山东济宁任城区2024届中考数学模拟预测题含解析

山东济宁任城区2024学年中考数学模拟预测题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列说法中，错误的是（）

A.两个全等三角形一定是相似形B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似

2.已知。。的半径为5,弦AB=6,P是AB上任意一点，点C是劣弧人台的中点，若APOC为直角三角形，则PB

的长度（）

A.1B.5C.1或5D.2或4

3.有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB,CD,它们为苗圃。的直径，且ABLCD.入口K位于

中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x,与入口K的距离为y,表示y与x的函

数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是（）

4.一、单选题

如图中的小正方形边长都相等，若AMNPm/XMEQ,则点。可能是图中的（）

A.点AB.点8C.点CD.点O

5.若分式工有意义，则a的取值范围为（）

A.a/4B.a>4C.a<4D.a=4

6.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）

A.对重庆市初中学生每天阅读时间的调查

B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查

C.对某批次手机的防水功能的调查

D.对某校九年级3班学生肺活量情况的调查

7.如图所示的几何体，它的左视图是（）

8.如图，在平面直角坐标系中，以A（-1,0）,B（2,0）,C（0,1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为

平行四边形顶点坐标的是（）

D.(-3,1)

9.如图，反比例函数y=K（x>0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四

X

边形ODBE的面积为9,则k的值为（）

C.3D.4

10.已知3x+y=6,则孙的最大值为（)

A.2B.3C.4D.6

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点C,B,E在y轴上，RtAA5C经过变化得到RtAEOO,若点5的坐标为（0,

B.△A3C绕点。逆时针旋转90。，再向下平移5个单位长度

C.△ABC绕点。顺时针旋转90。，再向左平移3个单位长度

D.△ABC绕点。逆时针旋转90。，再向右平移1个单位长度

12.如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个,

第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律.则第（6）个

图形中面积为1的正方形的个数为（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.

A.正多边形的一个外角是40。，则这个正多边形的边数是

B.运用科学计算器比较大小：叵匕sin37.5°.

2

14.4是的算术平方根.

15.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数彳与方差52：

甲乙丙丁

平均数彳(cm)561560561560

方差§2(cm2)3.53.515.516.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择.

3

16.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=54cm,且tan/EFC=a，

k

17.如图，直线y=x+4与双曲线y=—(后0)相交于A(-L〃)、B两点，在y轴上找一点P,当PA+PB的值

最小时，点P的坐标为.

18.下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：OO.

求作：。。的内接正方形.

作法：如图，

(1)作。O的直径AB；

(2)分别以点A,点B为圆心，大于,AB的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点;

(3)作直线MN与。O交于C、D两点，顺次连接A、C、B、D.即四边形ACBD为所求作的圆内接正方形.

请回答：该尺规作图的依据是

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批

纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1WX&5,且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关

系，部分数据如表：

天数（X）13610

每件成本P（元）7.58.51012

任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：

2x+20（l<x<10,且x为整数）

y-[40（10<x<15,且x为整数）

设李师傅第x天创造的产品利润为W元.直接写出p与x,W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：

求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？任务完成后.统计发现平均每个工人每天创造的利润为299

元.工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金.请计算李

师傅共可获得多少元奖金？

3Y+1

20.（6分）解不等式」——3>2%-1,并把解集在数轴上表示出来.

2

-4-3-2-10~1~2~34>

21.（6分）如图，点A,B,C都在抛物线y=ax?-2amx+am2+2m-5（其中-—<a<0）_b,AB〃x轴，ZABC=135°,

4

且AB=L

（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）;

（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若AABC的面积为2,当2m-5WxW2m-2时，y的最大值为2,求m的值.

22.（8分）已知抛物线丁=乂+法+。过点（0,0）,（1,3）,求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.

/八、j包cos30°-cot45°

23.（8分）计算：sin30°»tan60°+-----------------------..

cos60°

24.（10分）如图1,在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点。顺时针旋转,

使得点A的对应点E落在射线上，连接BQ,设（0。<a<60°且o/30°）.

(1)当0°＜。＜30°时,

①在图1中依题意画出图形，并求/BQE（用含a的式子表示）；

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系，并加以证明；

（2）当30°<60°时，直接写出线段CE,AC,之间的数量关系.

25.（10分）近几年“雾霾”成为全社会关注的话题某校环保志愿者小组对该市2018年空气质量进行调查，从全年365

天中随机抽查了50天的空气质量指数（AQI）,得到以下数据：43、62、80、78、46、78、23、59、32、78、86、125、

98、116,86、69、28、43、58、87、75、116、178、146、57、26、43、59、77、103、126、159、201>289、315、

253、196、102、93、72、56、43、39、44、47、34、31、29、43、1.

（1）请你完成如下的统计表;

AQI0〜5051-100101〜150151—200201〜250300以上

质量等级A（优）B（良）C（轻度污染）D（中度污染）E（重度污染）F（严重污染）

天数

（2）请你根据题中所给信息绘制该市2018年空气质量等级条形统计图；

（3）请你估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数.

26.（12分）对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高线相等，那么等

腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命题会正确吗？

（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”.

①等腰三角形两腰上的中线相等；

②等腰三角形两底角的角平分线相等;

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形；

（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，

如果不是，请举出反例.

27.（12分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，。是A8的中点，中柱CZ>=1米，NA=27。，求跨度

AB的长（精确到0.01米）.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解题分析】

根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案.

【题目详解】

解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；

B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；

C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；

D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换.特别注意，本题

是选择错误的，一定要看清楚题.

2、C

【解题分析】

由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB,求得DA=DB=3,根据勾股定理得到OD==1,若△POC为直角三

角形，只能是NOPC=90。，则根据相似三角形的性质得到PD=2,于是得到结论.

【题目详解】

:点C是劣弧AB的中点，

/.OC垂直平分AB,

/.DA=DB=3,

OD=A/52—32=4，

若4POC为直角三角形，只能是NOPC=90。，

贝山POD^ACPD,

.PDCD

••一9

ODPD

.*.PD2=4xl=4,

，；.PD=2,

；.PB=3-2=1,

根据对称性得，

当P在OC的左侧时，PB=3+2=5,

APB的长度为1或5.

C

故选C.

【题目点拨】

考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键.

3、B

【解题分析】

【分析】观察图象可知园丁与入口K的距离先减小，然后再增大，但是没有到过入口的位置，据此逐项进行分析即可

得.

【题目详解】A.ATOTD,园丁与入口的距离逐渐增大，逐渐减小，不符合；

B.C-A-O-B,园丁与入口的距离逐渐减小，然后又逐渐增大，符合；

C.D-O-C,园丁与入口的距离逐渐增大，不符合；

D.OTDTBTC,园丁与入口的距离先逐渐变小，然后再逐渐变大，再逐渐变小，不符合,

故选B.

【题目点拨】本题考查了动点问题的函数图象，看懂图形，认真分析是解题的关键.

4、D

【解题分析】

根据全等三角形的性质和已知图形得出即可.

【题目详解】

解：•：AMNP沿AMEQ,

...点。应是图中的。点，如图，

Ap

A

7c

/E

V

p

故选:D.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等,

对应边相等.

5、A

【解题分析】

分式有意义时，分母a-4#)

【题目详解】

依题意得：a-4^0,

解得a#4.

故选：A

【题目点拨】

此题考查分式有意义的条件，难度不大

6、D

【解题分析】

A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；

B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；

C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；

D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；

故选D.

7、D

【解题分析】

分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线,

故选D.

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

8、B

【解题分析】

作出图形，结合图形进行分析可得.

【题目详解】

如图所示：

①以AC为对角线，可以画出口AFCB,F(-3,1)；

②以AB为对角线，可以画出口ACBE,E(1,-1)；

③以BC为对角线，可以画出口ACDB,D(3,1),

故选B.

9、C

【解题分析】

本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出AOCE、△OAD>矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等

式求出k值.

【题目详解】

由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，

过点M作MG，y轴于点G,作MNLx轴于点N,贝US口0NMG=|k|.

又为矩形ABCO对角线的交点，

；.S矩形ABCO=4SuONMG=4|k|,

•.•函数图象在第一象限，k>0,

kk八

一+―+9=4k.

22

解得：k=l.

故选C.

【题目点拨】

本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积

就等于|k|,本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.

10、B

【解题分析】

根据已知方程得到y=-lx+6,将其代入所求的代数式后得到：xy=-lx2+6x,利用配方法求该式的最值.

【题目详解】

解：,.,lx+y=6,

；.y=-lx+6,

.\xy=-lx2+6x=-l(x-1)2+l.

V(x-1)2>0,

•,.-1（X-1）2+1<1,即xy的最大值为1.

故选B.

【题目点拨】

考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值.

11、C

【解题分析】

RtAABC通过变换得到RtAODE,应先旋转然后平移即可

【题目详解】

•.•R3A3C经过变化得到RtAEOO,点5的坐标为（0,1）,OD=2,

：.DO=BC=2,CO=3,

.•.将AABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位长度，即可得到4DOE；

或将△ABC绕点O顺时针旋转90°,再向左平移3个单位长度，即可得到小DOE；

故选：C.

【题目点拨】

本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化

12、B

【解题分析】

试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，

第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，

第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，

•••9

按此规律，

第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+...+（n+1）=以丁）个,

则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个.

故选B.

考点：规律型：图形变化类.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、9,>

【解题分析】

（1）根据任意多边形外角和等于360。可以得到正多边形的边数（2）用科学计算器计算即可比较大小.

【题目详解】

(1)正多边形的一个外角是40。，任意多边形外角和等于360。

360(八。八

/.-----=40?n=9

n

(2)利用科学计算器计算可知，避二i>sin37.5°.

2

故答案为⑴.9,(2).>

【题目点拨】

此题重点考察学生对正多边形外交和的理解，掌握正多边形外角和，会用科学计算器是解题的关键.

14、16.

【解题分析】

试题解析：T42=16,

•••4是16的算术平方根.

考点：算术平方根.

15、甲

【解题分析】

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加.

【题目详解】

••・漏=苫丙>物=打，

从甲和丙中选择一人参加比赛，

・・o2v”1o2

•J甲丙，

选择甲参赛，

故答案为甲.

【题目点拨】

此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

16、36.

【解题分析】

EC3

试题分析：:△AFE和△ADE关于AE对称，AZAFE=ZD=90°,AF=AD,EF=DE.VtanZEFC=—=...可

CF4

设EC=3x,CF=4x,那么EF=5x,.*.DE=EF=5x..,.DC=DE+CE=3x+5x=8x.AAB=DC=8x.

3BF3

,/ZEFC+ZAFB=90°,ZBAF+ZAFB=90°,.\ZEFC=ZBAF..\tanZBAF=tanZEFC=",AAB=

4AB4

8x,.^.BF=6x..,.BC=BF+CF=10x..^.AD=10x.在RtAADE中，由勾股定理，#AD2+DE2=AE2..*.(10x)2+(5x)

2=（54）2.解得x=L；.AB=8x=8,AD=10x=10..,.矩形ABCD的周长=8x2+10x2=36.

考点：折叠的性质；矩形的性质；锐角三角函数；勾股定理.

5

17、(0,

2

【解题分析】

试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3,即A（-1,3）,把点A坐标代入双曲线的解析式得3=-k,即k=-3,联

y=x+4"

X/-1x?=3

立两函数解析式得：3»解得：，,即点B坐标为：（-3,1）,作出点A关于y轴的对称

y=■—yt=3丫2=1

点C,连接BC,与y轴的交点即为点P,使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1,3）,设直线BC的解析式为:

1

-3a+b=l^215

y=ax+b,把B、C的坐标代入得：，,解得：，,所以函数解析式为：y=*x+二，则与y轴的交点为:

a+b=3

(0,—).

2

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题.

18、相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角.

【解题分析】

根据圆内接正四边形的定义即可得到答案.

【题目详解】

到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；两点确定一条直线；互相垂直的直径将圆四等分，从而得到答案.

【题目点拨】

本题主要考查了圆内接正四边形的定义以及基本性质，解本题的要点在于熟知相关基本知识点.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

-x2+16%+260(1<%<10,x为整数)

19、(1)W=《;（2）李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元;

-20%+520(10<%<15,x为整数)

（3）李师傅共可获得160元奖金.

【解题分析】

（1）根据题意和表格中的数据可以求得P与x,W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）根据题

意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题.

【题目详解】

(1)设p与X之间的函数关系式为p=kx+b,则有

k+b=7.5k—0.5

13左=8.5,解得‘[。=7，

即p与x的函数关系式为p=0.5x+7(l<x<15,x为整数)，

当IWxVIO时，

W=[20-(0.5x+7)](2x4-20)=-x2+16x+260,

当10<x<15时,

W=[20-(0.5x+7)]x40=-20x+520,

-X2+16X+260(1<X<10,x为整数)

即w=<；

-20%+520(10<x<15,x为整数)

(2)当lgxVlO时，

W=-x2+16x+260=-(x-8)2+324,

.•.当x=8时，W取得最大值，此时W=324,

当10<x<15时，

W=-20x+520,

.•.当x=10时，W取得最大值，此时W=320,

；324>320,

.•.李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；

(3)当lWxVIO时，

令-x2+16x+260=299,得xi=3,X2=13,

当W>299时，3<x<13,

,.<l<x<10,

.,.3<x<10,

当10<x<15时，

令W=-20x+520>299,得x<11.05,

.,.10<x<ll,

由上可得，李师傅获得奖金的的天数是第4天到第11天，李师傅共获得奖金为：20x(11-3)=160(元)，

即李师傅共可获得160元奖金.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用等，明确题意，找出各个量之间的关系，确立函数解析式，利用函数的

性质进行解答是关键.

20、见解析

【解题分析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集.在数轴上表示出来即

可.

【题目详解】

解：去分母，得3x+l—6>4x—2,

移项，得：3x—4x>—2+5,

合并同类项，得一x>3,

系数化为1,得x<-3,

不等式的解集在数轴上表示如下：

।।—।—।—।—।—।—।—

-4-3-2-101234

【题目点拨】

此题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算顺序.

8A+2

21、(1)(m,2m-2)；(2)SAABC=-.(3)m的值为1或10+2师.

a2

【解题分析】

分析：(1)利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,由AB〃x轴且AB=L可得出点B的坐标为(m+2,

la+2m-2),设BD=t,则点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t

的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出SAABC的值；

(3)由(2)的结论结合SAABC=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m>2m-2,即m<2时，x=2m-2时y取最

大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m-2WmW2m-2,

即2<m<2时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m

的值；③当mV2m-2,即m>2时，x=2m-2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一

元一次方程，解之可求出m的值.综上即可得出结论.

详解：(1)Vy=ax2-2amx+am2+2m-2=a(x-m)2+2m-2,

•••抛物线的顶点坐标为(m,2m-2),

故答案为(m,2m-2)；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,如图所示，

•；AB〃x轴，且AB=L

，点B的坐标为(m+2,la+2m-2),

VZABC=132°,

，设BD=t,贝!JCD=t,

・••点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),

点C在抛物线y=a(x-m)2+2m-2上,

2

la+2m-2-t=a(2+t)+2m-2f

整理，得：at2+(la+1)t=0,

5/口/人,、4〃+1

解得：ti=O(舍去)，t2=-----------,

a

18。+2

：•SAABC=-AB・CD=-----------；

2a

(3);△ABC的面积为2,

8。+2

-----------=2,

a

解得：a=-g,

二抛物线的解析式为丫=-((x-m)2+2m-2.

分三种情况考虑：

①当m>2m-2,即m<2时，有一((2m-2-m)2+2m

2=2,

整理，得：m2-llm+39=0,

解得：mi=7-V10(舍去)，m2=7+JlU(舍去)；

7

②当2m-2gmW2m-2,即2Wmg2时，有2m-2=2,解得:m=—

2

有V

③当m<2m-2,即m>2时,(2m-2-m)2+2m2=2,

整理，得：m2-20m+60=0,

解得：013=10-2710（舍去），mi=10+2丽.

7

综上所述：m的值为5或10+2丽.

点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以

及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性

质找出点C的坐标；（3）分m<2、2WmW2及m>2三种情况考虑.

22、y=x1+2x；（—1,—1）.

【解题分析】

试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b和c的二元一次方程组，然后求出b和c的值，然后将抛物线配方成顶

点式，求出顶点坐标.

c—0b—2

试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：（7。解得：｛

l+6+c=3c=0n

二抛物线的解析式为y=x?+2x.,.y=x2+2x=（x+l）2—1，顶点坐标为（-1,—1）.

考点：待定系数法求函数解析式.

23、^--2

2

【解题分析】

试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.

"_1

试题解析：原式+3—=-+73-2=--2.

2122

2

24、⑴①60。+2（/;®CE+AC=43CQ；（2）AC-CE=^CQ

【解题分析】

（D①先根据等边三角形的性质的3=Q3,进而得出。5=QE,最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②先

判断出AQA尸三AQEC,得出QF=QC,再判断出AQCT是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可

得出结论；（2）同②的方法即可得出结论.

【题目详解】

（1）当00<。<30°时，

①画出的图形如图1所示,

AABC为等边三角形，

:.ZABC=60.

VCD为等边三角形的中线

•••CD是的垂直平分线，

为线段CD上的点，

：.QA=QB.

VZ.DAQ—cc,

：.AABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°—a.

•••线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，

QE=QA.

：.QB=QE.

ZQEB=ZQBE=60°—e,

ZBQE=180。-2ZQBE=180°-2（60°-«）=60°+2a;

图1

@CE+AC=y/3CQ；

如图2,延长C4到点/，使得A/=CE,连接。作于点H.

VZBQE=60°+2a,点E在BC上,

：.NQEC=ZBQE+ZQBE=（60°+2a）+（60。-a）=120。+tz.

•.•点/在C4的延长线上，ZDAQ^a,

ZQAF=NBAF+ZDAQ=120°+a.

：.NQAF=ZQEC.

又：AF=CE,QA=QE,

:.AQAF=KQEC.

：.QF=QC.

:QHLAC于蔗H,

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上,

：.ZACQ=^ZACB=30°,

即AQCF为底角为30的等腰三角形.

•••C”=CQ.cosZQCH=CQcos30°=CQ.

CE+AC=AF+AC=CF=2CH=%CQ.

F

（2）如图3,当30°<a<60°时,

在AC上取一点P使AE=C£,

,/AABC为等边三角形，

ZABC=60.

CD为等边三角形的中线，

•••Q为线段CD上的点，

.••CD是的垂直平分线，

：.QA=QB.

•/Z.DAQ=CL,

，ZABQ=ZDAQ=a,ZQBE=60°—e.

■:线段Q