2023-2024学年人教版九年级数学上册重难点题型突破训练：线圆最值

专题4.5线圆最值

区模型方弦

考点：线圆最值

已知O及直线I,O的半径为r,点Q为O上一点，圆心O与直线I之间

的距离为d.

位置关系直线与口。相离直线与口0相切直线与口0相交

O

aa

图示

------------1

点。到直线/距离的

d+r2rd+r

最大值

过点O作直线1的总售线，其反向延长线与匚O的交点，即为

此时点Q的位置

点2

点。到直线/距离的

d-r0r-d

最小值

此时点Q的位置过点O作直线”的垂线，与二。的交点即为点。

拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定

边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解

园满今势神

【典例1】如图，在矩形48CD中，BC=2AB=4,点E是48的中点，点尸是

矩形48。）内一点，且七尸=/七,连接CP,尸，则△PCD面积的最小值为.

【变式1-1]（2022•观山湖区一模）如图，点尸是正六边形AffCDE厂内一点,

45=4,当N4P5=90°时，连接PQ,则线段尸。的最小值是（）

【变式1-2】（安徽一模）在RtA45c中，ZACB=90°,AC=8,BC=3,点

D是BC边上一动点,连接4D交以CD为直径的圆于点£则线段长度

的最小值为（）

【典例2】如图，在和AADE中，AB=AC=6,AD=AE,/BAC=NDAE

=60°,且5。=2AD,DE//BC,点〃是。E的中点，连接aI/,CM.将4

绕点N逆时针旋转，则在旋转过程中，△5MC面积的最大值

【变式2-1]（思明区校级期中）如图，在△4BC中，BC=2,点幺为动点，在

点/运动的过程中始终有NA4c=45°,则△48C面积的最大值为.

A

BC

【变式2-2】如图，直线yRx+6分别与X轴、y轴相交于点M,N.点尸在平面

4

内.NMW=90°,点C（0,3）,则PC长度的最小值是.

【变式2-3］如图，4s是。。的直径，点C在半圆的中点，且5c=4口〃，点。

是血上的一个动点，连接助，过C点作C7ZL5。于连接在点。

的运动过程中，4口长度的最小值是

【典例3】如图，在矩形488中，48=3,BC=4,点尸是矩形48CZ）内一点,

且N5PC=90°,连接4P,PD,则面积的最小值为.

【变式3-1］如图，矩形N3CZ）中，48=4,BC=8,P是直线48上的一个动点,

AE=2,4APE沿PE翻折形成1AFPE,连接PF、EF,则尸。的最小值

是，点尸到线段5c的最短距离是.

【变式3-2】如图，尸是矩形48a）内一点，48=4,40=2,APLBP,则当线

【变式3-3】（2022•祁江区校级开学）如图，在△48C中，ZABC=90°,AB=

8,点尸是45边上的一个动点，以5尸为直径的圆交CP于点0,若线段幺。

长度的最小值是4,则△HBC的面积为.

【变式3-4］如图，在矩形458中，48=3,BC=4,E为边BC上一动点,F

为4E中点，G为上一点，BF=FG,则CG的最小值为.

【变式3-5】矩形25CQ中，48=2,BC=6,点尸为矩形内一个动点.且满足

ZPBC=ZPCD,则线段PZ）的最小值为.

【变式3-6］如图，在Rtz^48C中，ZACB=90°,AC=12,BC=8,0是线段

3c上的动点，连接4D,过点C作。WL4D于连接励/,则创/的最小

值是—.

【典例4】如图，在边长为2的菱形48CZ）中，乙4=60°,点M是4D边的中

点，点N是48边上一动点，将沿所在直线翻折得到连

接A,C,则5c面积的最小值为.

D

【变式4-1】如图，在RtZ^45C中，ZC=90°,CA=CB=3,点D在边BC

上.将△/C。沿2。折叠，使点C落在点处，连接5U,则的最小

值为_______

【典例5】如图，在RtA45C中，A£=3,BC=4,点。是/。边上一点，点、E

是平面内一点，且QE=1,连接ZE,CE,则四边形48CE面积的最大值

【变式5-1］如图，正方形45CQ的边长为2,点尸是射线40上一个动点，点

。在AP上，且满足N8C0=NAPC,则线段C0的最小值为（）

C.V5-1D.272-1

【变式5-2］如图，正方形48s的边长为5,以。为圆心，2为半径作OC.点

尸为0c上的动点，连接3尸，并将HP绕点3逆时针旋转90°得到5P,连

接CP.在点尸运动的过程中，CP长度的最大值是()

A.5V2+2B.3V2+2C.572-2D.3加-2

【变式5-3】在△N5C中，若。为8c边的中点，则必有：482+/。=14。2+2302

成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形QEFG中，已知。石=6,

石尸=4,点”在以半径为2的。。上运动，则叱+MG2的最大值为()

A.104B.116C.120D.100

【变式5-4］如图，在四边形45CZ）中，AD//BC,Z5=60°,NBCD=90°,

48=12,6C=16.点M是N8上一点，4M=4,点N是四边形48CZ）内一点，

且。N=5,连接CV,MN.

(1)当"，N,。三点共线时，求的长;

(2)求四边形3CM0面积的最小值.

BB

备用图

专题4.5线圆最值

区横型方弦

考点：线圆最值

已知O及直线I,O的半径为r,点Q为O上一点，圆心O与直线I之间

的距离为d.

位置关系直线与口。相离直线与口0相切直线与口0相交

O

图示

------------------1工s

点。到直线/距离的

d+r2rd+r

最大值

过点O作直线/的垂线，其反向延长线与口。的交点，即为

此时点Q的位置

点2

点。到直线/距离的

d-r0r-d

最小值

此时点Q的位置过点o作直线/的垂线，与二。的交点即为点。

拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定

边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解

国满台於栋

【典例1】如图，在矩形48CD中，BC=2AB=4,点E是48的中点，点尸是

矩形48。）内一点，且七尸=/七,连接CP,尸，则△PCD面积的最小值为.

【答案】3

【解答】解：

：.AB=2,

•点、E是AB的中点,

:.AE=BE='.；

，点尸在以点石为圆心，1为半径的弧上运动,

过点尸作尸0_LCD于点0,

过点E作石尸，8于点尸，

则SAPCD=fCD=P。，

，当尸0最小时，△尸CD的面积取得最小值・£尸+尸02所，

当E,P,0三点共线时，尸0取得最小值，最小值为"-EP的值;

•••四边形458是矩形，

：.EF=BC=4,

:.PQ最小=EF-EP=3,

S^PCD靛小=尸。最小=3）

故答案为：3.

【变式1-1]（2022•观山湖区一模）如图，点尸是正六边形N5CDE厂内一点,

48=4,当N4P5=90°时，连接PQ,则线段尸。的最小值是（）

A.2>/n-2B.2V13-2c.6D.4V3

【解答】解：•••48=4,NAPB=90°,

.•.点尸在以48为直径的圆弧上，

如图，取48的中点O,连接。刀，当。、尸、D三点共线时，尸Z）有最小值,

连接助，过点。作8，助于点〃，

•.•点。为4B的中点，

：.OA=OB=OP=4^2=2,

•.,正六边形的每个内角为180°X(6-2)4-6=120°,

'：CD=CB,

：.ACBD=(180°-120°)4-2=30°,BD=2BH,

：.ZOBD=120°-30°=90°,

在RtZkC57/中，C7/=—CB=2,BH=2/3,

：.BD=4>/3,

在RtZXOB。中，8=也2+(4病2=2<1§,

：.PD的最小值为OD-OP=-2.

故选：B.

【变式1-2】(安徽一模)在RtA45C中，ZACB=90a,AC=8,BC=3,点

。是5c边上一动点，连接40交以CD为直径的圆于点£则线段5E长度

A.1B.gC.V3D.$

22

【解答】解：如图，作以NC为直径的圆，圆心为O

；七点在以CZ)为直径的圆上

:.NCED=90°

：.ZZEC=180°-ZCED^90°

，点七也在以/C为直径的圆上，

可得当O、E、3三点共线时，BE是最短,

VJC=8,

OC=4

,:BC=3,„=90°

OB=VOC2+BC2=416+9=5

\"OE=OC=4

：.BE=OB-OE=5-4=1

故选：A.

【典例2】如图，在A45C和AIDE中，AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且5Z)=2AD,DE//BC,点〃■是的中点，连接团/CM.将4

绕点力逆时针旋转，则在旋转过程中，面积的最大值

为—.

【答案】12五.

【解答】解：连接40,交BC于H,.

'：AB=AC,AD=AE,点Af是OE的中点，

：.AM±DE,AHLBC,

将△4DE绕点/逆时针旋转180°,即AT、M.H在同一直线上时，ABMC

面积取最大值.

"：AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,且

：.AD=AE^2,近杷=近乂6=3对，

22

AM=^-AD—x2=V3»

22

：.AM,=43,

：.MH=43+373=473,

此时，△冽/C面积=/BOBH=yX6X4V3=12A/3.

故答案为：12正.

【变式2-1］（思明区校级期中）如图，在△HBC中，BC=2,点幺为动点，在

点/运动的过程中始终有NA4c=45°,则Z\J5c面积的最大值为.

A

【解答】解：如图，△48C的外接圆QO,连接05、OC,

VZBAC=45°,

ZBOC=2ZBAC=2X45°=90°,

过点。作垂足为O,

•：OB=OC,

：.BD=CD=—BC=\,

2

VZ5OC=90°,ODLBC,

：.OD=—BC=\,

2

O5=^/QD2+BD2=V2，

,:BC=2保持不变，

.•.5C边上的高越大，则△48C的面积越大，当高过圆心时，最大,

此时5c边上的高为：V2+1,

.,.△N3C的最大面积是：-1X2X(<2+1)=V2+1.

故答案为：V2+1.

y4x+6分别与x轴、y轴相交于点“，N.点尸在平面

内.NMW=90°,点C(0,3),则尸。长度的最小值是1.

【解答】解：•.•点尸在平面内.ZMPN=90°,

.•.点尸在以MN为直径的圆上，

如图，以为直径作连接EC并延长交OE于点P,

•.,直线y-1x+6分另U与*轴、y轴相交于点M，N,

：.M(-8,0),N(0,6),

，OAf=8,ON=6,

在RtAMOTV中，MV=^0M2-H3N2=^82+62=1。，

:.EM=EN=EP，=*^HN=5,

'：M(-8,0),N(0,6),点E为小W的中点，

：.E(-4,3),

VC(0,3),

：.CE=4,

：.P'C=EP'-CE=5-4=1,

...PC长度的最小值是1.

故答案为：1.

【变式2-3】如图，48是©O的直径，点C在半圆的中点，且3c=4。〃，点。

是京上的一个动点，连接班＞,过C点作CHL8D于H,连接在点。

的运动过程中，长度的最小值是2y-2.

【解答】解：连接NC,取5c的中点T,连接NT,TH.

•••43是直径，

；./4CB=90°,

•.,点。在半圆的中点,

AAC=BC，

：.AC=CB=A,

'：CT=TB=2,

:,AT='AC?KT2=q《2+22=2粕,

■:CHLBD,

：.4CHB=90°,

，点H在以BC为直径的圆上运动,

VCT=TB,

：.HT=^BC=2,

2

■:AHNAT-HT=2#-2,

〃的最小值为2巡-2,

故答案为：2"7"^-2.

【典例3】如图，在矩形48CZ）中，48=3,BC=4,点尸是矩形48CZ）内一点,

且N5PC=90°,连接ZP,PD,则面积的最小值为.

【答案】2

【解答】解：•；N5PC=90°,

.•.点尸在以3c为直径的圆上，

即点P到BC的最大距离为2,

，点尸到40的最小值=3-工X4=l,

2

=

"S'Zi^p£）"X4X1=2,

2

/\APD面积的最小值为2.

故答案为：2.

【变式3-1］如图，矩形45CD中，48=4,BC=8,尸是直线48上的一个动点,

AE=2,△2尸£沿尸石翻折形成△77>E,连接尸尸、EF,则尸。的最小值

是，点尸到线段5。的最短距离是.

【解答】解：连接CE,作EG_L5C于G,

■:AE=EF=2,

.•.点/在以E为圆心，NE为半径的圆上运动,

在RtZXCQE中，由勾股定理得，

CE=VDE2+CD2=762+42=2V'

：.FC的最小值为CE-2=2后-2,

,?ZDAB=ZABC=NBGE=90°,

四边形/BGE是矩形，

：.EG=AB=4,

点F到线段BC的最短距离是2,

故答案为：2后-2,2.

【变式3-2】如图，尸是矩形45al内一点，48=4,AD=2,AP±BP,则当线

段DP最短时，CP=.

【解答】解：以N8为直径作半圆。，连接。。，与半圆。交于点P,当点

P与P'重合时，DP最短,

\'AD^2,ZBAD=90°,

：.0D=2&,ZADO^ZAOD=ZODC^45°,

：.DP'=0D-OP'=2企-2,

过P作PELCD于点E,贝！！

P'E^DE=J^DP'=2-&,

2

:.CE=CD-DE=42+2,

•••CP=VP/E2-K；E2=2V3-

故答案为：2M.

【变式3-3］（2022•祁江区校级开学）如图，在△NBC中，ZABC=90°,AB=

8,点尸是48边上的一个动点，以AP为直径的圆交C尸于点0,若线段Z0

长度的最小值是4,则△48C的面积为.

【解答】解：如图，取8C的中点T,连接NT,QT,BQ.

•；PB是0）0的直径，

AZPQB=ZCQB=90°,

.•.QT=_1_8C=定值，ZT是定值，

"：AQ^AT-TQ,

...当/,Q,T共线时，Z。的值最小，没BT=TQ=x,

在RtZXZBT中，则有（4+x）2=N+82,

解得x=6,

/.JBC=2X=12,

**-^BC=—^*5C=Ax8X12=48,

22

故答案为：48.

【变式3-4］如图，在矩形45CQ中，48=3,BC=4,£为边8c上一动点，F

为ZE中点，G为。£上一点，BF=FG,则CG的最小值为乐-2.

【解答】解：如图1,连接ZG,

图1

・••四边形48CD是矩形，

:./ABC=NBCD=NADC=90°,DC=AB=3,

是ZE的中点，

:.BF=UE=AF=EF,

2

,:BF=FG,

：.AF=FG=EF,

：.ZAGE^ZAGD=90°,

.•.点G在以NO为直径的圆上运动，取Z。的中点。，连接0G,

当。，G,C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，

o

D

/y-/G\

BEC

图2

：.0D=0G=2,

•*OC—\l2^+3^=V13，

，CG的最小值为后-2.

故答案为：V13-2.

【变式3-5】矩形48CD中，AB=2,8c=6,点尸为矩形内一个动点.且满足

ZPBC=ZPCD,则线段尸。的最小值为市-3.

【答案】VTs-3.

【解答】解：•••四边形/BCD是矩形，

/.ZBCD=90°,

:.NPCD+NPBC=90°,

；NPBC=/PCD,

：.ZPBC+ZPBC=90°,

AZBPC=90°,

...尸点在以8C为直径的圆上，设圆心为0,

,:BC=6,

：.C0=3,

"：CD=2,

••DO—yf13，

：.PD的最小值为后-3,

故答案为：V13-3.

D

【变式3-6］如图，在Rt448C中，ZACB=90°,AC=12,BC=8,。是线段

5c上的动点，连接N。，过点。作于/,连接则刚/的最小

值是4.

【答案】4.

【解答】解：如图，以NC为直径作。。,

■:CMLAD,

：.ZAMC=90°,

...点/在O。的上半圆上，

当且仅当点8、M、。三点共线时，8”最小，

V(9C=X4C=1.X12=6,BC=8,ZACB=90°,

22

OB=7BC2-H3C2=V82+62=10,

'：OM^OC=6,

；.BM=OB-0M=10-6=4,

即印〃的最小值是4,

故答案为：4.

【典例4】如图，在边长为2的菱形48C。中，NZ=60°,点M是幺。边的中

点，点N是边上一动点，将△4W沿"N所在直线翻折得到△©〃从连

接45,A'C,则面积的最小值为.

【答案］“二1

又是4D的中点，

:.MA=MA'=MD,

点4的运动轨迹就是在以点“为圆心，K4长为半径的俞上,

过点M作〃EL8C于点E,连接AD,

在菱形/8C。中，

'：AD=AB,ZA=60°,

...△/AD是等边三角形.

是的中点，

点E与点8重合，

EM=yj22-l2=V3，

设点4到BC的距离为〃，当点4在"E上时，〃取得最小值，最小值为瓦0-

•=禽-1,

...△48。面积的最小值为=口。・〃=工*2乂（V3-1）=煦-1，

22

故答案为：A/3-L

【变式4-1】如图，在中，ZC=90°,CA=CB=3,点。在边8c

上.将△ZCO沿ZD折叠，使点C落在点C'处，连接8U,则5。的最小

值为一啦-3_.

【答案】372-3.

【解答】解：,••NC=90°,CA=CB=3,

；•ABWAC2+BC2=3五，

由折叠的性质可知AC=AC=3,

■:BCB-AC,

.•.当N、C、8三点在同一条直线时，8c取最小值，最小值即为

BC'=AB-ACy=372-3，

故答案为372-3.

【典例5】如图，在RtZk48C中，48=3,8。=4,点。是NC边上一点，点£

是平面内一点，且。£=1,连接4E,CE,则四边形45CE面积的最大值

为.

【答案】II

2

【解答】解：:•在RtZiZBC中，Z5=90°,AB=3,BC=4,

•'•^C=VAB2+BC2=^32+42=5-

经分析，当DELZC于。时，四边形48CE面积的最大.

•••四边形48CE面积的最大值为S四边形ABCE-SAABJS沙CE-/"AB*BC+~~AC♦DE

=「X3X4卷X5X1=¥

故答案为：21.

2

【变式5-1］如图，正方形48CO的边长为2,点尸是射线ZD上一个动点，点

Q在BP上,且满足N5CQ=NAPC,则线段C0的最小值为（）

A.A/2B.1C.V5-1D.2^2-1

【答案】C

【解答】解：如图，连接Z0,

ZBCQ=ZBPC,且ZCBQ=ZPBC,

：.ABCQs丛BPC,

：.BQzBC=BC：BP,

•：AB=BC,

:.BQ：AB=AB：BP,

'：NABQ=NPBA,

：./\ABQ^APBA,

：.ZAQB=ZBAP=90°,

.•.点。的运动轨迹是在以幺8为直径的圆上，

如图，取48中点。，连接0C交O。于。，则C。此时最小,

：.OB=1,

oc=d12+22=V5，

'：0Q=\,

•••CQ=存L

故选：C.

【变式5-2］如图，正方形48CQ的边长为5,以C为圆心，2为半径作OC.点

尸为O。上的动点，连接成，并将AP绕点5逆时针旋转90°得到8P,连

接CP.在点尸运动的过程中，CP长度的最大值是（）

C.5V2-2D.3V2-2

【答案】/

【解答】解：连接PZ,PC,

VZABC=ZP'BP=90°,

.../PBA=/PBC,

,:BP'=BP,BA=BC,

:.△P'Bg^PBC(SAS).

：.PA=PC=2,

.,.P在以Z为圆心，2为半径的圆