安徽省皖江联盟2024届高三5月模拟预测数学试卷及答案

姓名_________座位号_____________

（在此卷上答题无效）

数学

本试卷共4页.19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

I.答题前,先将自己的姓名、玳考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡

上的指定位置。

2.选择侬的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷,

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3,非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答施区域内。写在试卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={-l,0,l},B={y\y=21,xeA］，则

A.4r）S={l}BMUB={-l,0,l}C.BQAD.AQB

2

2.已知双曲线x丁-4=1的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为

3m

3.记a=2-，b=0.4f",c=k>ga,2,则

A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.已知空间中不过同一点的三条直线共面”是）,zn,n两两相交”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知复数z满足/+z+l=0,则下列结论正确的是

A.z=1B.z+z=lC.z-z=1D.z3=1

i6

6.在二项式（々-丁）的展开式中，下列说法正确的是

A.常数项为与B.各项的系数和为64

C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

7.在平面直角坐标系“Oy中，已知向垃褊与通关于y轴对称，若向量a=（1,0）满足OA2+a-AB=0,

记4的轨迹为&则

A.£是一条垂宜于工轴的直线B.E是两条平行直线.

C.E是一个半径为I的圆D.E是椭圆

8.设正数数列{%}的前«项和为S.,且S,=£&+/卜“eN•）,则

A.{aJ是等差数列B.{SJ是等差数列2.{/}单调递增D.{SJ单调递增

【G-024］数学试卷第1页（共4页）

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设离散型随机变量X的分布列如表，若肉攸型随机变垃丫满足y=2X-l,则

A.x=0.2B.E(X)=2,0(>)=1.8

C£(X)=2,D(X)=L4D.E(r)=3,P(D=7.2

10.已知函数/(x)=4疝1(5：+中)(4>0,8>0/3</)的部分图象如图所示,且图中阴影部分的面积为

47r,则

A./(X+IT)=/(X)y^EB

f3DC

D.函数在区间(；,97r)内单调递减

44

1L抛物线x2=8y的焦点为尸，准线为直线2,过点F的直线交抛物线于A.B两点,分别过A.B作抛物线

的切线交于点P.A4'JJ于点4',88'12于点8',则

A.点P在直线y=-4上B.点P在直线/IB上的投影是定点

C.以/!'夕为直径的圆与直线AB相切D.嗯鲁的最小值为告

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知lgx+lgy=2,则x+y的最小值为.

13.已知三棱锥P-ABC的外接球为球。,PC为球0的直径，且PC=2,E4=P8=Q,AB=1,则三棱锥

P-ABC的体积为.

14.“完全数”是一类特殊的自然数,它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数

。(")：VneN*,cr(n)为兀的所有正因数之和，如。(6)=1+2+3+6=12,则CT(20)=；

o(6")=_______-

四、解答题:共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数/(%)=COS(3*+9)(3>0,-万•<w<0)的最小正周期,

为n,且函数/(z)的图象向左平移三个单位后得到的函数为T

6

偶函数.~oisT-27五行一，

U)求函数/(工)的解析式，并通过列表、描点在给定坐标系*123，2

中作出函数/(%)在［0,汨上的图象；

(2)在锐角LABC中，a,〃，c分别是角4,8,C的对边,若一

W=，求/⑶的值地

【C-024】数学试卷第2页(共4页)

16.(15分)

篮球运动深受青少年喜爱.2024《街头篮球》SFSA全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月

13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.

(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进

行调查，得到2x2列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值«=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？

(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者

都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接

到.记甲第"次触球的概率为匕，则P产1.

(1)证明:数列忆—I是等比数列；

(ii)判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.

2

2_rt(ad-bc)

(Q+6)(c+d)(Q+C)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)

如图,在圆台。01中分别为上、下底面的直径，且

AB=2AlBl,CCl为异于的一条母线.

(1)若M为/1C的中点，证明:GM〃平面AB8M；

(2)若。。产3,48=4,448c=30。,求二面角A-CC-0的正弦值,

18.（17分）

已知函数/（#）=«­/T"n*,其中«>0.

（1）若曲线），=/（#）在点（1,1）处的切线方程为y=1，求/（工）的最小值；

（2）若&n。3*-2对于任意x>0均成立，且式a）=b+ka的最小值为1，求实数k.

a

19.（17分）

如图.各边与坐标轴平行或垂直的矩形4BQ）内接于椭圆E：j+==l（a乂>0）,其中点4,B分别

在第三、四象限，边40.8c与*轴的交点为％,Mr

⑴若4B=BC=1,且根，必为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；

（2）若&是椭圆E的另一内接矩形，且点4也在第三象限，若矩形/1BCD和矩形4&G2

的面积相等，证明：|04『+|04『是定值，并求出该定值；

⑶若ABCD是边长为1的正方形，边与y轴的交点为MjM,设P；（i=l,2,…，100）是正

方形ABCD内部的100个点，记d*=?|弧尸」，其中4=1,2,3,4.证明&W，d3&中至少有

两个小于81.

数学参考答案及评分标准

二'选择题:

题号1234567891011

答案ABCBDACDBDABCBCD

【解析】

1.依题意幺={-1,0,1}用={9|9=2"4€4}=仁,1,2卜因此/口8={1}，选项A正确

22

2.因为双曲线二-当=1的焦距为4,所以3+-=22,解得一=1,所以则该双曲线经

3m2

过一、三象限的渐近线的斜率为=走，选项B正确.

V33

3.显然0<a=2一°4<2°==0.4一°4>04°=i；c=iOg042<log041=0,故选项C正确.

4.依题意，直线/，私〃不过同一点，因此，若加,〃两两相交”则必有加,〃共面(由三

个交点确定的平面)"，但若加，〃共面”，有可能有两条直线平行，与第三条之间分

别相交，但此时，“/切，〃两两相交”结论错误，故选项B正确.

5.因为/+2+1=0,所以，一1=(2一1)(/+?+])=0,从而/=],选项D正确.

1116-3-

6.(6一一)6的展开式通项为l+i=C"(A)6f•(——y=C；-(—y-x2当r=2时，常

2x2x2

数项为。〉(-工)2="，选项A正确；令2=1,得各项的系数和为(1-工)6=工，选项B

24264

错误；展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；依题意奇数项二项

16

式系数和为0+&+=32，选项D错误.

2z=o

7.不妨设点4的坐标为(N,y),OA=(X,y\OB=(-rr,y),

由厉？+〃・刀=0可得犷+忧―2/=0,即(/—1)2+忧=1,故选项C正确•

8.依题意S”4册+工]=2S"S”-S“_、+—=S.+%=—=S：-SJ=1,

21anJSn-Sn_]Sn_Sn_[

令几=1,解得百=1,从而S；=场S/=品,%=品一Jrz—1,易知选项D正确.

9,因为0.1+0.4+升0.2+02=1,所以hO.l,A选项错误；

由E(X)=OxO.l+1x04+2x0.1+3x0.2+4x0.2=2,MX=0+1+^+3+4=2,

故D(X)=(0-2)2x0.1+(1-2)2x0.4+(2-2)2xO.l+(3-2)2x0.2+(4-2)2x0.2=1.8,

因此选项B正确；

又y=2J^l,所以，E(y)=2E(X)-l=3,0(y)=40(X)=7.2,故C错D对.

2九

10.由题意，4=2,47=4兀，所以T=—=TI,即0=2,

CD

JTJT

又/(0)=1,所以2sin0=l,可得*=—,因此/Q)=2sin(22+—).

66

显然，函数周期为兀，/3+兀)=/(出)，选项A正确；

因为/(詈)=2sin(午+，=0,所以选项B正确，

数学参考答案第1页(共6页)

/（—）=2sin（—+-）=2sin—=2,选项C正确；

6662

若se（工型），即二＜2＜羽，则+函数先减再增，D错误.

444433

11.依题意焦点B的坐标为（0,2）,准线为直线/：,=-2,

不妨设/（々,%）,3（22,）2）,直线48的方程为》=丘+2,

联立？=庇+2与J?=8?,得/_8kx—16=0,从而4+4=84,1也=-16,

由题意，y=—x2,yy=­x,

J84

故抛物线过点4石的切线方程分别为

11

?一％=7%（z”巧），？一%=产（z艮―4），

解得点尸的坐标为（生产，-2）,故A错误；

因为方•丽=0,所以抒1^/石，

即点P在直线，四上的投影是点歹（定点），故选项B正确；

njffiRtA4FP^RtA4W,RtABFP^RtABTP,因止匕PP=4P=3'P,

即以⑷⑻为直径的圆与直线48相切，选项C正确；

2

对于选项D,因为|4B|=%+为+4=8户+8,|FF|=716A+16=4^+1，

..AAB\+18庐+9r^--1

从而',',=I----=2〃2+1+------,

附47FTT4VFTi

令”"2+121,由函数)=2/+\单调性易知，2=1,函数取最小值;.D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

B1

12.2013.（-14.42；5（2"+1-1）（3"+1-1）.（第一空2分，第二空3分）

【解析】

12.依题意？＞0,2/＞0,2；沙=100,所以立+922而=20,等号成立当且仅当2=沙=10.

13.如图，易知/P4O=NPBO=90。，AC^BC^i,

作于点H,易知BHLPC,AH=BH=g

2

AHBH2-AB2

cosNAHB=、

2AH-BH3

QATTTJTJ•/ALTD32^2V2

S丛AHB=—AH,BH,sin/AHB=—x-----=,

2834

1F)

故三棱锥P-ABC的体积为—翅力成,PC=J.

14.FT(20)=1+2+4+5+10+20=(2°+2+22)(5°+5)=42

℃)=(1+2+4+…+2")(1+3+9+..7)](2向-1)(3—1).

数学参考答案第2页（共6页）

四、解答题:

15.(13分)

解：(1)•.•函数”2)的最小正周期7=—=口，。=2,

(D

,*,向左平移后/(N~1—)=C0S(2?H---F(p)为偶函数，且—＜夕＜0,***(p=—，

'6323

JI

故f(%)解析式为/(劣)=cos(2力-j)...............................................................4分

列表如下：

5万litIbr

X0莅n

6T

*It3川

2x-----0n

3"I2T

££

/(X)210一102

jJI

即2acosC=bcosC+ccos5,解得cosC=—,即。=—,..............11分

23

兀JT

又因为△Z5C是锐角三角形，所以一＜3＜一,

62

兀2HJI1

^0＜25--＜y,BP/(x)=cos(25--)e(--,l)......................................13分

16.(15分)

解：(1)假设80：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.

2

的黄宜?士立的A*,ZV?200x(60x80-20x40)100,八℃。

根4n据列联表数据，经计算得B/=---------------------=——＞10.828=xooi,

100x100x80x12030

依据小概率值的独立性检验，我们推断五。不成立，

即能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0・001.

............................................................6分

(2)(i)由题意，

4=加.0+(1-％_).-卜_]+；,...........................................................8分

所以/_；=一；)

数学参考答案第3页(共6页)

1313-,为公比的等比数列.…12分

又6—所以是以i为首项

3

（止）由（i）,

所以g4=:（一；尸+；<；，&=?（_；）"+（>；・

故甲第25次触球者的概率大....................15分

17.（15分）

解：（1）证明：连接4cl.

因为44,AB分别为上、下底面的直径，且

所以44,34,eg为圆台母线且交于一点.因此4a，。,。l四点共面......3分

因为圆台。q中平面幺8。〃平面44。1,

平面44c°n平面48。=4。，平面44c1。口平面44cl=4G，

所以4c〃4q,

又因为48=244,所以普=罂=：

从而£%=£4=▲,即C|为P。的中点...........................5分

PCPA21

在△P4C中，V为4。的中点，所以〃44r

因为44=平面CM<z平面幺344，

所以〃平面AB44............................................7分

（2）以。为坐标原点，。8。。］分别为外2轴，过点。且垂直与平面幺的直线为

2轴，建立空间直角坐标系。-磔/Z.

因为/幺5。=30。，所以/幺。。=60。，所以4（0,-2,0）,。（6,-1,0）,0］（0,0,3）,

因为布=（6,-1,0）,所以谓=^方=（5，-（0）,故。］（3,-;,3）,

------>\［31

所以qc=（53）,...........................................9分

n.-OC=0,

设平面OCC］的法向量为多=(xyz),则(一►

nxCC=0,

_%=0,

即81?_n'所以平面。。C］的一个法向量为”］=(1,6,0).

~xi--?/i-3zi=。，

.................................11分

又幺。=（6,i,o）,设平面acq的法向量为％=（4，％，4），

氏X?+%=0,

所以?-AC=0,即忆一…

-CC=0,=0,

所以平面OOC］的一个法向量为“213分

数学参考答案第4页（共6页）

15分

13

18.(17分)

解：(1)①由题意，且/(力)的定义域为(0,+8)

a2xa-b

f\x)=a2xa-1--=2分

XX

4)=1,Q=1,a=1,

依题意即<,从而4分

八1)=0,a2-b=0,b=l,

T—1

故/⑵=/一In①，f\x)=----，....................5分

x

从而函数/Q)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以/3)min=*l)=L............................7分

(2)依题意，xa——\nx>3/一2,其中Q>0,记八(/)=1。——lni-3/+2,则h(x)>0，

aa

因为伏l)=o,WQ),即为1)是帖:)的极小值也是最小值,故加⑴=0,

而於(n)=-----3,所以Q3=0,解得6=a>—3a,............9分

axa

止匕时h(x)=xa一(a-3)ln/—3i+2(/>0),

若0<a<3,则/fO时，xa—>0,lnL—O,-(Q—3)lni-—oo,-3/+2—>2,

BPh(x)—>-oo,与〃/)NO矛盾！.....................................]]分

a—3.o>xa_3x—Q+3CL(xa—1)—3Q—1)

若QN3,h\x)=axa~{------5=--------------=----------------

xxx

则当0<立<1时，"⑶必1)«0,八⑺单调递减,

xx

a(m)=("3)(D>o,)单调递增,

当/>1时，h'⑺>h(x

xx

符合题意.

故a23........13分

所以g(〃)=6-(3-4)〃，其中Q23.

?一上

若不«3即k>-3时，则函数g(a)在［3,+oo)上最小值为g(3),

依题意9-3(3-口=1,解得心=g,符合题意;

15分

若13—>卜3即k<-3时，则函数g(a)在［3,+8)上最小值为。(3三—卜)，

依题意g(土且)=1,即一(3-&)二=1,无解，不符合题意.