人教版初中七年级数学上册同步讲义-角（原卷版）

第03讲角

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握角的定义及其表示方法，能够熟练的表示角，

①角的认识判断角。

②角的单位与换算2,掌握角单位及其换算，能够熟练的进行换算。

③角的度量与大小比较3,掌握角的度量方法，并能够正确的进行大小比较。

④角的计算4.掌握角的计算，并能够熟练的进行有关计算。

⑤余角和补角5.掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对

其应用。

思维导图

知识点01角的认识与表示

1.角的定义：

静态定义：有端点的两条射线组成的图形叫做角。

动态定义：把一条射线绕着它的旋转而形成的图形。

2.角的图示与组成:

角的顶点：两条射线的叫做角的顶点。

角的边：组成角的是角的边。

3.角的表示方法：

角的符号：Z

表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为。（此方法只能用于表示该顶点

只有一个角的情况）

表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为。

表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为。

（方法2与方法3适用于任意角）

题型考点：①角的表示。②确定角的数量。

【即学即练1】

1.下列图形中，能用/O和N1表示同一个角的是（）

【即学即练2】

2.下列四个图中，能用Nl、ZAOB./O三种方法表示同一个角的是（）

【即学即练3】

3.如图，从点。出发的五条射线，可以组成的角有（）

C.8个D.10个

【即学即练41

4.在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画

出3条不同的射线，可以画出10个锐角.照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（)

知识点02角的单位与换算

1.角的单位:

角的单位有；；O

把周角360份等分，平均一份就是度，记作：,把1°的角进行60份等分，其中一份

就是，记作：，把1'角按60份等分，其中一份就是,记作：o

2.角的单位换算：

1周角=°=平角，1平角=°=_____直角，1直角=°,1°=,

1'=O

若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足的部分化成分，在把不足的

部分化成秒。

若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部

分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。

题型考点：①单位的换算。

【即学即练11

5.把40°12,36"化为用度表示，下列正确的是（）

A.40.11°B.40.21°C.40.16°D.40.26°

【即学即练2】

6.把7.26°用度、分、秒表示正确的是（)

A.7°2,12〃B.7°2,6〃C.7°15'36"D.7°15,6

【即学即练3】

。/O

7.35.15°=〃；12°15,36〃=

知识点03角的度量与大小比较

1.量角器的认识:

中心

如图：测量角度数的工具是O它是由一个和两条以及刻度组成。

2.角度量方法：

把量角器的中心与角的________重合，其中一条0刻度线与_______________重合，另一条边所在刻

度即为角的度数。从重合的0刻度线读起。

题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。

【即学即练1】

8.用量角器度量/"CW,下列操作正确的是（）

【即学即练2】

9.数学课上，小明和小杰想用量角器测量N/O3的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其

中操作正确的是（

A.小明B.小杰

C.小明和小杰D.都不正确

3.角的大小比较

方法1：叠合法：把角的..和..重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合

边越远角度越大，反之越小。

方法2：度量法：直角用量角器度量比较。

注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。

题型考点：①角的大小比较。

【即学即练1】

10.用“叠合法”比较N1与N2的大小，正确的是（

【即学即练21

11.如图，射线。C,分别在的内部、外部，下列结论错误的是（

A.ZAOB<ZAODB.ZBOC<ZAOBC.ZCOD>ZAODD.ZAOB>ZAOC

知识点04角的计算

1.钟面角的计算：

钟面上一大格表示，一小格表示

题型考点：①求钟面时针与分针夹角。

【即学即练1】

12.已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（

A.40°B.50°C.60°D.70°

【即学即练2】

13.实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

2.方向角:

方向角通常用多少度，多少度，多少度,多少度来

表示。

题型考点：①方向角的表示

【即学即练1】

A.CM方向是北偏东30°B.。5方向是北偏西15°

C.OC方向是南偏西25°D.OD方向是东南方向

【即学即练21

15.如图，下面说法正确的是（）

①书店在商场的南偏西45°方向400米处；

匕

②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处；

③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处；

④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的看.200米

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

3.角的等分线:

①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线叫做

这个角的平分线。如图：若NAOC=/BOC=______ZAOB,则0C是角/AOB的平

分线。反之，若。C是的平分线，贝ijN/OC=N30C=__________/AOB。

②角的三等分线：把角平均分成相等的三份。

③角的四等分线：把角平均分成相等的四份。

以此类推。

4.角的和、差、倍、分计算：

角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算。

题型考点：①角度的计算。

【即学即练11

是/BOC的平分线且/3。£=50°,那么//OC=（)0

A.80B.100C.130D.150

【即学即练2】

17.如图，两个直角NCOD有相同的顶点。，下列结论：①/AOC=NBOD；©ZAOC+ZBOD

=90°；③若。C平分N/05,则03平分NC。。；④//OD的平分线与NCOB的平分线是同一条射

线.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练3】

18.如图，已知N/O8=90°,0c是/N08内任意一条射线，OB,分别平分/COD,NBOE,下列结

论：①/COD=NBOE；②NCOE=3NBOD；（3）ZBOE=ZAOC；@ZAOC+ZBOD=W0,其中正

确的有（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

【即学即练4】

19.如图，直线48,CD相交于点。，04平分/EOC.

(I)若/EOC=70。,求/BOD的度数；

(2)若/EOC：ZEOD=2：3,求的度数.

【即学即练5】

20.如图，0c是的平分线，ZCO£>=20°.

(I)若乙4OD=30。，求的度数.

(2)若NBOD=2/AOD,求N40B的度数.

A

0

知识点05余角和补角

1.余角与补角的定义：

如果两个角的和等于，则这两个角互余。

即若/1+/2=90°,则或或o

如果两个角的和等于,则这两个角互补。

即若/1+/2=180°,则或或o

2.余角和补角的性质：

同角的余角o即N1的余角是/2,/2的余角是/3,则o

同角的补角。即N1的补角是/2,/2的补角是/3,则。

等角的余角-即若/1=N2,/I的余角是/3,/2的余角是/4,则.

等角的补角o即若/1=N2,/I的补角是23,N2的补角是/4,则.

一个角的补角比这个角的余角大=

题型考点：①余角与补角有关的计算。

【即学即练11

21.若/a=54°32',则/a的余角的大小是（）

A.35°38'B.35°28,C.125°28'D.125°38'

【即学即练2】

22.若/a与N0互余,/a=72°30\则的大小是（）

A.17°30'B.18°30,C.107°30'D.108°30'

【即学即练3】

23.一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（）

A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定

【即学即练4】

24.下列结论：①互补且相等的两个角都是45。；②同角的余角相等；③若/1+/2+/3=180。，则/I,

Z2,23互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80。.其中正确的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

题型精讲

题型01角的数量规律

【典例1】

如图;，从//O5的顶点引出两条射线OC,OD,图中的角共有()

0A

A.3个B.4个C.6个D.7个

【典例2】

如图所示，ZAOB^90°,则图中锐角有()

BC

A.12个B.14个C.15个D.16个

【典例3】

如图①，若在//O3的内部以。为端点做一条射线0/1,得到3个角;如图②，若在的内部以。

为端点做两条射线和0/2,得至IJ6个角…•以此类推，如果在的内部以。为端点做〃条射

线，则图③中角的个数为()

।A

L上.「

0B°B。B

图①图②图③

A.n(H+1)B(n+1)(n+2)

2

C.D,n(n-1)

22

【典例4】

如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点。画2条射线，图

中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点。画29条射线，则图中共有（）个角.

A.465B.450C.425D.300

题型02角的换算

【典例1】

若/a=5.15。，则/a用度、分、秒表示为（)

A.5°15,B.5°1，5〃C.5°9,D.5°3(T

【典例2】

0.25°等于（）

A.90,B.607C.15,D.360z

【典例3】

20°13U2”化为用度表示是（）

A.20.12°B.20.2°C.20.20°D.20.22°

【典例4】

下列运算正确的是（）

A.34.5°=34°5，B.90°-23°457=66°15,

C.12°34'X2=25°18，D.24°24,=24.04°

题型03角的大小比较

【典例1】

若/4=32。18,，Z5=32°15’30",ZC=32.25°，贝U()

A.NA>/B>NCB.ZB>ZA>ZCC.ZA>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

【典例2】

如图，若/AOB>/COD,则/NOD与4BOC的大小关系是()

0A

A.ZAOD=ZBOCB.ZAOD<ZBOC(3.ZAOD>ZBOCD.不能确定

【典例3】

若乙4=30.25°,Z5=30°28〃，ZC=30°18,,则有（）

A./C>/A>/BB./B>/A>/CC./A>/C>/BD.ZA>ZB>ZC

【典例4】

如图1,图2所示，把一副三角板先后放在N/O5上，则N405的度数可能（）

BB

A.60°C.40°D.30°

题型04角的计算

【典例1】

如图，OC是乙405的平分线，OD是N4OC的平分线，且NCOZ）=25°,贝（JN/O5等于（）

ADC

OJ

A.50°B.75°C.100°D.120°

【典例2】

如图，点。在直线45上，ZCOZ）=90°，若/BOD=32°,平分N4OC.则44。£=（

E/C

AO

A.60°B.61°C.66°D.56°

【典例3】

如图，已知//。2=120°，0c是N/O3内的一条射线，5.ZAOC：/B0C=l：2.

(1)求//OC的度数；

(2)过点。作射线。＞,^ZAOD=^ZAOB,求NC0D的度数.

2

【典例4】

如图，03是//0C内部的一条射线，OM是内部的一条射线，0N是/B0C内部的一条射线.

(1)如图1,若乙403=36°,N3OC=110°,OM、ON分别是N/O3、/50C的角平分线，求/M0N

的度数；

(2)如图2,若03平分N/OC,且NC0N=2N/0M,ZBOM：/4OC=2：5,则N2(W和/BON

之间存在怎样的数量关系？请说明理由.

图1图2

题型05余角与补角

【典例1】

如果一个角的余角是55°,那么这个角的补角的度数是（）

A.145°B.125°C.90°D.35°

【典例2】

若N1与/2互补，N2与/3互补，则N1与N3的关系满足（)

A.Z1-/3=90°B.Zl+Z3=90°

C.Zl+Z3=180°D.N1=N3

【典例3】

已知/I与N2互余，若/2=29°20\则N1的度数等于（）

A.61°40'B.60°80*C.60°40,D.29°20'

【典例4】

若一个角的余角是它的补角的2,则这个角的度数是（）

5

A.30°B.60°C.120°D.150°

【典例5】

已知Na是锐角，Na与N0互补，/a与Ny互余，则NB-Ny的度数为（)

A.180°B.90°C.45°D.无法确定

强化训练

1.若//=50°,则//的补角为（）

A.40°B.140°C.130°D.50°

2.钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（）

3.下列说法中正确的有（）

①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°；②线段A8的长度就是/,3两点间的距离;

③若点尸使NP=P3，则尸是48的中点；④1°=3600'.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，ZAOB=15°,N/OC=90°,点、B,O,。在同一直线上，则NC。。的度数为（）

A.75°B.15°C.105°D.165°

5.如图，/处在3处的西北方向，/处在C处的南偏西80°方向，从/处观测2,。两处的视角NR4c的

大小是（）

C.60°D.65°

6.如图，射线OC平分射线。。平分/30C,则下列等式中成立的有（）

(1)ZCOD=ZAOD-ZBOC；

②/COD=/AOD-ZBOD；

③2/COD=2/4OD-ZAOB；

@ZCOD=4ZAOB-

A.①②B.①③C.②③

7.如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则/I、/2、/3三个角的数量关系为（)

A.Zl+Z2+Z3=90°B.Z1+Z2-Z3=90°

C.Z1-Z2+Z3=90°D.Nl+2/2-N3=90°

8.已知三条射线。/、OB、OC,若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称。/、OB、OC组

成的图形为‘‘角分图形"，如图（1）,当。2平分时，图（1）为角分图形.如图（2）,点。是直

线上一点，/DON=70：射线（W绕点。以每秒5°的速度顺时针旋转至OWi,设时间为/（0W

fW36）,当/为何值时，图中存在角分图形.小

明认为f=29s,小亮认为f=lls,你认为正确的

答案为（）

A.小明

B.小亮

C.两人合在一起才正确

D.两人合在一起也不正确

9.如图，已知/COD=/4O3=75°,当/COD绕着点。旋转且OC在内部