,。三点共线，且NECO=90。，

二在RtAECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2,

即［国=（取D『+（BD-2@2,

：.BD=病+6,

2

3（A/13+1）

CE=

2

综上，当C,B,。三点共线时，CE的长度为3（而—1）或3（旧+1）.

22

2.（2023•广西桂林•一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三

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角形按如图1方式放置，使心斯的顶点。与—ABC的顶点C重合，DEF在绕点C的旋

转过程中，边DE、DP始终与.ABC的边A3分别交于M、N两点.

⑴老师提了一个问题：试证明402+附2=3/2.

小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到C4=CB且ZACB=90。，可将想3绕点C顺时针

旋转90。至“AOV'位置，连结MN',若能证明BN、MN分别等于Rt^AVW'的另两边则可

以解决问题.

请帮小丽继续完成证明过程.

证明：将想四绕点C顺时针旋转90。至1tAeM位置，连结MN'；

(2)如图2,小昆另取一块与「ABC相同的三角板，放在二ABG位置，边CE与边AG相交于点

H,连NH、NG.

①小昆猜想：/CNH=物,请帮他给出证明；

②图2中始终与CN相等的线段有_；

③请探索AN、BN、AH之间的数量关系，并直接写出结论：

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②NG,NH；③AN-BN=叵AH

【分析】(1)①由“SAS”可证一OV'M丝0V可得MN'=MN,根据直角三角形中运用

勾股定理4⑷V'2=MN，2,即可得结论；

(2)①证明A,C,N,”四点共圆即可解题；

②证明aNBC丝.NBG,得到CN=NG,然后根据等角对等边得到CN=NH即可得到结论

③连接CG,推导，HGCSCA®C,贝!1可得到GH=02N，然后根据A8=0AG即可证明结

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论.

f

【详解】(1)由旋转可知：AN'=BN,CN'=CN,ZCAN=ZBfZBCN=ZACN',

VZECF=45°,ZACB=90°,

・•・/ACM+/BCN=45。,

：.NACM+NAOV'=45。，

即ZN,CM=ZNCM,

又•：CM=CM,

:…CN'M竺CW(SAS),

：.MN'=MN,

ZCAM=ZB=45°f

：.ZNrAM=ZCANf+ZCAM=90°,

AM2+AN,2=MN，2,

又•：AN'=BN,MNf=MN,

・・・AM2BN2=MN2;

(2)①证明：VZGAB=ZMCN=45°fZAMH=ZCMN,

：.ZAHC=ZANC,

・・・A,C,N,"四点共圆，

・•・NCAH+NCNH=180。,

ZCAH=90°f

・・・ZCNH=90°；

②解：・・•四边形AC3G是正方形，

:・BC=BG,ZNBC=ZNBG=45。,

,:BN=BN,

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/.NBC丝ANBG(SAS),

:.CN=NG,

由①可知NOV"=90。，

又：ZHCN=45°,

：.NHCN=NCHN=45°,

：.CN=NH.

故答案为：NH,NG；

③连接CG,

C(D)

'：NHCF=NBCG=45°,

：.NBCN=NGCH,

又,/NCBN=NCGH=45°,

.HGC^iNBC,——=——=0,GH=亚BN，

BNnC

AB=42AG=yl2（AH+GH）^>f2AH+42GH,

AN+BN=s[2AH+2BN，AN-BN=>/2AH.

故答案为：AN-BN=y/2AH.

（点睛】本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，

相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

3.（2023•吉林•一模）如图，..ABC和VADE是有公共顶点的直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

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点P为射线3D,CE的交点.

(1)如图1,若一MC和VAZ组是等腰三角形，求证：ZABD=ZACE；

⑵如图2,若NADE=NABC=30。，问：(1)中的结论是否成立？请说明理由.

⑶在(1)的条件下，AB=6,AD=4,若把VADE绕点A旋转，当NE4c=90。时，请直

接写出血的长度.

【答案】(1)见解析(2)成立，见解析⑶小叵或迎叵

1313

【分析】(1)依据等腰三角形的性质得到=AC,=依据同角的余角相等得到

NDAB=/CAE,然后依据SAS可证明AWB丝△/!£€,最后，依据全等三角形的性质可

得到/AB£>=NACE；

(2)先判断出△ADBS^AEC,即可得出结论；

(3)分为点E在A3上和点E在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明

APEB^AAEC,最后依据相似三角形的性质进行证明即可.

【详解】(1)解：MC和VADE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

.-.AB=AC=3,AD=AE=2,ZDAB=ZCAE.

ADB咨AEC.:.ZABD=ZACE.

(2)(1)中结论成立，理由：

在RtZkABC中，ZABC=30°,/,AB=-J3AC,

在中，NAOE=30。，

ADAE

AD=《r3AE,…

AB~AC

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ZBAC=ZDAE=90°,:.ZBAD=ZCAE,.NADB^VAEC.:.ZABD=ZACE■,

（3）①当点E在A3上时，BE=AB-AE=AB-AD=2.

ZEAC=90°，,-.CE=A/A£2+AC2=^42+62=2而■

同（1）可证△AT®丝△/1£€.ZDBA=ZECA.

NPEB=ZAEC,:△PEBsAAEC.

.PBBE.PB_26713

••----=-----...~T~—--/=.，PB=-----.

ACCE62V1313

②当点E在54延长线上时，BE=10.

ZEAC=90°，,-,CE=-JAE2+AC2="2+6,=2岳■同（1）可证

△ADB咨AAEC.:.ZDBA=ZECA.

PBBE.PB.1030岳

Z.BEP=Z.CEA,:△PEBsAAEC.，——=—.PR

ACCE62V1313

综上所述，PB的长为5叵或迎叵.

1313

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角

形的性质和判定，分类讨论，属于压轴题.

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题型02三角形与平移变换

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质、三角形内角和定[典

理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注

意分类讨论.例分

析】

例.(2023•四川攀枝花•中考真题)如图1,在.ABC中，AB=BC=2AC=8,沿3c

方向向左平移得到A、C对应点分别是。、E.点歹是线段BE上的一个动点，连

接AF,将线段■绕点A逆时针旋转至线段AG,使得=连接FG.

C,

图2

⑴当点厂与点C重合时，求FG的长；

(2)如图2,连接BG、DF.在点b的运动过程中：

①3G和。尸是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；

②当所的长为多少时，ABG能构成等腰三角形？

【答案】(1)26

⑵①DF=BG；②族的长为14或11或8或0

【分析】(1)根据平移的性质可得四边形ABC。、四边形AC即是平行四边形，再由已知

推导出AB是NC4G的平分线，由等腰三角形的性质可得AfiLCG,过8点作3HJLAC交

——Ire—

于H点，求出=再由sinN84C=2叵=2一，所以CG=FG=2后；

84

(2)①证明A4BG2△ADF(SAS),则。尸=BG；

②过点A作ANLBC交于N,由等积法可得;*4x2厉=；x84V,求出AN=JF,分三种

情况讨论：当AG=AB时，AG=AF=8；当尸点与8点重合时，AF=8,此时3尸=0,当

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3方=2BN时，AF=8,在RtZ\ABN中，BN=1,可得3尸=14；当AG=5G时，DF=AF,

过点尸作月欣_LAD交于“，所以AM=RV=4,能求出CN=1,CF=3,则叱=11；当

B4=5G时，DC=DF,当厂点在距上时，CD=DF,此时。点与尸点重合，止匕时

BF=BC=8.

【详解】（1）解：当尸点与。点重合时，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD//AB,

二•四边形ABCD、四边形ACED是平行四边形，

.\AD=BC,AD〃BC,

ZBAD=AFAG,

..NDAF=NBAG,

AB=BC,

ZBAC=ZACB,

ZDAC=ZACB,

.\ZDAC=ZBAC=ZBAG,

.,.AB是NC4G的平分线，

AC=AGf

:.AB±CGf

如图1,过B点作交于H点，

G

图1

AB=BC=2AC=Sf

:.AH=2,

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BH=2715，

sinABAC='

84

：.CG=FG=2岳;

(2)解：①DF=BG,理由如下：

如图2,AG^AF,NDAF=ZBAG,AB=AD,

AABG冬AW尸(SAS),

:.DF=BG-,

②如图2,过点A作AN,3c交于N,

由①可知gx4x2厉=gx84V,

:.AN=>/15,

当AG=AB时，

AB=BC=8,

AG=8,

AG=AF,

.-.AF=8,

当尸点与B点重合时，AF=8,此时3尸=0,

当班'=2BN时，AF=8,在Rtz\ABN中，BN=屈=1?=7,

.-.BF=14；

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当AG=3G时，AF=BG,

DF=BG,

.\DF=AF,

过点尸作RI/_LAZ）交于Af,

.\AM=DM=4,

FMrAD,ANIBC,

：.AM=FN=4,

BN=7,

：.CN=\,

/.CF=3,

当R4=BG时，

DF=BG,

:.AB=DF,

AB=CD=BC=ADf

:.DC=DF,

当尸点在班上时，CD=DF,此时。点与厂点重合，

..BF=BC=8；

综上所述：加的长为14或11或8或0.

【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形

全等的判定及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023・辽宁大连•模拟预测）如图，一ABC中，A3=AC=0,ZBAC=90。,经过点A,

且£>E_L3C,垂足为E,Z£»CE=60°.

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D

（1）以点E为中心，逆时针旋转CDE,使旋转后的一C'D'E'的边C力’恰好经过点4求此时

旋转角的大小；

⑵在（1）的情况下，将..C力'E'沿8C向右平移设平移后的图形与，ABC重叠

部分的面积为S,求S与f的函数关系式，并直接写出/的取值范围.

【答案】⑴旋转角为30度或90度；

12君-11L/

——t--7=-t+-\0<t<

26+12[

⑵当旋转角为30。时，5=彳；

?-2/+1—<?<1

-/2+/+-（0<?<^-1）

当旋转角为90。时，S=厂2

【分析】（1）如图，先根据等腰直角三角形的性质、旋转的性质推知3AEC’是等边三角形,

则NAEC'=60。，易求NC'EC=30。，即旋转角为30。；或，。点与A重合；

（2）需要分类讨论：当旋转角不是为90。时，分0VV也才:口立V<1两种情况进行解答.①

33

当0J4走时.如图2,作NN'_LBC，垂足为N’.设NN,

=x，则N'C=x.由相似三角形

3

AMPS.CNE'的面积之比等于相似比的平方得到，则

3ACNE

S=SMC+SAMP-SPEE-SCN®+g.②当4["1时，如图3,作MMU3C,

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垂足为「设府一，贝"浮.由『『得到』-2』.当旋转

角为90。时，分两种情形求解即可.

【详解】(1)解：如图1,

AB=AC=6,ABAC=90°,AE1BC,

:.AE=EC=l,ZB=ZC=45°.

由旋转过程知EC'=EC=AE,/GCE=60°，

「AEC'是等边三角形，

ZAEC'=60°=90°-AC'EC■

AC'EC=30°>即旋转角为30。；

。点与A重合，即旋转角为90度；

综上，旋转角为30。或90。；

(2)解：当旋转角是为30。时：

①当OVW/时.如图2,设C'E，AB、AC分别相交于点M、N,£)'£'与AE相

交于点、P.作NN'LBC，垂足为N’.

第20页共97页

D'

图2

设MV'=x，则N'C=x，

由平移过程知ZNE'C=30°，

:工N=氐.

Ll-t

由E'N'+N'C=E'C知，y/3x+x=l-t,BP-^='

ZAPM=NE'PE=90°-Z.P^E=ZNE'N',ZPAM=NE’CN=45°>

AMPs或CNE'，

•••S=SQ+5p-S.EETCN6+-1>4（1T）X对=一52一需人;

AM

②当#D<1时，如图3,设D'E'、c'E'与AC分别相交于点M、N.作M0U3C,垂

足为M'.

第21页共97页

D'

图3

=y>贝!JM'E'=#y.

MEr+E，C=M，C=M，M，

即#y+(i-f)=y，则，=31,，

1z\3(1—1z\1—t/\20

-S=sMEr-SNE,C=-(l-Z)x——-=(l-z)=t-2t+1

当旋转角为90。时，如图4中，当0＜力（6-1时，重叠部分是五边形MNKE’5，

11V6+V2A/6-A/2"、221

S=SABC—SAMN_S=1-----------------1------------1一一(1-r)=-1+%+一,

CKE'2222V72

如图5中，当当-k/vl时，重叠部分是四边形MNE'。'，

第22页共97页

A

BD'E'c

图5

3+1）一；（1-）2='产+乎，所以，

SS1

SMCDCNE'-22

-t2+r+g（04wg-l）

2V3+12（31

综上所述，当旋转角不是为90。时，S=，（广、当旋转角为90。时

Z2-2Z+1—</<1

-t2+r+^0<z<73-1）

一

【点睛】本题考查了几何变换综合题.需要学生熟练掌握旋转和平移的性质、等腰直角三角

形的性质、相似三角形的判定与性质,函数关系式是求法.解答（2）题时，一定要分类讨

论，以防漏解或错解.

2.（2023•四川成都•一模）如图1,在.ABC中，AC=4,以A5为底边作等腰连接PC,

作PCD,使得尸C=PD,S.ZCPD=ZAPB.

B

:B;R

DED

图1图2图3

第23页共97页

（1）如图2,若NAP3=60。，请按题意补全图形，并写出画图步骤；

（2）将线段CA沿CD的方向平移得到线段DE,连接BE,

①如图3,若NCPD=ZAPB=90°,求班的长；

②若/AP3=36。，直接写出3E的长.

【答案】（1）见解析

⑵①4vL②26-2

【分析】（1）根据题意，作等边△CP。即可；

（2）①连接8。，证明CPAgDPB（SAS）,得BD=AC=4,N3DP=NACP,由AC〃OE,

知NEDC+ZACD=180。，可推得/EDB=90。，在RtZXBED中，BE=^BD2+DE2-即可

得答案；

②连接3。，作/EBD角平分线交瓦»于b，证明..CM四OP3（SAS）,得

BD=AC=4,ZBDP=ZACP,IfnAC//DE,可推得/ED3=36。，_EBF^_EDB,得

RF斤斤1x4—x

——=——，设8E=x,则EF=DE-DF=DE—BE=4—x,歹U出方程一=——，即得

DEBE4x

BE=2下-2.

【详解】（1）解：如图所示：

画图步骤：①连接PC,

②分别以尸、C为圆心，PC长为半径画弧，两弧相交于点D,

③连接尸”CD-.

（2）①连接即,如图：

第24页共97页

B

'：ZCPD=ZAPB=90°,

：.NCPA=NDPB,

又,：PA=PB,PC=PD,

：..CB4^..DPB（SAS））,

二BD^AC=4,NBDP=ZACP,

,?AC//DE,

Z.EDC+ZACD=180°,

即Z.EDB+ZBDP+ZPDC+ZACD=180°,

Z.EDB+ZACP+ZPDC+ZACD=180°,即Z.EDB+NPDC+ZPCD=180°,

而ZPDC+ZPCD=90°,

：.ZEDB=90°,

1/将线段C4沿C£＞的方向平移得到线段DE,

DE=AC=4,

在RtABED中，BE=dBD。+DE。=472；

②连接5D,作NEBD角平分线交研＞于F，如图：

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B

ZCPD=ZAPB=36°f

：./CPA=/DPB,

又•：PA=PB,PC=PD,

，_CRgOP3（SAS）,

ABD=AC=4,/BDP=ZACP,

■:AC//DE,

・•・NEDB+NBDC+NPCD+ZACP=180。,

：.NEDB+NBDC+NPCD+NBDP=180。,即NEDB+NPDC+NPCD=180。,

而NPDC+NPCD=180°-ZCPD=144°,

:・/EDB=36。,

・・•将线段CA沿CD的方向平移得到线段DE,

JDE=AC=BD=4,

：./EBD=ZBED=M,

•；BF平分/EBD，

ZEBF=ZFBD=ZEDB=36°f

；・BF=DF,/BFE=/BED=7T,

:・BE=BF=DF,

VZEBF=ZEDB,ZE=/E,

：・LEBFS^EDB,

第26页共97页

.BEEF

••一,

DEBE

设匹=尤，则EF=DE—DF=DE—BE=4—x,

.x_4-x

••—=--,

4x

解得x=26-2或x=-26-2（舍去），

/.BE=245-2.

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换、三角形全等判定及性质、三角形相似判

定及性质、等腰三角形性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似

三角形解决问题.

题型03三角形与翻折变换

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和

定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形,

注意分类讨论.

【典例分析】

例.（2023•湖北武汉•中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形ABCD边BC上一点，AAEF

是等腰三角形，AE=EF,NA斯=/旬。=&（。290。）,4厂交8于点G,探究/GCF与a

的数量关系.

(3)

第27页共97页

问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图(2),当&=90。时，直接写出NGB的大小；

(2)再探究一般情形，如图(1),求NGCP与。的数量关系.

问题拓展：

nr1RH

⑶将图(1)特殊化，如图(3),当。=120。时，若会=：,求生的值.

CG2CE

【答案】⑴45。

3

(2)ZGCF=-a-90°

⑶殁=2

CE3

【分析】(1)延长BC过点尸作证明，ABE咨qBHR即可得出结论.

(2)在A3上截取4V,使AN=EC,连接AE,证明通过边和角的关系

即可证明.

(3)过点A作8的垂线交。的延长线于点P,设菱形的边长为3加，由(2)知，

ZGCF=^-a-90°=90°,通过相似求出。尸=述用，即可解出.

25

【详解】(1)延长5c过点方作

「ZBAE+ZAEB=90°,

NFEH+ZAEB=90。,

ZBAE=/FEH,

在△石胡和_77位中

ZABE=ZEHF

<ZBAE=ZFEH

AE=EF

，；ABE^EHF,

AB=EH,

第28页共97页

BE=FH,

：.BC=EH,

：.BE=CH=FH,

：.7GCFIFCH45?.

故答案为：45°.

(2)解：在A3上截取4V,使4V=EC,连接7VE.

ZABC+ZBAE+ZA£B=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,

ZABC=ZAEF,

:.ZEAN=ZFEC.

AE=EF,

.'.AANE^AECF.

:.ZANE=ZECF.

AB=BC,

:.BN=BE

ZEBN=a,

ZBNE^90°--a.

2

:.ZGCF=NECF-ZBCD=ZANE-/BCD

=190o+|aj-(180°-a)=|a-90°.

第29页共97页

A

BEC

（3）解：过点A作。。的垂线交。。的延长线于点P,设菱形的边长为3根,

DG_1

CG-2,

\DG=m,CG=2m.

在RtAOP中，

?ADC2ABe120?,

.\ZADP=60°,

/.PD=—m,AP=—y/3m.

22

3

er=120°,由（2）知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

?AGP?FGC,

\APGS-FCG.

APPG

'~CF~~CG'

—y/3m—m

...2=2，

CF2m

:.CF=—m,

5

在A3上截取AN,使AN=EC,连接A®,作30,NE于点。

由（2）知，AANE四△ECF,

：.NE=CF,

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,:AB=BC,

：.BN=BE,OE=EF=-EN=—m.

25

•・・ZABC=120°,

，/BNE=/BEN=30°,

OE

Vcos30?

BE

BE=gm,

9

\CE=—m

5

.BE_2

"CE-3'

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角

形全等、三角形相似.

【变式演练】

1.(2024.安徽阜阳.一模)(1)如图1,在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点E为边BC

上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在边上的点C'处.求AC'的长；

(2)如图2,展开后，将一。C'E沿线段A2向右平移，使点C'的对应点与点8重合，得到

^D'BE',DE与BC交于点F,求线段E厅的长；

(3)在图1中，将.DC'E绕点C'旋转至A,C,E三点共线时，请直接写出CD的长.

第31页共97页

【答案】(1)3；(2)1:(3)底或小

【分析】(1)本题利用折叠和矩形的性质得出CD=CZ)=AB=5,AD=BC=4,再利用

勾股定理即可解题；

(2)本题利用平移的性质证得一CDEs.CD'F，设旗长为x,利用勾股定理算出x,推出CE,

再利用相似三角形的性质得到空=工，算出CF,从而求得跖的长；

(3)本题根据4,C,E三点共线，分以下两种情况讨论，①当E旋转到C'左侧时，②当

E旋转到C'右侧时，根据以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形

的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解题.

【详解】(1)解：ABCD为矩形，AB=5,8C=4,

:.CD=C'D=AB=5,AD=BC=4,

：.AC'^yJc'lf-AD2=3；

(2)解:D8E为&£>C'E平移后的图形，AC=3,AB=5,

C'B=DD/=AB-AC'=2,DE//DE,

CDEs,CD'F,

设目5长为x,

第32页共97页

CB2+EB2=CE2,CE=CE=BC-EB,

/.x2+22=（4-x）2

3

解得：x=1,

35

CE=4——=-,

22

CD'CF

——，CD'=CD—DD'=5—2=3,

CDCE

3CF

55,

2

••CF4

:.EF=CE—CF=1；

(3)解:将一。C'E绕点C'旋转至A,C,E三点共线,

分以下两种情况：

①当E旋转到C'左侧时，如图所示：

作交CB的延长线于点"，

由(2)可知3C'=2,

由旋转性质可知，NDC'E=90°,

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ZDCB=90°,

-ZCBC=90°,

ZC'BM=ZM=ZDC'B=90°,

四边形3Moe'为矩形，

:.BM=DC'=5,DM=BC'=2,

DC=^DM2+（BM+BC）2=V22+92=底,

②当E旋转到C'右侧口寸，如图