江苏省徐州市区联校2024届中考数学最后一模试卷含解析

江苏省徐州市区联校2024届中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1.如图，AABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,NACB=80。，则NBCE等于()

C.60°D.50°

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与。O相切于E,F,G三点，过点D作。O的切

线交BC于点M,切点为N,则DM的长为()

4713

D.275

3

3.如图是抛物线yi=ax2+bx+c(a/0)图象的一部分，其顶点坐标为A(-1,-3),与x轴的一个交点为B(-3,0),

直线y2=mx+n(m^O)与抛物线交于A,B两点，下列结论：①abc>0；②不等式ax?+(b-m)x+c-nVO的解集为

-3<x<-1；③抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根;其中正确的是()

A.①③B.②③C.③④D.②④

4.如图，半。。的半径为2,点尸是。。直径A3延长线上的一点，PT切。。于点T,M是。尸的中点，射线TM与

半。。交于点C.若NP=20。，则图中阴影部分的面积为()

T

5.点A（4,3）经过某种图形变化后得到点B（-3,4）,这种图形变化可以是（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90D.绕原点顺时针旋转90

1+%>0

6.在数轴上表示不等式组c“c的解集，正确的是（）

2%-4<0

013

01J

7.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（

A.

8.下列运算正确的是（

A.a2+a3=a5B.(a3)2+a'=lC.a2»a3=a6D•（也+力）2=5

9.某市今年1月份某一天的最高气温是3℃,最低气温是一4℃,那么这一天的最高气温比最低气温高

A.—7℃B.7℃C.—1℃D.1℃

10.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.在△ABC中，AB=13cm,AC=10cm,BC边上的高为11cm,则△ABC的面积为cm1.

12.因式分解：x2-3x+（x-3）=.

13.一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输

入的最小正整数是.

14.如图，菱形ABCD中，AB=4,NC=60。，菱形ABCD在直线1上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60。

叫一次操作，则经过6次这样的操作菱形中心（对角线的交点）O所经过的路径总长为.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作是△OEb经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得

到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程___.

16.在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1,2）在x轴上的正投影为点A，，贝！］cos/AOA，=__.

17.已知抛物线y=x2上一点A,以A为顶点作抛物线C：y=x2+bx+c,点3（2,7B）为抛物线C上一点，当点A在

抛物线7=产上任意移动时，则"的取值范围是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）先化简代数式：-k-再代入一个你喜欢的数求值.

I"1a--1J<7-1

19.（5分）如图，点A的坐标为（-4,0）,点B的坐标为（0,-2）,把点A绕点B顺时针旋转90。得到的点C恰

好在抛物线y=ax2上，点P是抛物线丫=2*2上的一个动点（不与点O重合），把点P向下平移2个单位得到动点Q,

则：

（1）直接写出AB所在直线的解析式、点C的坐标、a的值；

（2）连接OP、AQ,当OP+AQ获得最小值时，求这个最小值及此时点P的坐标；

（3）是否存在这样的点P,使得NQPO=NOBC,若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P点的坐标.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与反比例函数了=七(左W0)的图象相交于点

(2)直线x=b(Z?>0)分别与一次函数7=队反比例函数y=幺的图象相交于点V、N,当MN=2时，画出示意

x

图并直接写出b的值.

21.(10分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上，连接CF交

线段BE于点G,CG2=GE«GD.求证：ZACF=ZABD；连接EF,求证：EF«CG=EG«CB.

22.(10分)如图，在R3ABC中，ZC=90°,以AC为直径作。O,交AB于D,过点O作OE〃AB,交BC于E.

(1)求证：ED为。。的切线；

(2)若。。的半径为3,ED=4,EO的延长线交。O于F,连DF、AF,求△ADF的面积.

B

23.(12分)为了传承祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答

题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.

(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率

是；

(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选

择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.

九宫格

水重富

山疑路

无复穷

24.(14分)如图(1),AB=CD,AD=BC,O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么N1

与N2有什么关系？请说明理由；

若过O点的直线旋转至图(2)、(3)的情况，其余，条件不变，那么图(1)中的N1与N2的关系成立吗？请说明理

由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入NBCE=NACB-NACE求出即可.

【题目详解】

VDE垂直平分AC交AB于E,

.\AE=CE,

:.ZA=ZACE,

VZA=30°,

/.ZACE=30°,

VZACB=80°,

:.ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等.

2、A

【解题分析】

试题解析：连接OE,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中，

；NA=NB=90。，CD=AB=4,

VAD,AB,BC分别与。O相切于E,F,G三点,

:.NAEO=NAFO=NOFB=NBGO=90。，

二四边形AFOE,FBGO是正方形，

；.AF=BF=AE=BG=2,

ADE=3,

；DM是。O的切线，

；.DN=DE=3,MN=MG,

/.CM=5-2-MN=3-MN,

在RtADMC中，DM2=CD2+CM2,

(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

；.NM=一,

3

413

.\DM=3+-=—,

33

故选B.

考点：1.切线的性质；3.矩形的性质.

3、D

【解题分析】

①错误.由题意a>Lb>l,c<l,abc<l；

②正确.因为yi=ax?+bx+c(a/1)图象与直线y2=mx+n(m#l)交于A,B两点,当ax^+bx+cVinx+ii时,-3<x<-l；

即不等式ax?+(b-m)x+c-n<l的解集为故②正确；

③错误.抛物线与x轴的另一个交点是(1,1)；

④正确.抛物线y产ax2+bx+c(a再)图象与直线y=-3只有一个交点，方程ax?+bx+c+3=l有两个相等的实数根，故④

正确.

【题目详解】

解：•••抛物线开口向上，•••aAl,

•抛物线交y轴于负半轴，.,.cVl,

b

•:对称轴在y轴左边，・•・—一<1,

2a

/.abc<l,故①错误.

Vyi=ax2+bx+c(arl)图象与直线y2=mx+n(m#l)交于A,B两点，

当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-l；

即不等式ax?+(b-m)x+c-nVl的解集为-3VxV-l；故②正确，

抛物线与x轴的另一个交点是(1,1),故③错误，

•・,抛物线y尸ax?+bx+c(arl)图象与直线y=-3只有一个交点，

・・・方程ax2+bx+c+3=l有两个相等的实数根，故④正确.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用数形结合的思想解决问题.

4、A

【解题分析】

连接OT、OC,可求得NCOM=30。，作CH^AP,垂足为H,则CH=L于是，S阴影=SAAOC+S扇形OCB,代入可得结论.

【题目详解】

连接OT、OC,

；PT切。O于点T,

.\ZOTP=90°,

,:NP=20。，

/.ZPOT=70°,

•；M是OP的中点，

.\TM=OM=PM,

.,.ZMTO=ZPOT=70°,

VOT=OC,

:.NMTO=NOCT=70。，

:.ZOCT=180o-2x70°=40°,

.,.ZCOM=30°,

作CH_LAP,垂足为H,贝!|CH=LOC=L

2

130^x22n

S阴影SAAOC+S扇形OCB—OA«CH+------------=1+-，

23603

故选A.

【题目点拨】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接

圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边

的关系.

5、C

【解题分析】

分析：根据旋转的定义得到即可.

详解：因为点A(4,3)经过某种图形变化后得到点B(-3,4),

所以点A绕原点逆时针旋转90。得到点B,

故选C.

点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段

的夹角等于旋转角.

6、C

【解题分析】

解不等式组，再将解集在数轴上正确表示出来即可

【题目详解】

解1+xK)得x*l,解2x-4V0得xV2,所以不等式的解集为-1WXV2,故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了一元一次不等式组的求解，求出题中不等式组的解集是解题的关键.

7、A

【解题分析】

【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.

【题目详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误，

故选A.

【题目点拨】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

8、B

【解题分析】

利用合并同类项对A进行判断；根据塞的乘方和同底数幕的除法对B进行判断；根据同底数幕的乘法法则对C进行

判断；利用完全平方公式对D进行判断.

【题目详解】

解：A、a?与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a6+a6=l,所以A选项正确；

C、原式=a5,所以C选项错误；

D、原式=2+2八+3=5+2八，所以D选项错误.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查同底数塞的乘除、二次根式的混合运算,：二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性

质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

9、B

【解题分析】

求最高气温比最低气温高多少度，即是求最高气温与最低气温的差，这个实际问题可转化为减法运算，列算式计算即

可.

【题目详解】

3-(-4)=3+4=7℃.

故选B.

10、D

【解题分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【题目详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，符合题意.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称

图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后

与原图重合.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11,2或2

【解题分析】

试题分析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD=16,CD=5,再由图形求出BC,在锐

角三角形中，BC=BD+CD=2,在钝角三角形中，BC=CD-BD=2.

故答案为2或2.

考点：勾股定理

12、(x-3)(x+l)；

【解题分析】

根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x2-3x+x-3

=x2-2x-3=(X-3)(x+1)；或先把前两项提公因式，然后再把X-3看做整体提公因式：原式=x(x-3)+(x-3)=

(x-3)(x+1).

故答案为(x-3)(x+1).

点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般

步骤：一提(公因式)、二套(平方差公式1—〃二包+与包―与，完全平方公式。2±2而+从=(。土耳2)、三检

查(彻底分解)，进行分解因式即可.

13、15

【解题分析】

分析：设输出结果为y,观察图形我们可以得出x和y的关系式为：y=3x-2,将y的值代入即可求得x的值.

详解：•••y=3x-2,

当y=127时，3%-2=127,解得：x=43；

当y=43时，3%-2=43,解得：x=15；

17

当y=15时,3x-2=15,解得x=§.不符合条件.

则输入的最小正整数是15.

故答案为15.

点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

144+86

14、-------n

3

【解题分析】

第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA,解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60。.第

二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA,圆心角是60。.第三次就是以点B为旋转中心，OB为半

径，旋转的圆心角为60度.旋转到此菱形就又回到了原图.故这样旋转6次，就是2个这样的弧长的总长，进而得出

经过6次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长.

【题目详解】

解:..•菱形ABCD中，AB=4,ZC=60°,

.,.△ABD是等边三角形，BO=DO=2,

AO=7AD2-D（92=2A/3,

第一次旋转的弧长=6>x2占=2信，

1803

•.•第一、二次旋转的弧长和=2岳+2岳=士辰，

333

第三次旋转的弧长为：丝乎=：乃，

1803

故经过6次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：2x（士岳+2〃）=4+8凡.

333

故答案为：士也I万.

【题目点拨】

本题考查菱形的性质，翻转的性质以及解直角三角形的知识.

15、先以点。为旋转中心，逆时针旋转90。，再将得到的三角形沿x轴翻折.

【解题分析】

根据旋转的性质，平移的性质即可得到由4DEF得到AABC的过程.

【题目详解】

由题可得，由AOEb得到△ABC的过程为：

先以点。为旋转中心，逆时针旋转90。，再将得到的三角形沿X轴翻折.（答案不唯一）

故答案为：先以点。为旋转中心，逆时针旋转90。，再将得到的三角形沿x轴翻折.

【题目点拨】

本题考查了坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对

应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小.

1b、—・

5

【解题分析】

依据点A（1,2）在x轴上的正投影为点A，，即可得到A，0=1,AA'=2,AO=J?,进而得出cos/AOA，的值.

【题目详解】

如图所示，点A(1,2)在x轴上的正投影为点A，,

•'.AO=^/5，

AQ1_75

cosNAOA'=------

AO秀一

故答案为：叵.

5

【题目点拨】

本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题

的基本方法和规律.

17、ya>l

【解题分析】

设点A的坐标为(m,n),由题意可知n=mi,从而可知抛物线C为y=(x-m)1+n,化简为y=xLlmx+lmi,将x=l

代入y^-lmx+lm1,利用二次函数的性质即可求出答案.

【题目详解】

设点A的坐标为(m,n),m为全体实数，

由于点A在抛物线y=x)上，

・

.•n=m11,

由于以A为顶点的抛物线C为y=x1+bx+c,

抛物线(3为丫=(x-m)1+n

化简为：y=x1-lmx+m1+n=x1-lmx+lm1,

，令x=l,

ya=4-4m+lm1=l(m-1)1+1>1,

Aya>l,

故答案为ya>l

【题目点拨】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求出ya=4-4m+lmi=l(m-1)41.

三、解答题(共7小题，满分69分)

1

18、-

3

【解题分析】

先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算.

【题目详解】

2a+2a—1

解：原式=

a-1(a+l)(a-l)a

2(a+1)—a—2a—1

(a+l)(a—1)a

1

<7+1

使原分式有意义的a值可取2,

当a=2时，原式=——=—.

2+13

【题目点拨】

考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.

19、(1)a=；；(2)OP+AQ的最小值为2不，此时点P的坐标为(-1,J)；(3)P(-4,8)或(4,8),

【解题分析】

(1)利用待定系数法求出直线AB解析式，根据旋转性质确定出C的坐标，代入二次函数解析式求出a的值即可;

(2)连接BQ,可得PQ与OB平行，而PQ=OB,得到四边形PQBO为平行四边形，当Q在线段AB上时，求出

OP+AQ的最小值，并求出此时P的坐标即可；

(3)存在这样的点P,使得NQPO=NOBC,如备用图所示，延长PQ交x轴于点H,设此时点P的坐标为(m,1m*12),

根据正切函数定义确定出m的值，即可确定出P的坐标.

【题目详解】

解：(1)设直线AB解析式为y=kx+b,

—4k+b=0

把A(-4,0),B(0,-2)代入得:'b=-2

k=--

解得：［2,

b=—2

，直线AB的解析式为y=-gx-2,

根据题意得：点C的坐标为(2,2),

把C(2,2)代入二次函数解析式得：a=-

2;

(2)连接BQ,

则易得PQ〃OB,且PQ=OB,

/.四边形PQBO是平行四边形,

/.OP=BQ,

AOP+AQ=BQ+AQ>AB=2下,(等号成立的条件是点Q在线段AB上),

•.•直线AB的解析式为y=-；x-2,

/.可设此时点Q的坐标为(t,-1t-2),

于是，此时点P的坐标为(t,--t),

2

•.•点p在抛物线y=；x2上，

解得：t=0或t=T,

・••当t=0,点P与点O重合，不合题意，应舍去，

.•.OP+AQ的最小值为2百，此时点P的坐标为(-1,1)；

(3)P(-4,8)或(4,8),

如备用图所示，延长PQ交x轴于点H,

设此时点P的坐标为（m,-m2）,

2

OH_|^|_2

则tanNHPO=pj-j1Iml，

-m2II

2

又，易得tan/OBC='，

2

当tanZHPO=tanZOBC时，可使得NQPO=NOBC,

21

于是，得L=3，

解得：m=±4,

所以P（-4,8）或（4,8）.

【题目点拨】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，以

及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

20、(1)a=6,k=2；(2))=2或L

【解题分析】

（时）相交于点（即可得到。、人的值;

（1）依据直线尸x与双曲线y0A3

33

（2）分两种情况:当直线”二方在点A的左侧时，由x=2,可得x=L即。=1；当直线工二方在点A的右侧时，由x=2,

XX

可得x=2,BPb=2.

【题目详解】

（1）C直线产X与双曲线y=1（导0）

相交于点Q,：.a=，:•A（瓜也），；.6=忑解得：k=2；

X

（2）如图所示:

...3一—

当直线x=Z»在点A的右侧时，由x----=2,可得x=2,x=-1(舍去)，即6=2；

X

综上所述：斤2或1.

【题目点拨】

本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在图象上，就一定满足函

数的解析式.

21、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解题分析】

CGGD

试题分析：(1)先根据CG2=GE»GD得出——=——，再由NCGD=NEGC可知△GCD^AGEC,ZGDC=ZGCE.根

GECG

据AB〃CD得出NABD=NBDC,故可得出结论；

FGEG

(2)先根据NABD=NACF,NBGF=NCGE得出ABGFs/\CGE,故——=——.再由NFGE=/BGC得出

BGCG

△FGE^ABGC,进而可得出结论.

试题解析：(1)VCG2=GE«GD,—=—

GECG

XVZCGD=ZEGC,/.AGCD^AGEC,/.ZGDC=ZGCE.

VAB/7CD,/.ZABD=ZBDC,ZACF=ZABD.

FGEG

(2)VZABD=ZACF,ZBGF=ZCGE,/.ABGF^ACGE,:.——=——.

BGCG

-FEEG

XVZFGE=ZBGC,AAFGE^ABGC,:.——=——，/.FE«CG=EG«CB.

BCCG

考点：相似三角形的判定与性质.

1QQ

22、(1)见解析；(2)AADF的面积是三.

【解题分析】

试题分析：(1)连接OD,CD,求出/BDC=90。，根据OE〃AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,根据SSS

证AECO^^EDO,推出NEDO=NACB=90。即可;

(2)过O作OM_LAB于M,过F作FN1AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB的值，根据sinZBAC=

BCOM84,ArAi\/r3

---=-----=—,求出OM>根据cos/BAC=—=—=—,求出AM,根据垂径定理求出AD,代入三角形的

ABOA10ABOA5

面积公式求出即可.

试题解析:

(1)证明：连接OD,CD,

.,.Z