2021-2022学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期第二次联考数学（文）试题

20212022学年河南省洛阳市创新发展联盟高二上学期第二次联考数学（文）试题一、单选题1．设命题，，则p的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】直接通过全称命题的否定即可求解.【详解】p的否定为，．故选：B.2．双曲线的渐近线方程为A． B．C． D．【答案】B【分析】由双曲线的方程，可直接得出渐近线方程.【详解】因为双曲线的方程为，由得即为所求渐近线方程.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.3．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解A和B里面的不等式，再求其交集即可.【详解】解不等式：，得，，解不等式：，得，，所以；故选：A.4．已知在中，，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】先判断出最大角，通过余弦定理判断即可.【详解】由正弦定理可得，则C为最大角，设，因为，所以C为钝角，故为钝角三角形．故选：C.5．下列四个椭圆中，形状最扁的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解.【详解】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．故选：A.6．若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据双曲线的定义结合充分条件、必要条件求解即可.【详解】由题意可知，，．若，则；解得（0舍去）若；则，或18．故“”是“”的充分不必要条件．故选：A7．在2和8之间插人10个数，使这12个数构成首项为2，公比为q的等比数列，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依题意可得8是这个等比数列的第12项，即可得到，再根据对数的运算法则计算可得；【详解】解：依题意可得是这个等比数列的第项，8是这个等比数列的第12项，则，所以，所以，所以，即．故选：D8．设，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【分析】根据基本不等式求解【详解】，当且仅当，即即，时，等号成立．故选：D9．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（

）A．6 B． C．8 D．【答案】B【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B10．设x，y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则a的值为（

）A． B．或2 C．2 D．或1【答案】B【分析】先画出可行区域，再根据取得最大值的最优解不唯一即可求解.【详解】作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由，得．由图可知，当时，直线与直线重合，此时；当时，直线与直线重合，此时．故选：B.11．某公司计划在12年内每年对某产品的广告投入（单位：万元）等于上一年的1.5倍再减去2．已知第一年（2018年）该公司对该产品的广告投人为5万元，则按照计划该公司从2018年到2028年（含2028年）对该产品的广告总投入约为（

）（参考数据：）A．215万元 B．219万元 C．153万元 D．154万元【答案】A【分析】先通过条件得到，构造等比数列，再借助分组求和和等比数列求和公式求解即可.【详解】设该公司在2018年，2019年，……，2028年的广告投入（单位：万元）分别为，，…，，依题意可得，则，所以数列是首项为1，公比为1.5的等比数列，则，即．，故从2018年到2028年该公司对该产品的广告总投入约为215万元．故选：A.12．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】D【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x轴建立如图所示的坐标系.由题意可知，，，设，则．设双曲线的方程为，∵双曲线的离心率为，∴．方程可化简为()，将A和B的坐标代入()式可得解得，则喉部的直径cm．故选：D二、填空题13．一个等差数列共有n项，首项为，公差为4，第n项为75，则______．【答案】20【分析】直接由等差数列通项公式求项即可.【详解】依题意可得，解得．故答案为：20.14．已知椭圆的上、下顶点分别为，．点M为C上不在坐标轴上的任意一点，且直线，，的斜率之积为，则C的离心率为______．【答案】【分析】根据椭圆的几何性质以及题目所给的条件，算出之间的关系即可.【详解】设

，依题意可得，则，所以，则，；故答案为：.15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则______．【答案】【分析】由可得，再由可得，化简即可得到答案.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，即．∵，∴，即，∴，∵，∴．故答案为：.三、双空题16．已知，，且，则的最大值为______，此时，______．【答案】

【分析】由基本不等式可得出关于的不等式，可解得的最大值，利用等号成立的条件可求得的值.【详解】因为，．所以，则，令，得．解得，又，，所以，所以的最大值为，当且仅当，即当，时，等号成立．故答案为：；.四、解答题17．已知，，成等差数列；，．(1)若q为真命题，求m的取值范围；(2)若为假命题，为真命题，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）q是真命题，根据二次函数的性质求解不等式即可；（2）因为为假命题，为真命题，所以p，q中必有一真一假，再根据两命题的真假推理即可.【详解】(1)当时，，显然成立，当时，必有，解得．所以当q为真命题时，m的取值范围是；(2)若p为真命题，根据等差数列的性质有，解得，因为为假命题，为真命题，所以p，q中必有一真一假，因为，则q必为真命题，所以p为假命题，所以m的取值范围是；18．如图，A，B两点在河的两岸，A，C在同侧，B，D，E在同侧．已知m，m，m，，．(1)求的面积；(2)求A，B两点间的距离．（精确到1m，参考数据：取，）【答案】(1)(2)62m【分析】（1）根据余弦定理可以直接求解；（2）根据正弦定理直接求解.【详解】(1)在中，由余弦定理得，设，代入上式，得，解得（负根舍去），故的面积；(2)由正弦定理可得，则(m)；综上，的面积为180，A，B的距离为62m.19．已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．(1)求M的虚轴长．(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，2【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.【详解】(1)因为椭圆的焦点坐标为所以可设M的方程为．因为M与圆相切，所以，则，故M的虚轴长．(2)由（1）知，M的方程为．设A，B两点的坐标分别为，，则两式相减得，假设存在直线l满足题意．则所以，因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．20．已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式；(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；(3)设表示不大于x的最大整数，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)数列是等比数列，理由见解析(3)【分析】（1）利用，可求得的通项公式；（2）利用等比数列的定义即可证得；（3）由已知，则，利用裂项相消法可求解.【详解】(1)由题设当时，，当时，，也满足，故的通项公式为.(2)数列是等比数列；由（1）知，，则，由等比数列定义知，数列是等比数列.(3)因为，所以，所以，故.21．已知点是一个动点，，，．动点的轨迹记为．(1)求的方程．(2)设为直线上一点，过的直线与交于，两点，试问是否存在点，使得？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)不存在；理由见解析.【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解；（2）由题意可设和直线的方程为，联立方程组消元，利用韦达定理，假设点存在，结合题意，可得，即，但，所以假设不成立，故不存在满足题意的点．.【详解】(1)因为，且，所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．由，，得，，，所以的方程为．(2)设，，，设直线的方程为，即，联立得，则，且，，所以．假设存在点满足，则，整理得，但，所以假设不成立，故不存在满足题意的点．22．已知为圆上的一个动点，过作轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线：与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2)8.【分析】（1）设，，由题设得到它们坐标之间的数量关系，再根据在圆上代入方程求M的轨迹方程.（2）联立直线与M的轨迹方程，根据求的范围，设A，B分别为，，应