高考数学一轮复习题型与专项训练：函数的单调性与奇偶性题型战法

第二章函数

2.2.1函数的单调性与奇偶性(题型战法)

知识梳理

一函数的单调性

1.单调性的定义

一般地，设函数“X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量4%,当

不<三时，都有/(玉)</®)，那么就说函数/(X)在区间。上是增函数；如果对于定义域/内某个区

间。上的任意两个自变量百,三,当百<三时，都有/0)>/(%),那么就说函数/(X)在区间O上是减

函数。

2.单调性的注意事项

1.函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，

即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。

2.若函数于(x)满足(玉-电)"(玉)-/&)]>0,则函数在该区间单调递增；若满足

(占-%2)[/(^)-/(%2)]<0,则函数在该区间单调递减。

3.函数单调性的判断方法主要有：

(1)定义法：在定义域内的某个区间D上任取小电并使得不<三,通过作差比较“不)与〃々)的大

小来判断单调性。

(2)性质法：若函数/(x)为增函数，g(x)为增函数，//(x)为减函数，°。)为减函数，则有

①/⑺+g(x)为增函数，②/(X)(无)为增函数，

③/z(x)+°(x)为减函数，④/i(x)-g(x)为减函数。

(3)图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的

单调性。

二函数的奇偶性

一.函数奇偶性的定义：

(1)对于函数/(尤)的定义域内任意一个X,都有=函数/(尤)是偶函数；

(2)对于函数了(尤)的定义域内任意一个x,都有/(-%)=-/(%)=函数/5)是奇函数。

二.函数奇偶性的相关性质

1.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是:奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

3.常用的结论：若“X)是奇函数，且x在0处有定义，则f(x)=O；

4.(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反;奇函数了。)在

区间,,可(0(〃<6)上单调递增(减)，则/⑺在区间［-d-句上也是单调递增(减)；

(2)偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同;偶函数"X)在区

间可(04。<人)上单调递增(减)，则/(尤)在区间［->,-a］上是单调递减(增)；

5.若函数g(x)是奇函数，/(尤)是奇函数，定义域都是关于原点对称的

(1)g(x)±/(x)是奇函数，⑵g(x)"(尤)或萼是偶函数

/(X)

(3)|/(尤)|是偶函数，(4)第尤|)是偶函数

6.若函数g(x)是偶函数，/(x)是偶函数，定义域都是关于原点对称的

(1)g(x)±/(x)是偶函数，(2)g(x)•/■(》)或警是偶函数

f(x)

(3)"(x)|是偶函数，(4)/(|x|)是偶函数

7.若函数g(x)是奇函数，/(无)是偶函数，定义域都是关于原点对称的

(1)g(x)±/(x)是非奇非偶函数，(2)g(x)"(尤)或皿是奇函数

于3

8.若函数g(x)是偶函数，/(尤)是奇函数，定义域都是关于原点对称的

⑴g(x)±c是是偶函数(2)〃x)±c是非奇非偶函数，

9.若函数g(x),〃x)"［g(x)］,定义域都是关于原点对称

(1)g(x)是奇函数时，/(元)奇函数，则y=〃g(x)］是奇函数；

(2)g(x)是奇函数时，/(尤)偶函数，则y=〃g(x)］是偶函数；

题型战法

题型战法一单调性与奇偶性的判断

典例1.下列函数既是偶函数又在（0,+8）上单调递减的是（)

A.y=x+—B.y=_尤3C.j=2-lxlD.y=--\

X尤2

变式1-1.下列函数中，既是偶函数又在(0,+S)上是单调递增函数的是()

A.y=|x|-lB.y=-r+3C.y=lgxD.y=Y

变式1-2.下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数的是（）

5

A.y=T+2-xB.y=sinxC.y=tanxD._

/yv一人

变式1-3.下列函数中，既是奇函数又在区间（口,0）上单调递增的是（）

A./（x）=-cosxB./（x）=sinxC./（^）=tanxD./（x）=x3-x-1

变式1-4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A.'=xeRB.y=(-)x,xeR

c.y=x,XGRD.y=-x3,XGR

题型战法二函数（包含复合函数）的单调区间

典例2.函数/（x）=/-2x+4的单调区间为（）

A.在R上单调递增B.在R上单调递减

C.在单调递增，在（1,+⑹单调递减D.在（TU）单调递减，在（1,—）单调递增

变式2-1.函数/。）=’的单调递减区间是（）

x

A.(-co,0),(0,+co)B.(。,+°°)C.(T»,0)(0,+co)D.(-8,0)

变式2-2.函数〃尤)=-1尤-2]的单调递减区间为()

A.(TO,2]B.[2,+8)

C.[0,2]D.[0,+oo)

变式2-3.函数y=Jf+2x_3的单调增区间是()

A.[-l,+oo)B.[l,+oo)C.(-00,-1]D.(-00,-3]

变式2-4.函数/。)=1。82(-1+*+6)的单调递减区间为()

3

A.B.1,切C.1,+力D,1,3；

题型战法三根据奇偶性求解析式

典例3.设为奇函数，且当xNO时，f(x)=x2+x,贝!j当％<0时，()

A•工2+XB.—f+%

C.V—xD.—必—JQ

变式3-1.已知/(%)是定义在R上的偶函数，且当X>0时，/(%)=%+2,则当％<0时，/(%)=()

A.—x—2B.—x+2

C.%一2D.x+2

变式32已知函数/(%)为R上的奇函数，且当xNO时，/(%)=2'+x-1,则当了<0时，/(x)=()

A.Tx-x-1B.+x+l

C.-2-1-x-lD.-2-1+x+l

变式3-3.函数«x)为R上奇函数，且/(%)=«+1(%>0),则当％<0时，段)=()

A.--\[x+1B.-1C.yj—x+lD.V=x-1

变式3-4.设〃尤)为奇函数，且当尤20时，f(x)=e~x-l,则当x<0时，/«=()

A.一一1B.尸+1C.-e^-1D.一e'+l

题型战法四根据单调性与奇偶性解不等式

典例4.已知奇函数是定义在区间(-2,2)上的增函数，且/⑺+〃2/+1)>0,则实数/的取值范

围是()

变式4-1.定义在R上的偶函数在区间［0,+。)上单调递增，若/⑴<〃ln力，则x的取值范围

是()

A.(e,+oo)B.(l,+oo)C.(^x>,-e)u(e,-Hx))D.10,-|u(e,+oo)

变式4-2.若函数〃尤)是定义在R上单调递增的奇函数，且"2)=1,则使得〃制+1<0成立的x

的取值范围为()

A.(2,+co)B.(-2,+oo)C.(-oo,2)D.(-8,-2)

变式43已知函数〃元)是定义在R上的偶函数，且在(。,+")上单调递减，/(-3)=0,则不等式

的解集为()

A.(f,-3)。(0,3)B.(-«),-3)(3,4W)C.(-3,0)(0,3)D.(-3,0)“3,同

变式4-4.已知定义在R上的函数y=/W是偶函数，且在［0,+8)上单调递减，则不等式f(x-1)>f(x)

的解集为()

A.(2,+oo)B.(―(»,0)(2,+co)C.f-,+°°jD.f1,1(2,+co)

题型战法五根据单调性与奇偶性比大小

典例5.定义在R上的偶函数〃x)满足:对任意的49目0,.)(占/々),有“^^<0,则()

A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)

C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)

变式5-1.设偶函数〃力的定义域为R,当xe［0,3)时，是减函数，则2),〃兀),/(-3)

的大小关系是().

A./(7：)>/(-3)>/(-2)B./(7T)>/(-2)>/(-3)

C./(K)</(-3)</(-2)D./(7r)</(-2)</(-3)

变式52已知偶函数〃尤)在［0,+句上单调递减，则/⑴和"TO)的大小关系为()

A./⑴>〃-10)B./(1)</(-10)

C.41)="-io)D.”1)和〃TO)关系不定

变式5-3.定义域为R的函数/(无)满足:对任意的无“％eR,有&-3(〃%)寸(马))>0,则有()

A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)

C.〃3)</(-2)<51)D./(3)</(1)</(-2)

变式5-4.已知函数在区间［0,+功上是增函数，则/⑵,/⑺,”3)的大小关系是()

A./(^)>/(2)>/(3)B./(3)>/(^)>/(2)

C.〃2)>〃3)>/⑺D./(^)>/(3)>/(2)

题型战法六根据单调性求参数

典例6.已知/(x)=d+2x+3在(-9,4)为单调函数，则。的取值范围为()

A.(-00,-1)B.(-«,-1]C.(-9.-1)D.(-9,-1]

变式6-1.已知二次函数y=*-2依+1在区间(2,3)内是单调函数，则实数。的取值范围是()

A.(-<»,2]u[3,+oo)B.[2,3]

C.(F，-3]u[-2*)D.[-3,-2]

变式6-2.已知函数/(x)=/-2ax+b在区间(-ao,1]是减函数，则实数a的取值范围是()

A.[1,+oo)B.(-00,1]C.[-1,+oo)D.(-00,-1]

变式6-3.若函数/(》)=_?_3如+18(〃7€11)在(0,3)上不单调，则加的取值范围为()

A.0<m<2B.0<m<2C.m<0D.m>2

变式6-4.已知函数=E21满足对任意的实数占w%,都有"不)一’6)>。成立,则

^a-Y)x,x<\x,-x2

实数a的取值范围为()

A.(1,3)B.[1,3)C.(1,3]D.[1,3]

题型战法七根据奇偶性求参数

典例7.若函数八力=三为奇函数，则实数。的值为()

A.1B.2C.-1D.+1

f尤31无>0

变式7-1.已知函数=・3：八为偶函数，则2。+。=()

[ax+仇犬<0

c3_1一_3

A.3B.-C.—D.

22~2

变式7-2.若函数式%)=〃%2+(2〃-4)氏+〃一4是定义在［2—2〃,〃］上的偶函数，则。-力=()

A.1B.2C.3D.4

变式7-3.已知函数=+〃为奇函数，则/?=()

A.-1B.0C.1D.2

变式7-4./(%)=依2+法一4。是偶函数，其定义域为［a-1,-2〃］,贝lja+b等于()

A.1B.-1C.D.01

3

第二章函数

2.2.1函数的单调性与奇偶性(题型战法)

知识梳理

一函数的单调性

1.单调性的定义

一般地，设函数/(尤)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个

自变量x，x2，当百<三时，都有/区)，那么就说函数/⑴在区间D上是增函数；

如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量%三,当百<三时，都有

f(xj>f5),那么就说函数/(X)在区间。上是减函数。

2.单调性的注意事项

1.函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调

区间可闭可开，即''单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。

2.若函数/(x)满足(士-三)"(王)-/(三)]>0,则函数在该区间单调递增；若满足

(占-%)"(占)-/(%)]<0,则函数在该区间单调递减。

3.函数单调性的判断方法主要有：

(1)定义法：在定义域内的某个区间。上任取不三并使得不<三,通过作差比较/(X,)

与/'(三)的大小来判断单调性。

(2)性质法:若函数“X)为增函数,g(无)为增函数，依尤)为减函数,火龙)为减函数，

则有

①/'(x)+g(x)为增函数，②/(x)-/z(x)为增函数，

③〃(x)+e(x)为减函数，④/z(x)-g(x)为减函数。

(3)图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图

象来判断函数的单调性。

二函数的奇偶性

一.函数奇偶性的定义：

⑴对于函数/5)的定义域内任意一个尤，都有"-x)=/(x)=函数/(尤)是偶函数；

(2)对于函数/(尤)的定义域内任意一个无，都有==函数/(尤)是奇函数。

二.函数奇偶性的相关性质

1.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是:奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

3.常用的结论：若“无)是奇函数，且x在0处有定义，则/(x)=0;

4.(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反;

奇函数/(x)在区间［a,可(0<a<。)上单调递增(减)，则/(尤)在区间［-仇-a］上也是单调

递增(减)；

(2)偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同；

偶函数/5)在区间［a,6］(04a<6)上单调递增(减)，则/(元)在区间［-4-句上是单调递

减(增);

5.若函数g(x)是奇函数，f(x)是奇函数，定义域都是关于原点对称的

(1)g(x)±f(x)是奇函数，(2)g(x)"(x)或是偶函数

/(X)

⑶"(x)|是偶函数，(4)/(|x|)是偶函数

6.若函数g(x)是偶函数，/Xx)是偶函数，定义域都是关于原点对称的

(1)g(x)±/(x)是偶函数，(2)g(x)"(x)或皿是偶函数

f(x)

(3)"(x)|是偶函数，(4)/(|x|)是偶函数

7.若函数g(x)是奇函数，/(x)是偶函数，定义域都是关于原点对称的

(1)g(x)±F(x)是非奇非偶函数，(2)g(x)"(x)或皿是奇函数

/(尤)

8.若函数g(x)是偶函数，/(x)是奇函数，定义域都是关于原点对称的

(l)g(x)±c是是偶函数(2)f(x)土c是非奇非偶函数，

9.若函数g(x),yo),y［gQ)］,定义域都是关于原点对称

(1)g(x)是奇函数时，八>)奇函数，则y=/［g(x)］是奇函数；

(2)g(x)是奇函数时，f(x)偶函数，则y=/［g(x)］是偶函数；

题型战法

题型战法一单调性与奇偶性的判断

典例1.下列函数既是偶函数又在（0,+8）上单调递减的是（）

]]

A.y=x+—B.y=-x3C.y=2-|x|D.y=，

xx

【答案】C

【解析】

【分析】

逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.

【详解】

解析：人项丫=*+工，B项y=-F均为定义域上的奇函数，排除；

X

D项丫=-3为定义域上的偶函数，在（0,+S）单调递增，排除；

C项y=2-国为定义域上的偶函数，且在（0,+8）上单调递减.

故选：C.

变式1-1.下列函数中，既是偶函数又在（。，内）上是单调递增函数的是（）

A.>=1X|-1B.y=-r+3C.y=lgxD.y=r

【答案】A

【解析】

【分析】

根据奇偶性与单调性的概念逐一判断

【详解】

对于A,函数为偶函数，且在（。,+«0上单调递增，满足题意

对于B,函数为偶函数，但在（0,+向上单调递减，故B错误

对于C,函数为非奇非偶函数，故C错误

对于D,函数为非奇非偶函数，故D错误

故选：A

变式1-2.下列函数中为奇函数，且在定义域上是增函数的是（）

5

A.丁=2*+2一*B.y=sinxC.>=tanxD.、,_痴

Jy一人

【答案】D

【解析】

【分析】

结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.

【详解】

对于函数y=/(x)=2'+2T,定义域为R,且〃-河=2-，+2*=/3,所以函数

>=2工+2-，为偶函数，不符合题意；

对于y=sinx在定义域R上不单调，不符合题意；

对于y=tanx在定义域上不单调，不符合题意；

对于y=)，由褰函数的性质可知，函数y=j在定义域R上为单调递增的奇函数,

符合题意.

故选：D.

变式1-3.下列函数中，既是奇函数又在区间(f,0)上单调递增的是()

A./(x)=-cos%B./(x)=sinxC./(x)=tanxD./(x)=x3-x~'

【答案】D

【解析】

【分析】

利用/(力=-cosx是偶函数判定选项A错误；利用=f(-7i)=0判定选项B错误;

利用/(x)=tanx的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明,⑴是奇函数，

再通过基本函数的单调性判定了3的单调性，进而判定选项D正确.

【详解】

对于A：/(x)=-co牍是偶函数，

即选项A错误；

对于B：f(x)=sinx是奇函数，但/■(-2兀)=/(-兀)=0,

所以/■(x)=sinx在区间(十,0)上不单调递增，

即选项B错误;

对于C：〃x)=tanx是奇函数，

但〃x)=tanx的定义域为(-g+标,今+配)，keZ,

即选项C错误；

对于D：因为VxeR,-xeR,

有f(f)=(f)3_(-x)T=-(x3-%-1)=-f(x),

即/(x)是奇函数；

因为％=/在区间（r°，。）上单调递增，

%=-/=匚在区间（―,。）上单调递增，

X

所以“力=三一—在区间（-8,0）上单调递增，

即选项D正确.

故选：D.

变式1-4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A.y=|x|,xeRB.y=（g），,XGR

C.y=x,xeRD.y=-x3,xeR

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本函数的奇偶性和单调性进行判断即可求解.

【详解】

对于A：y=|x|是偶函数，故选项A错误；

对于B：y=是非奇非偶函数，故选项B错误；

对于c：y=x是奇函数，且在定义域（f,y）上为增函数，

故选项C错误；

对于D：y=-x3是奇函数，且在定义域（-<»,+<»）上为减函数，

故选项D正确.

故选：D.

题型战法二函数（包含复合函数）的单调区间

典例2.函数/（x）=/-2x+4的单调区间为（）

A.在R上单调递增B.在R上单调递减

C.在（-»』）单调递增，在（1,+对单调递减D.在（9,1）单调递减，在（1,+与单调递增

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】

/(x)=--2x+4的对称轴为x=l,开口向上，

所以f(x)=Y一2x+4在在(-口,1)单调递减，在(1,y)单调递增，

故选：D

变式2-1.函数〃尤)=’的单调递减区间是()

A.(-oo,0),(0,+oo)B.(0，+8)C.(一8,0)(0，+8)D.(一℃，0)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质得解；

【详解】

解：因为，(X)=’定义域为(-8,0).Q+00),函数在(—0,0)和(0,+00)上单调递减,

X

故函数的单调递减区间为(-8,0)和(0,+OO).

故选：A

变式2-2.函数/(x)=-|x-2|的单调递减区间为()

A.(-co,2]B.[2,+oo)

C.[0,2]D.[0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根据函数的解析式可得函数>=1尤-2]的单调区间，即可得到答案；

【详解】

,,\x-2,x>2

•••5-2|二2-

函数y=|无-2|的单调递减区间是(—oo,2],增区间为[2,+oo),

f(X)=-1X-21的单调递减区间是[2,+8),

故选：B.

变式2-3.函数y=+2X_3的单调增区间是()

A.[-1,+co)B.[l,+oo)C.(-00,-1]D.(-co,-3]

【答案】B

【解析】

先求得函数y的定义域为(-s,-3][i,4w),再结合二次函数性质和复合函数单调性的

判定方法，即可求解.

【详解】

令f+2x-3N0,解得x<-3或xNl,即函数y的定义域为(ro,-3],

又由函数/(x)=f+2x-3表示开口向上，且对称轴的方程为x=T的抛物线，

根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数y=F小的单调增区间是[1,+8).

故选：B.

变式2-4.函数〃x)=log|(-*+x+6)的单调递减区间为()

3

A.卜2』B.CD.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函

数的单调递减区间.

【详解】

由一%2+%+6>0得，xG(—2,3)

所以函数〃力=垣/*+工+6)的定义域为(-2,3)

3

令/=_/+》+6,则y=i°gJ是单调递减函数

3

又t—+小，在,2,'上单调递增，在(用上单调递减

由复合函数的单调性可得函数〃外=1。昌(-1+》+6)的单调递减区间为12,£|.

故选：A.

【点睛】

本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中

档题.

题型战法三根据奇偶性求解析式

典例3.设/'(x)为奇函数，且当xNO时，f(x)=x2+x,则当x<0时，/(%)=()

A.x?+xB.—尤?+x

C.x~—xD.一尤,一尤

【答案】B

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质，利用即可求出结果.

【详解】

设x<0,则-x>0,所以%)=%2一%，

又/'(X)为奇函数，所以“司=_/(-可=_卜2_彳)=_彳2+彳，

所以当x<0时，f{x)=-xL+x.

故选：B.

变式3-1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，〃x)=x+2,则当x<0时,

“X)=()

A.—x—2B.—x+2

C.—D.x+2

【答案】B

【解析】

【分析】

当尤<0时可得-X>0,整体代入已知解析式结合函数的奇偶性可得.

【详解】

解：当x<0时可得-x>0,

「当x>0时，/(x)=x+2,

f(-x)=—x+2,

又函数为定义在R上的偶函数，

，当x<0时/(x)=-x+2,

故选：B.

变式3-2.已知函数/(x)为R上的奇函数，且当xNO时，/(了)=2工+X-1,则当了<0时,

〃无)=()

A.2一工一元一1B.2-x+x+l

C.D.-2-1+%+1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质进行求解即可.

【详解】

当x<0时，贝因为/(x)是奇函数，

所以/(x)=-/(-x)=-2-x+x+l.

故选：D

变式3-3.函数於)为尺上奇函数，且/(x)=&+l(x>0),则当x<0时，加)=()

A.一五+1B.C.+1D.y/^x-l

【答案】B

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质进行求解即可.

【详解】

当x<0时，-x>0,

因为函数人为为R上奇函数，

所以/(x)=—/(―x)=—(A/—x+1)=-V—x—1,

故选：B

变式3-4.设〃x)为奇函数，且当x»0时，/(x)=er-l,则当x<0时，/(x)=()

A.e，-lB.e-x+lC.-ex-1D.~ex+1

【答案】D

【解析】

【分析】

首先设x<0,得至lJ-x>0,再代入/(x)=eT-l,利用函数的奇偶性求解即可.

【详解】

设尤<0,则-x>0,因为函数为奇函数，且当x»0时，/(x)=e^-l,

/(—x)="-l=—即：f(x)=-ex+l.

故选：D

题型战法四根据单调性与奇偶性解不等式

典例4.已知奇函数是定义在区间(-2,2)上的增函数，且/⑺+/■⑵+1)>0,则

实数f的取值范围是()

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的单调性、奇偶性、定义域化简不等式/'⑺+/(2"1)>0,从而求得r的取

值范围.

【详解】

依题意奇函数〃x)是定义在区间(-2,2)上的增函数，

〃r)+〃2t+l)>0J⑵+1)>—/(r)=〃T),

2t+1>—t

cc11

\-2<t<2n——<t<—,

32

—2<21+1<2

故选：B

变式4-1.定义在R上的偶函数在区间［0,+功上单调递增，若〃l)<〃lnx),则

x的取值范围是()

A.(e,+co)B.C.(^x>,-e)u(e,-K»)D.0,-u(e,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据偶函数及单调性解不等式即可.

【详解】

由题意，网|>1,则X>e或尤

故选:D.

变式42若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且"2）=1,则使得

〃x）+l<0成立的x的取值范围为（）

A.（2,+oo）B.（—2,+co）C.D.2）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可.

【详解】

因为函数“X）是奇函数，所以〃-2）=-/（2）=-1,

由〃x）+l<0可得"x）<T,BP/（x）</（-2）,

又因为函数〃x）是定义在R上单调递增函数，

所以x<-2.

故选：D

变式4-3.已知函数“X）是定义在R上的偶函数，且在（0,+动上单调递减，3）=0,

则不等式犷（x）>0的解集为（）

A.（,，―3）5。，3）B.（f-3）U（3,+w）C.（-3,0）_（0,3）D.（-3,0）u（3,+«）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据〃x）的单调性、奇偶性画出“力的大致图象，由此确定正确选项.

【详解】

依题意函数”尤）是定义在R上的偶函数，且在（。，+"）上单调递减，在0）上递增,

/（3）=/（-3）=0.

画出〃尤）的大致图象如下图所示，

由图可知，不等式犷（司>0的解集为（-8,-3）。（0,3）.

故选：A

变式4-4.已知定义在R上的函数y=〃x）是偶函数，且在©+s）上单调递减，则不

等式7（x-l）＞/（x）的解集为（）

A.（2,+co）B.（-＜»,0）|（2,+oo）c.D.1（2，+=°）

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函数为偶函数可得,3在（-8,0］上单调递增，从而可得|x-l|＜|x|,解不等式即

可求解.

【详解】

因为/（X）为偶函数，且在［。,+8）上单调递减，所以/（X）在（-8,0］上单调递增.

由/'（x-l）〉“尤），得—解得尤＞:，

即不等式7（xT）＞/（x）的解集为1，+j.

故选：C

题型战法五根据单调性与奇偶性比大小

典例5.定义在R上的偶函数/（尤）满足：对任意的%,马€［。,”）（芯力马）,有

则（）

x{-x2

A./（3）＜/（-2）＜/（1）B.2)<〃3)

C./（-2）＜/（1）＜/（3）D./(3)</(1)</(-2)

【答案】A

【解析】

【分析】

先判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性得解.

【详解】

解：因为对任意的玉e[0,+co)(^+解，有"*)”")<0,

玉一元2

所以函数/(X)在区间[0,+8)上单调递减，

所以〃3)<〃2)<〃1),又因为函数小)是偶函数，

所以/⑶<〃一2)<〃1).

故选：A

变式5-1.设偶函数外力的定义域为R,当xe[0,g)时,〃尤)是减函数，则/(-2),

，(兀)，3)的大小关系是().

A./(7r)>/(-3)>/(-2)B./(^)>/(-2)>/(-3)

C./(7T)</(-3)</(-2)D./(7t)</(-2)</(-3)

【答案】C

【解析】

【分析】

依据偶函数性质及函数单调性即可对/(-2),/(7T),/'(-3)进行大小比较.

【详解】

函数〃x)为偶函数，则数-2)="2),/(-3)=/(3)

当xe[0,+oo)时,“X)是减函数，又2<3<兀，

则/(2)>/(3)>f(兀),则/(-2)>/(-3)>/(兀)

故选：C

变式52已知偶函数”力在[0,+e)上单调递减,则”1)和〃-⑼的大小关系为

()

A./(1)>/(-10)B.，⑴<〃-10)

C./(1)=/(-10)D.了⑴和〃-10)关系不定

【答案】A

【解析】

【分析】

结合函数的单调性、奇偶性确定正确选项.

【详解】

依题意，偶函数“X)在［0,+功上单调递减,/(-10)=/(10),

所以

故选：A

变式5-3.定义域为R的函数f3满足:对任意的看,％eR,有®-而).(/a)-f式))>0,

则有()

A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)

C./(3)</(-2)</(1)D./(3)</(1)</(-2)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数的单调性，判断选项即可.

【详解】

定义域在R上的函数"X)满足：对任意的4，x『R,有).(/(t)-/(弓))>。,

可得函数"X)是定义域在R上的增函数，

所以/(-2)</(1)</(3).

故选：A.

变式54已知函数””在区间［0,+句上是增函数，则/⑵,/⑺，/⑶的大小关系是

()

A./(^)>/(2)>/(3)B./(3)>/(^)>/(2)

C./(2)>/(3)>/(^)D./(^)>/(3)>/(2)

【答案】D

【解析】

【分析】

结合f(x)的单调性比较出三者的大小关系.

【详解】

因为在区间0+8)上是增函数,并且万>3>2,所以在%)>〃3)>/(2),

所以D选项的正确的.

故选：D

题型战法六根据单调性求参数

典例6.已知〃x）=f+2x+3在（-9间）为单调函数，则。的取值范围为（）

A.（f，T）B.（f，T]C.（-9.-1）D.（-9,-1]

【答案】D

【解析】

【分析】

求出=%2+2x+3的单调性，从而得到—9<aW-1.

【详解】

=f+2x+3在（《,-!）上单调递减，在（T+s）上单调递增，故要想在（-9,。）为单

调函数，需满足-9<aV-1,

故选：D

变式6-1.已知二次函数y=/_2以+1在区间（2,3）内是单调函数，则实数”的取值范

围是（）

A.（-oo,2]u[3,+<x>）B.[2,3]

C.（f-3]3-2收）D.[-3,-2]

【答案】A

【解析】

【分析】

结合图像讨论对称轴位置可得.

【详解】

由题知，当-或-^并，即aW2或晨3时，满足题意.

故选：A

变式6-2.已知函数/'（x）=x2-2ax+6在区间（-8,1]是减函数，则实数。的取值范

围是（）

A.[1,+co)B.(-00,1]C.[-1,+oo)D.(-00,-1]

【答案】A

【解析】

【分析】

由对称轴与1比大小，确定实数。的取值范围.

【详解】

/（x）=x2-2ax+b对称轴为％=。，开口向上，要想在区间（-Q0,1]是减函数，所以

ae[l,+co）.

故选：A

变式63若函数一3蛆+18（〃zeR）在（0,3）上不单调，则机的取值范围为

（）

A.0<m<2B.Q<m<2C.m<0D.m>2

【答案】B

【解析】

【分析】

要想在（0,3）上不单调，则对称轴在（0,3）内

【详解】

〃x）=x2-3团+18（机eR）的对称轴为x=”，则要想在（0,3）上不单调，则与«0,3）,

解得：me（0,2）

故选：B

变式64已知函数/（引=],_1*]<1，满足对任意的实数x尸％,都有

成立,则实数a的取值范围为（）

xi-x2

A.（1,3）B.[1,3）C.（1,3]D.[1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】

[a—l>0

根据题意可知函数为增函数，然后列出式子I计算即可.

a-l<3-1

【详解】

由题可知：任意的实数玉片马，都有〃尤|）一〃％）>0成立

西-x