人教版七年级数学下学期期末试卷解答题汇编试卷（含答案）

一、解答题

1.如图所示，在直角坐标系尤。，中，已知A(6,o),8(8,6),将线段Q4平移至CB,连接

OC、AB、CD、BD,且OC〃AB,点。在X轴上移动(不与点。、A重合).

(1)直接写出点C的坐标；

(2)点。在运动过程中，是否存在△ODC的面积是△ABD的面积的3倍，如果存在请求

出点。的坐标，如果不存在请说明理由；

(3)点。在运动过程中，请写出/OCD、ZABD./3DC三者之间存在怎样的数量关

系，并说明理由.

9

解析：(1)(2,6);(2)0)或(9,0)；(3)NOCD+NOBA=NBDC或

2

ZOCD-ZDBA=NBDC

【分析】

(1)由点的坐标的特点，确定出FC=2,OF=6,得出C(2,6)；

(2)分点。在线段OA和在OA延长线两种情况进行计算；

(3)分点D在线段0A上时，ZOCD+ZDBA=NBDC和在OA延长线NOCD-ZDBA=NBDC

两种情况进行计算.

【详解】

解：(1)如图，过点C作CF_Ly轴，垂足为F,过B作BE_Lx轴，垂足为E,

FC=AE=8-6=2,OF=BE=6,

C(2,6)；

(2)设D(x,0),当△ODC的面积是△AB。的面积的3倍时,

若点D在线段OA上，

OD=3AD,

gx6x=3xgx6(6-x),

9

••X—,

2

9、

..D(—»0)；

2

若点。在线段OA延长线上，

OD=3AD,

.；x6x=3x|x6(x-6),

x=9,

D(9,0)；

(3)如图，过点。作。日IOC,

由平移的性质知OGIAB.

OCWABWDE.

：.ZOCD=ZCDE,ZEDB=NDBA.

若点D在线段OA上，

ZBDC=NCDE+NEDB=NOCD+Z.DBA,

即NOCD+ZDBA=NBDC；

若点。在线段OA延长线上，

ZBDC=ZCDE-NEDB=NOCD-ZDBA,

即NOCD-ZDBA=Z.BDC.

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了点三角形面积的计算方法，平移的性质，平行线的性

质和判定，解本题的关键是分点D在线段OA上，和OA延长线上两种情况.

2.如图，直线PQ//肱v,一副直角三角板AABCADE/中，

ZACB=ZEDF=90°,/ABC=ABAC=45°,ZDFE=30°,/DEF=60°.

(1)若ADEF如图1摆放，当£»平分NPEF时，证明：FD平分ZEFM.

图1

(2)若AABC,ADEF如图2摆放时，则NPDE=

图2

(3)若图2中AABC固定，将ADE厂沿着AC方向平移，边。尸与直线尸。相交于点G,

作/FG。和NGE4的角平分线GH、切相交于点H(如图3),求NGHF的度数.

图3

(4)若图2中ADEF的周长35cm,4尸=5cm,现将AABC固定，将ADEF沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到ADEN,点"E的对应点分别是。、E',请直接写

出四边形DEM)'的周长.

(5)若图2中ADEF固定，(如图4)将AABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线A7V首次重合的过程中，当线段BC与AD砂的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

M

AN

图4

解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s

【分析】

（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

（2）如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

（3）如图3,分别过点F、H作FLIIMN,HRWPQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

（4）根据平移性质可得OZ=DF,DD,=EE,=AF=5cm,再结合DE+EF+DF=35cm,可得

出答案；

（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当BCIIDE时，②当BCIIEF时，③当3CIIDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

（1）如图1,在仆DEF中，ZEDF=90°,ZDFE=30",ZOEF=60°,

图1

■，-ED平分NPEF,

ZPEF=2NPED=2^D£F=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMFE=180°-ZPEF=180°-120°=60°,

ZMFD=NMFE-NDFE=60o-30o=30°,

/.ZMFD=NDFE,

：.FD平分NEFM；

(2)如图2,过点E作EKWMN,

图2

ZBAC=45°,

：.ZKEA=ZBAC=45°,

PQIIMN,EKWMN,

：.PQIIEK,

：.ZPDE=NDEK=NDEF-NKEA,

又「ZDEF=60°.

/.ZPDE=60°-45°=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作FillMN,HRWPQ,

D

图3

ZLFA=NBAC=45°,ZRHG=ZQGH,

■：FLWMN,HR11PQ,PQIIMN,

：.FLWPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=180°,ZRHF=ZHFL=NHFA-ZLFA,

•••zFGQ和NGFA的角平分线GH、FH相交于点H,

NQG”=:NFGQ,NHFA=±NGFA,

---ZDFE=30°,

：.ZGM=180°-ZDFE=150°,

：.ZHFA=^NGFA=75",

：.ZRHF=ZHFL=NHFA-NLE4=75°-45°=30°,

ZGFL=ZGFA-ALfi4=150°-45°=105°,

:.NRHG=NQGH=』NFGQ=；(180°-105°)=37.5°,

ZGHF=NRHG+NRHF=37.5°+30O=67.5O；

(4)如图4,，.•将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△

图4

D'A=DF,DD'=EE'=AF=5cm,

-，-OE+EF+OF=35cm,

OE+EF+O'A+AF+OD'=35+10=45(cm),

即四边形OEA。'的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。,

分三种情况：

/.3t=30,

解得：t=io；

BCWEF时，如图6,

/.ZBAE=N8=45°,

/.ZBAM=ZBAE+AEAM=450+45°=90°,

/.3t=90,

解得：t=30；

图7

ZDRM=NEAM+Z.£>FE=45°+30°=75°,

ZBKA=NDRM=75°,

■：ZACK=180°-ZACB=90°,

：.ZCAK=90°-NBKA=15°,

ZCAE=180°-NEAM-NCAK^180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与AOEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

3.如图，MN//GH,点A、B分别在直线/WN、GH上,点O在直线MMGH之间，若

ZNAO=116°,ZOBH=144°.

(1)ZAOB=_°；

(2)如图2,点C、D是ZNAO、NGBO角平分线上的两点，且NCD8=35。，求NACD的

度数；

(3)如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线外上的一点，若=

nZOAE,AHBF=n/OBF且/AFB=60。，求n的值.

图1图2

解析：(1)100；(2)75°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过。作OP//MN,由MN//OP//GH得NNAO+NPOA=180°,

NPOB+NOBH=180。，即NNAO+NAOB+NOBH=360。，即可求出NAOB；

(2)如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得ZW4C=58。，再根据

平行线的性质得到NCEF=58。；进一步求得NOB尸=18。，ZDFB=1T,然后根据三角形外

角的性质解答即可；

(3)设BF交MN于K,由NM4O116。，得NMAO=64。，故NMAE="-x64°,同理

〃+1

ZOBH=144°,ZHBF=nZOBF,得NFBH=-^-x144°,从而x144。，又

n+1M+1

ZFKN=NF+ZFAK,得」一xl44°=60°+/-x64°,即可求n.

n+1n+1

【详解】

解：(1)如图：过。作OP〃MN,

MN//GHI

MN//OP//GH

：.ZNAO+NPOA=180°,ZP08+NOBH=180°

/.ZNAO+NAOB+Z.OBH=360°

,/ZMAO=116°,ZOBH=144°

/.Z/4OB=360o-116o-144o=100°；

(2)分别延长47、CD交GH于点、E、F,

,/47平分Z2VAO且NM4O=116。，

/.ZNAC=58°f

又「MN//GH,

/.ZCEF=58°；

/ZOBH=144°,NO3G=36。

BD平分NOBG,

/.ZDBF=18°,

又「ZCDB=35°9

ZDFB=NCDB—ZDBF=35—18=17。；

：.ZACD=NDFB+ZAEF=17。+58。=75。；

(3)设FB交MN于K,

r)

ZMAE=——x64°

〃+l

,/ZOBH=144°,

Y]Y]

/.ZFBH=——xl44°,ZBKA=ZFBH=——xl44°,

〃+ln+1

Yl

在AEAK中，ZBKA=ZFKA+ZF=——x64°+60°

n+1z

/.——xl44°=——x64°+60°,

n+1n+1

n=3.

经检验："=3是原方程的根，且符合题意.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进

行求解是解答本题的关键.

4.已知ABIIC。，NA8E与NCOE的角分线相交于点F.

(1)如图1,若BM、0M分别是NA8F和NCOF的角平分线，且NBED=100。，求NM的

度数；

(2)如图2,若NABF,NCDM=；NCDF,NBED=a。,求N/W的度数；

(3)若NAB/W=^NABF,NCDM=^NCDF,请直接写出NM与NBED之间的数量关系

OAQO_0。

解析：(1)65°；(2)-------；(3)2"N/W+NBED=360°

6

【分析】

(1)首先作EGIIAB,FHWAB,连结MF,利用平行线的性质可得NABE+NCDE=260。，再

利用角平分线的定义得到N/WF+NCDF=130。，从而得到N8F。的度数，再根据角平分线的

定义和三角形外角的性质可求NM的度数；

(2)先由已知得至叱ABE=6NABM,ZCDE=6ZCDM,由(1)得NABE+NCDE=360°-

ZBED,ZM=ZABM+NCDM,等量代换即可求解；

(3)由(2)的方法可得到2nNM+NBED=360°.

【详解】

解：(1)如图1,作EG//AB,FH//AB,连结儿ZR,

图1

AB//CD,

:.EG//AB//FH//CD,

:.ZABF=ZBFH,ZCDF=ZDFH,ZABE+ZBEG=180°,NGED+NCDE=180°,

ZABE+ZBEG+Z.GED+Z.CDE=360°,

ZBED=ZBEG+ZDEG=100°,

ZABE+ZCDE=260°,

NABE和NCDE的角平分线相交于E,

ZABF+NCDF=130°,

ZBFD=ZBFH+ZDFH=130°,

BM、DM分别是ZABF和NCDF的角平分线，

ZMBF=-ZABF,ZMDF=-ZCDF,

22

ZMBF+ZMDF=65°,

ZBMD=130°-65°=65°；

(2)如图1,ZABM=-ZABF,NCDM==NCDF,

33

:.ZABF=3ZABM,NCDF=3NCDM,

NABE与NCDE两个角的角平分线相交于点尸，

ZABE=6ZABM,Z.CDE=6ZCDM,

6ZABM+6NCDM+ABED=360°,

NBMD=ZABM+ZCDM,

6ZBMD+ZBED=360°,

(3)由(2)结论可得，2,叱ABM+2〃NCDM+ZE=360。，ZM=ZABM+ZCDM,

则2nZM+ZBED=360°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，

内错角相等，同旁内角互补的性质.

5.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推

理的基础.

已知：AMWCN,点B为平面内一点，AB_LBC于B.

问题解决：(1)如图［，直接写出NA和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点B作于点。，求证：N4B0=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点、E、F在D/W上，连接BE、BF、CF,BF平分NDBC,

8E平分NABD,若NFCB+NNCF=180°,ZBFC=3NDBE,则NEBC=_.

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设4M与8C交于点OJMMIIC7V,

ZC=ZAOB,

■：ABrBC,

：.ZABC=90°,

ZA+NAOB=90°,

ZA+NC=90°,

故答案为：NA+NC=90。；

（2）证明：如图2,过点B作BGIIDM,

图2

•••BDLAM,

/.DB工BG,

：.ZDBG=90°,

/.ZABD+ZA8G=90°,

,/AB.LBC,

：.ZCBG+N4BG=90°,

/.ZABD=NCBG,

AMWCN,

：.ZC=ZCBG,

/.ZABD=^C；

（3）如图3,过点B作BGIIDM,

图3

■:BF平分NDBC,ABD,

：.ZDBF=ZCBF,ZDBE=2ABE,

由（2）知NABD=ZCBG,

NABF—Z.GBF,

设NDBE=a,NABF=6,

则NABE=a,ZABD=2a=ACBG,

ZGBF=ZAFB=6,

ZBFC=3NDBE=3a,

.ZAFC—3a+6,

ZAFC+ANCF=180°,ZFCB+ZNCF=180°,

：.ZFCB=ZAFC=3a+6,

△BCF中，由NCBF+ZBFC+ZBCF=180。得：2a+6+3a+3a+6=180°,

AB±BC,

：.6+6+2a=90°,

ct=15",

ZABE=15°,

：.ZEBC=NABE+NABC=15°+90°=105°.

故答案为:105。.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

6.如图，直线PQ//MN,点C是尸。、MN之间（不在直线PQ,MN上）的一个动点.

BQ

（1）如图1,若N1与N2都是锐角，请写出NC与/I,Z2之间的数量关系并说明理由；

（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与尸。交于点

D,C4与肋V交于点E,54与尸。交于点尸，点G在线段CE上，连接。G,有

ZBDF=ZGDF,求的值;

(3)如图3,若点。是MN下方一点，BC平分NPBD,AM平分NC4Z),己知

NPBC=25。,求NACB+NAD3的度数.

解析：(1)见解析；(2)|；(3)75°

【分析】

(1)根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

(2)根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

(3)根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：⑴NC=N1+N2,

证明：过C作川MN,如下图所示，

图1

/IIMN,

.Z4=Z2（两直线平行，内错角相等），

•••/IIMN,PQIIMN,

./IIPQ,

..Z3=Z1（两直线平行，内错角相等），

Z3+Z4=Z1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）•••ZBDF=ZGDF,

,/ZBDF=Z.PDC,

：.ZGDF=NPDC,

■：ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCOG+2NPDC=1SO°,

：.ZPDC=90°《NCOG,

由（1）可得，ZPDC+NCEM=NC=90°,

：.ZAEN=NCEM,

ZAEN_NCEM_90。-/尸DC_90。-（90。-*CDG）_1,

ZCDG-ZCDG--ZCDG~ZCDG-2

(3)设B。交MN于J.

BO

■：BC平分NPBD,AM平分NCAD,ZPBC=25°,

/.ZPBD=2NPBC=50°,ZCAM=AMAD,

■：PQIIMN,

：.ZBJA=NPBD=50°,

：.ZADB=ZAJB-NJAD=50°-NJAD=500-ACAM,

由(1)可得，ZACB=ZPBC+/LCAM,

：.ZACB+NADB=NPBC+NCA/W+50°-NCA/W=25°+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

7.如图1,已知直线mil”，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点。射出，在平面镜

AB上经点P反射后，到达直线”上的点Q.我们称0P为入射光线，PQ为反射光线，镜面

反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即

NOPA=NQPB.

图1图2图3

(1)如图1,若NOPQ=82。，求NORA的度数；

(2)如图2,若NAOP=43。，NBQP=49。，求NORA的度数；

(3)如图3,再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和。上，另一块在两直线之

间，四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

。玲P玲Q玲—。玲P>..试判断NOPQ和NORQ的数量关系，并说明理由.

解析：(1)49。，(2)44°,(3)NOPQ=NORQ

【分析】

(1)根据NOPA=ZQPB.可求出N0%的度数；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解决问题；

(3)由(2)推理可知：ZOPQ=ZAOP+NBQP,ZORQ=NOOR+NRQC,从而

ZOPQ=NORQ.

【详解】

解：(1)•••Z0R4=ZQPB,ZOPQ=82°,

：.ZOPA=(180°-ZOPQ)X^=(180°-82°)x1=49°,

(2)作PCIIm,

mIIn,

/.mIIPCWn,

...ZAOP=AOPC=43°,

ZBQP=NQPC=49°,

/.ZOPQ=NOPC+ZQPC=43°+49°=92°,

ZOPA=(180°-ZOPQ)X；=(180°-92°)x；44。，

图2

(3)ZOPQ=NORQ.

理由如下：由(2)可知：NOPQ=NAOP+NBQP,NORQ=NDOR+NRQC,

•••入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，

/.ZAOP=ZDOR,ZBQP=ZRQC,

：.ZOPQ=NORQ.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的

设置环环相扣、前为后用的设置目的.

8.如图，在平面直角坐标系中，己知A(a,0),C(0,4),a,6满足

(a+2y+^/^4=0.平移线段AB得到线段CO,使点A与点C对应，点8与点。对应，

连接AC,BD.

(1)求4，6的值，并直接写出点。的坐标；

(2)点尸在射线A3(不与点A,B重合)上，连接PC,PD.

①若三角形尸CD的面积是三角形尸3D的面积的2倍，求点P的坐标；

②设=2PDB=/3,ZDPC=0.求a,/?,9满足的关系式.

解析：(1)0(6,4)；(2)①尸(1,0)或(7,0)；②点P在B点左侧时，。+尸=9；点P在

B点右侧时，a-/3=0.

【分析】

(1)根据非负数的性质分别求出。、b,根据平移规律得到平移方式，再由平移的坐标变

化规律求出点。的坐标；

(2)①设尸8=根，根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出加，得到点P的坐标；

②分点尸点尸在B点左侧、点P在B点右侧时，过点P作尸E〃AC,根据平行线的性质解

答.

【详解】

2

解：⑴(O+2)+>/^4=0,

.,.<7+2=0,b-4=0,

,解得，a=—2,b=4.

二A(-2,0),8(4,0),

平移线段AB得到线段CD,使点A(-2,0)与点C(0,4)对应，

平移线段向上平移4个单位，再向右平移2个单位得到线段CO,

£>(4+2,0+4),即。(6,4)；

(2)①设尸3=加，

・「线段平移得到线段CO,

/.AB//CD,

•/AB=CD=6,OC=4

—DS

.•.Qc.PCD~aQPBD，

-CD.OC=2.-PB.OC

22f

•/AB=CD=6,OC=4

/.—1x6….4=2cx—1x4)m

22

解得m=3,

当P在B点左侧时，坐标为(1,0),

当P在B点右侧时，坐标为(7,0),

•••尸(L0)或(7,0)；

②/、点P在射线AB(不与点A,3重合)上，点尸在B点左侧时，a,/7,0满足的关

系式是&

/.ZCPE=ZPCA=a,

CD由AB平移得到，点A与点C对应，点8与点。对应，

AC//BD,

：.PE//BD

：.ZDPE=ZPDB=^,

ZCPD=ZCPE+ZDPE=a+j3.^a+(3=0,

II、如图2,点尸在射线AB(不与点A,8重合)上，点P在B点右侧时，a,夕，0满

足的关系式是c-£=e.

同①的方法得，ZCPE=ZPCA=a,ZDPE=ZPDB=^,

ZCPD=ZCPE-ZDPE=a-/3-即：a-/3=d

综上所述：点尸在B点左侧时，夕+尸=。.点尸在B点右侧时，a-p=6.

【点睛】

本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角

形、平行四边形的面积公式.关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化.

9.在平面直角坐标系中，已知点出3,5),8(7,5),连接A3,将向下平移6个单位得

线段C。，其中点A的对应点为点C.

(1)填空：点。的坐标为,线段平移到8扫过的面积为.

(2)若点p是y轴上的动点，连接产£).

①如图，当点尸在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E,用等式表示三角形

PEC的面积与三角形E8的面积之间的关系，并说明理由.

②当PD将四边形ACD3的面积分成1:3两部分时，求点尸的坐标.

解析：⑴(7,-1)；24；(2)®5P£C=|S£CD；见解析；②尸(0,?］或PQ20)

【分析】

(1)由平移的性质得出点C坐标，AC=6,再求出AB,即可得出结论；

(2)①过户点作MLAC交AC于尸，分别用CE表示出两个三角形的面积，即可得到答

案；②根据题意，可分为两种情况进行讨论分析：⑺当PD交线段AC于E,且尸。将

四边形ACDB分成面积为1:3两部分时；当尸。交AB于点G,尸D将四边形ACDB分成面

积为1:3两部分时；分别求出点P的坐标即可.

【详解】

解：(1),点A(3,5),将AB向下平移6个单位得线段CD,

C(3,5-6),

即:C(3,-1),

由平移得，AC=6,四边形ABOC是矩形，

(3,5),B(7,5),

/18=7-3=4,

/.C0=4,

二点D的坐标为：(7-D；

•'S四边形ABDC二八B・AC=4x6=24,

即：线段AB平移到CD扫过的面积为24；

故答案为：(7,-D;24；

(2)①过P点作/方_LAC交AC于则尸尸=3,如图：

又S.=—CECD=—CE2CE,

/、AZPiCrLnz2x2x4=

3

-S^PEC=WS^ECD•

②(力当尸。交线段AC于£,且尸。将四边形AQM分成面积为1:3两部分时,

连接PC,延长QC交,轴于点尸，则尸(0,—1),

39

S"EC=W*6=5，

__921

..S"CD=S"EC+S庄CD=5+6=耳，

121

即/xCOxPb=耳，

.「8=4,

2117

/.PO=PF-OF=——1=——

44

17

(//)当尸。交A3于点G,尸。将四边形ACD5分成面积为1:3两部分时,

连接依，延长B4交》轴于点“，则”(0,5).

过P点作PM±BD交DB的延长线于点M,

^\PM=HB,

.S^pDB=—xBDxPM=yx6x7=21,

SAGBD=；x24=6,

gp|xBDxBG=6,

BD=6,

BG=2,

又〈S"GB~S"DB-^^GBD—21—6=15,

gp|xBGxPH=15,

/.PH=15,

PO=PH+OH=15+5=20,

P(0,20).

17

综上所述,尸（°丁或尸©2。）.

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，矩形的判定，三角形的面积公式，用分

类讨论的思想是解本题的关键.

10.某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A,B两种品牌的护眼灯，下表是近两天

的销售情况.

销售数量（盏）

销售日期销售收入（元）

A品牌B品牌

第一天21680

第二天341670

（1）求A,B两种品牌护眼灯的销售价；

（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的

护眼灯最多采购多少盏？

解析：（1）A品牌为210元/盏，B品牌为260元/盏.（2）10盏.

【分析】

（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，根据总价=

单价x数量结合两天的销售情况，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结

论；

（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购（30-m）盏A品牌的护眼灯，根据总价=单价x数

量结合总费用不超过4900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值

即可得出结论.

【详解】

（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，

2x+y=680

依题意，得:

3%+4y=1670

x=210

解得:

j=260

答：A品牌护眼灯的销售价为210元/盏，B品牌护眼灯的销售价为260元/盏.

（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购（30-m）盏A品牌的护眼灯,

依题意，得：150（30-m）+190m<4900,

解得：m<10.

答：B品牌的护眼灯最多采购10盏.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准

等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式.

销售数量（盏）

销售日期销售收入（元）

A品牌B品牌

第一天21680

第二天341670

3x+5y=k+l

11.题目：满足方程组cJ。的X与y的值的和是2,求k的值.

2x+3y=3—2左

按照常规方法，顺着题目思路解关于x,y的二元一次方程组，分别求出xy的值（含有字

母k）,再由x+y=2,构造关于k的方程求解，从而得出k值.

（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变

形得到“x+y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到"x+y"整体值，从而求

出k值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程.

（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x=k,5y=l

1Q

解得y=g，3x+y=2,x=《

,927

k=3x—=——

55

g13

把x=1，y=g代入方程②得k=-w

所以k的值为弓或-

请诊断分析并评价“小勇同学的解答〃.

解析：（1）（2）〃小勇同学的解答〃错误，诊断分析和评价见解析

【分析】

（1）由两种方法分别得出2=5-5k,求解即可；

（2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进

行评价即可.

【详解】

解：（1）方法一：②x2得：4x+6y=6-4k③，

由③-①得：x+y=5-5k,

x+y=29

2=5-5k,

3

解得：k=-,

方法二：由①-②得：x+2y=3k-2③，

由②-③得：x+y=5-5k,

/x+y=2,

：.2=5-5k,

,3

解得：k=《；

（2）"小勇同学的解答"错误，理由如下：

■:令3x=k,5y=1,求出的x、y的值只是方程①的一个解，而方程①有无数个解，根据方

程组的解的概念，仅有方程①或方程②的某一个解中的x、y求出的k值不一定适合方程

组中的另一个方程；只有当方程①、②取公共解时，k和x、y之间对应的数量关系才能

成立，这时，求得的才是正确答案；

另一方面，小勇的解答虽然错误，但他的思维给我们有创新的感觉，也让我们巩固加深了

对方程组解的概念的连接，同时启发我们平时在学习中，要善于多角度去探索问题，寻求

新颖的解题方法.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整体思

想的应用等知识；熟练掌握二元一次方程组的解法，由整体思想得出2=5-5k是解题的关

键.

12.为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民"一户一

表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：

自来水销售价格

每户每月用水量单位：元/吨

15吨及以下a

超过15吨但不超过25吨的部分b

超过25吨的部分5

（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费元；（用“，6的代数式表示）

（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费

70元，求匕的值.

（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量.

（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月

份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说："水价调整了，表中表示单位的。，b的值分别上

调了整数角钱（没超过1元），其他都没变."到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符

合条件的所有可能情况.

解析：（154+56）；<、；28.3吨；“的值上调了Q4时6的值上调了0.6或者。的值上调

了0.6时6的值上调了0.1.

【分析】

（1）小王家今年3月份用水20吨，超过15吨，所以分两部分计费，15吨及以下费用为

15a,超过15吨的费用为（20-15）6=58,故总费用15。+56；

（3）在第（2）题的条件下，正好25吨时，所需费用60（元）,可知若交水费76.5

元，肯定用水超过25吨，可得用水量；

（4）由小王家5月份用水量与4月份用水量相同与要比4月份多交9.6元钱水费，可列

方程，满足方程的条件的解列出即所求.

【详解】

解：（1）小王家今年3月份用水20吨，要交消费为154+56,

故答案为：（15a+56）；

15a+6b=48

（2）根据题意得,

15a+10b+5x2=70

解得:

（3）在第（2）题的条件下，当正好25吨时，

可得费用15x2+10x3=60（元），

由交水费76.5元可知，小王家用水量超过25吨,

即：超过25吨的用水量=（76.5-60）+5=3.3吨，

合计本月用水量=3.3+25=28.3吨

（4）设。上调了尤元，6上调了y元，

根据题意得：15x+6y=9.6,

5x+2y=3.2,

为整数角线（没超过1元），

，当x=0.6时，y=o1元，

当x=0.4时，y=0.6元，

二〃的值上调了04时，6的值上调了0.6；。的值上调了0.6时，6的值上调了0.1.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的实际应用，并学会看图提练已知，用二元一次方程列举法来

表示解.

13.如图①，在平面直角坐标系中，点A在X轴上，直线0C上所有的点坐标(x,y),都是

二元一次方程x-4y=0的解，直线AC上所有的点坐标(羽丫)，都是二元一次方程无+2y=6

的解，过C作x轴的平行线，交y轴与点B.

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)如图②，点M、N分别为线段BC,0A上的两个动点，点M从点C以每秒1个单位

长度的速度向左运动，同时点N从点0以每秒1.5个单位长度的速度向右运动，设运动

时间为t秒，且0<t<4,试比较四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积的大小.

解析：(1)A(6,0),3(0,1),C(4,l)；(2)见解析.

【分析】

(1)令x+2y=6中的y=0,求出相应的x的值，即可得到A的坐标，将方程x-4y=。

和方程x+2y=6联立成方程组，解方程组即可得到C的坐标，进而可得到B的坐标；

(2)分别利用梯形的面积公式表示出四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积，然后

根据t的范围，分情况讨论即可.

【详解】

(1)令y=0,贝|x+2x0=6,解得X=6,

.•.A(6,0).

x-4y=0x=4

解得

x+2y—6y=i

C(4,l).

BC7/X轴，

二点B的纵坐标与点C的纵坐标相同,

B(0,D；

(2)46,0),2(0,1),C(4,l),

:.OA=6,BC=4.

•••点M从点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N从点O以每秒1.5个单位长

度的速度向右运动，

:.MC=t,ON=L5t,

:.BM^4-t,NA^6-1.5t,

二S四边形MVOB=g(3M+ON)-O8=；x(4-f+1.5f)xl=；+2,

S四边形”皿=:(毗+根).OB=m«+6-L5/)xl=-；+3.

当7+2>—1+3时，即，>2时,S四边形"NOB>S四边形MNAC；

当:+2=-"^+3时，即，=2时，S四边形MN05=S四边彩MNAC；

44

当公+2<-]+3时，即t<2时,S四边形"NOB<S四边形MNAC.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，数形结合并分情况讨论是解题的关键.

14.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共

需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.

(1)求A,B两种奖品的单价；

(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的g.请

设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

解析：(1)A的单价30元，B的单价15元(2)购买A奖品8个，购买B奖品22个，花

费最少

【分析】

f3x+2y=120

(1)设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组4//八，即可求

[5尤+4y=210

解；

(2)设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30-z)个，购买奖品的花费为W元，根据题意

得到由题意可知，z>!(30-z),W=30z+15(30-z)=450+15z,根据一次函数的性质，

即可求解；

【详解】

解：(1)设A的单价为x元，B的单价为y元，

根据题意，得

J3x+2y=120

[5x+4y=2W，

,尸，

[y=i5

A的单价30元，B的单价15元；

(2)设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30-z)个，购买奖品的花费为W元，

由题意可知，z>!(30-z),

15

z2—,

2

W=30z+15(30-z)=450+15z,

当z=8时，W有最小值为570元，

即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方

案转化为一次函数性质解题是关键.

15.小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说："我买了两

种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元."李老

师算了一下，说："你肯定搞错了."

（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；

（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单

价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的

书，请问：笔记本的单价为多少元？

解析：（1）见解析；（2）6元

【分析】

（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书买了y本，根据总价=单价x数量，

结合购买两种书30本共花费（700-38）元，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之

即可得出x,y的值，结合x,y的值为整数，即可得出小明搞错了；

（2）设单价为20元的书买了。本，则单价为24元的书买了（30-a）本，笔记本的单价

为b元，根据总价=单价x数量，即可得出关于a,b的二元一次方程，化简后可得出a=

2+b

14+—,结合0<b<10,且a,b均为整数，可得出b=2或6,将b值代入a=14+

4

2+b

一中可求出。值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定b值.

4

【详解】

解：（1）设20元的书买了x本，24元的书买了，本，由题意，得

卜+y=30/卜=14.5

[20x+24y=700-38'解得jy=15.5'

•・.X,y的值为整数，故x,y的值不符合题意（只需求出一个即可）

小明搞错了；

（2）设20元的书买了“本，则24元的书买了（30-a）本，笔记本的单价为b元，

由题意，得：20o+24（30-a）+Z7=700-38,

6+582+b

化简得:=14+

4

匕=2或6.

当b=2,a=15,即20元的书买了15本，24元的书买了15本，不合题意舍去

当b=6,。=