人教版初中八年级数学上册同步讲义- 等腰（边）三角形的判定与性质（30题）（原卷版）

专题第01讲等腰（边）三角形的判定与性质

—.解答题（共30小题）

1.（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D,£分别是△/3C的边R4和3c延长线上的点，作ND/C的平

分线4F,若AF〃BC.

（1）求证：△N2C是等腰三角形;GF

（2）作//CE的平分线交/少于点G,若乙8=40°,求//GC的度数.

CE

2.（2023春•修水县期末）在△/8C中，3。和CD分别平分//2C和//C8,过点。作E尸〃BC,分别交

AB,/C于点£,F.A.

（1）若请判断44环是否是等腰三角形，并说明理由；A

（2）若△ZBC的周长为18,BC=6,求的周长./\

D

BC

3.（2023春•新泰市期末）如图，在△/BC中，AB^AC,//2C的平分线BE交/C于点D,AFLAB$

BE于点F.

（1）如图1,若/A4C=40°,求乙4尸£的度数.

（2）如图2,BDLAC,垂足为。，BF=8,求DF

的长.

4.（2023春•淄博期末）如图，△NBC中，AB=AC,。是上一个动点，DFLBC于点尸，交C4延长线

于点£,

（1）试判断/〃、/£的大小关系，并说明理由;

（2）当点。在胡的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由.

5.(2023春•郸都区期末)如图,〃9V,和/C3N的角平分线交于点交3c于点E.(解

答过程要求写出每步推导的理由)

(1)求/3DC的度数；

(2)若4B=4C,求证：AELBC.

6.(2023春•皇姑区期末)按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△NBC中，ADL

BC于点D,NB=2NC,若/B=6,BD=2,求CD的长.

解：在线段CD上取一点£,使ED=BD,连接

:ED=BD,AD±BC,

'.AB=AE().

=/AEB().

•；/B=2NC,

：.ZAEB=2ZC.

VZAEB+ZAEC^180°(),

ZEAC+ZC+ZAEC^180°(________________),

ZAEB=ZEAC+ZC.

：.=ZEAC.

：.=().

：.AB=CE().

\'AB=6fBD=2,

：.CE=6,ED=2.

：.CD=CE+ED=6+2=8.

7.（2023春•杨浦区期末）已知在△A8C中，AB=4C,点。是边上一点，ZBCD乙4.

（1）如图1,试说明CO=C3的理由;

（2）如图2,过点3作8ELNC,垂足为点E,BE与CD相交于点足

①试说明/3CD=2/C3£的理由；

②如果△8DF是等腰三角形，求//的度数.

8.（2023春•高陵区期末）如图，在△/BC中，AB=AC.过点/作2C的平行线交。的角平分线于点

D,连接CD

（1）求证：△NCD为等腰三角形.

（2）若/氏40=140。，求乙8DC的度数.

9.（2023春•宝山区期末）如图，△/BC中，AB=AC,点。在边延长线上，点E在边/C上，且。£

BE=AE,延长线段DE交边于点?B

（1）说明△/£尸是等腰三角形的理由;

（2）如果是等腰三角形，求//的度数.

E

D

10.（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△/BC中，N/=90°,N3=22.5°,请画出一条直线把△43C

分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）

（2）分类探究：△N3C中，最小内角48=24°,若△N8C被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相

应示意图并写出△4BC最大内角的所有可能值；

（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两

个条件，无需证明）

11.(2022秋•阳谷县期末)如图，已知△48C中，AB=AC,NC与48边上的高8。、CE相交于点。.

(1)求证：△O5C是等腰三角形.

(2)判断点O是否在/H4C的平分线上，并说明理由.

12.(2022秋•禹州市期末)如图，在△NBC中，AB=AC,。是上的一点，过点。作3c于点E,

延长和C4,交于点足

(1)求证：△/£＞尸是等腰三角形；

(2)若/尸=30°,BD=4,AD=2,求EC的长.

BEC

13.（2022秋•开福区校级期末）已知在△48C中，//C3的平分线CD交48于点。，DE//BC.

（1）如图1,求证：△[£>£是等腰三角形;

（2）如图2,若DE平分//DC交/C于£,ZABC=30o,在8c边上取点/使3尸=D尸，若8C=12,

求。尸的长.

图2

14.（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，中，AB=AD,4c平分/B4D,交AD于点E.

（1）求证：LBCD是等腰三角形；

（2）若//8。=50°,Z5CZ）=130°,求N4SC的度数.

15.(2023春•东港市期末)如图，点O是等边△4BC内一点，。是△/2C外的一点，ZAOB^110°,Z

BOC=a,LBOC咨LADC,ZOCD=60°,连接OD.

(1)求证：△OCD是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断的形状，并说明理由;

(3)探究：当a为多少度时，△/OD是等腰三角形.

16.(2023春•榆阳区期末)如图，在RtZUBC中，ZACB^90a,N3=30°,DE是N2的垂直平分线,

交4B、BC于点D、£连接CD、AE.求证:

(1)△4DC是等边三角形；

(2)点E在线段CD的垂直平分线上.

17.(2023春•渠县校级期末)如图，在△NDB中，NADB=6Q°,DC平分/ADB,交N5于点C,且DC

±AB,过C作CE〃D/交于点E,连接ZE.

(1)求证：是等边三角形.

(2)求证：AELDB.

DEB

18.（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△4BC、△（2£）£都是等边三角形，AD、BE相交于点。，点

M、N分别是线段4D、的中点.

（1）求证：AD=BE；

（2）求NDOE的度数；

（3）求证：是等边三角形.

19.（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形48c中，点E在上，点。在C2的延长线上，且助

=EC.

（1）【特殊情况，探索结论】

如图1,当点£为N8的中点时，确定线段/£与。8的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填

或“=

（2）【特例启发，解答题目】

如图2,当点E为N5边上任意一点时，确定线段与。3的大小关系，请你直接写出结论，DB

（填“>”、“<”或“="）；理由如下，过点E作跖〃8C,交NC于点?（请你完成以下解答过程）.

（3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点£在直线AB上，点。在线段C8的延长线上，且£D=EC,若△/BC的边长

为1,4E=2,求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）.

图1图2

20.（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段上一点,

△ACM,△C8N都是等边三角形，AN交MC于点,E,BM交CN于■点、F.

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：△CM为等边三角形.

21.（2022秋•南充期末）如图，在等边△NBC中，4c=12cm,点M以2cm/s的速度从点2出发向点/运

动（不与点/重合），点N以3ca/s的速度从点C出发向点2运动（不与点2重合），设点N同时运

动，运动时间为旧

（1）在点M,N运动过程中，经过几秒时△8儿加为等边三角形?

（2）在点N运动过程中，的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间/；若不能，请

说明理由.

（备用图）

22.（2022秋•长清区期末）如图，已知/E_L3C,ZADB=120°,ZB=40°,ZCAE=30°.

（1）求证：△/CD为等边三角形;

（2）求/历1C的度数.

23.（2022春•林甸县期末）如图△NBC为等边三角形，直线a〃48,。为直线3C上任一动点，将一60°

角的顶点置于点。处，它的一边始终经过点/,另一边与直线。交于点£.

（1）若。恰好在8c的中点上（如图I）求证：△/£>£是等边三角形;

（2）若。为直线3c上任一点（如图2）,其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请说明理由.

24.（2021秋•随县期末）在△/8C中，AB=AC,ZBAC=nO°,AD±BC,垂足为G,S.AD=AB.ZEDF

B

D

=60°,其两边分别交边AB,/C于点£,F.

（、1）求证：是等边三角形；

(2)求证：BE=AF.

25.（2021秋•白水县期末）如图，在四边形48CD中，AB=AD,CB=CD,N/=60°,点£为工。上一

点，连接3。，CE交于点尸，CE//AB.

（1）判断的形状，并说明理由;

（2）若/。=12,CE=8,求CF的长.

26.（2021秋•阎良区期末）如图，点PM,N分别在等边△NBC的各边上,

B鼠

且〃P_L4B于点P,〃N_LBC于点M,PN_L4c于点N.

（1）求证：△尸儿加是等边三角形；

（2）若AB=12cm,求CM的长.

27.（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1：等腰三角形/8C中，ZA=110°,求的度数.（答案：35°）

例2：等腰三角形/5C中，//=40°,求的度数.（答案：40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：

变式题：等腰三角形4BC中，N/=80°,求N8的度数.

（1）请你解答上面的变式题.

（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形/8C中，ZA=60°,则N3的度数为60。.

（3）根据以上探索，我们发现，//的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.请你直接写出当

//满足什么条件时，能得到三个不同的度数.

28.（2021秋•临河区期末）在等边三角形4BC中，点£在43上，点。在C2的延长线上，且

（1）当点E为N2的中点时，如图1,求证：EC=ED；

（2）当点E不是的中点时，如图2,过点£作废'〃8C,求证是等边三角形;

（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由.

29.（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1,已知：在△NBC中，AB=AC=]Q,BD平分/ABC,CO平分

ZACB,过点。作即〃BC,分