新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数51几种函数增长快慢的比较课件湘教版必修第一册

4.5.1几种函数增长快慢的比较第4章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数、幂函数增长速度的差异.(数据分析、直观想象)2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.(数学抽象、直观想象)3.能正确地选择函数模型解决实际问题.(数学建模)思维脉络课前篇自主预习情境导入一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题:现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?A.5年

B.7年

C.8年

D.9年

E.永远买不起房子的价格逐年构成什么函数?这个人的逐年收入构成什么函数?你能给出这道题的答案吗?为什么?知识梳理知识点:三种常见函数模型的增长速度比较

函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx+b(k>0)在(0,+∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx增长结果存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax名师点析

1.对数函数y=logbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时就会有logbx<xc.2.对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xc(x>0,c>0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.3.当幂指数大于1时,不论一次函数的一次项系数和常数项多么大,只要自变量足够大,幂函数的增长就比一次函数快得多.类似地,一次函数y=kx+b(k>0)总比幂函数y=xα(0<α<1)增长得快.4.指数增长最快,对数增长最慢.微思考为什么存在一个x0,当x>x0时,ax>xn>logax(a>1,n>0)一定成立?提示

当a>1,n>0时,由y=ax,y=xn,y=logax的增长速度,知存在x0,当x>x0时,图象由上而下依次对应指数、幂、对数函数,故一定有ax>xn>logax.微判断(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.(

)(2)函数y=log2x增长的速度越来越慢.(

)(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.(

)答案

(1)√

(2)√

(3)×微练习函数y=x2与函数y=lnx在区间(0,+∞)上增长较快的是

.

答案

y=x2课堂篇探究学习探究一几种函数模型增长的差异例1(1)下列函数增长速度最快的是(

)A.y=2021x B.y=x2021C.y=log2021x D.y=2021x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321

02432

7681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是

.

答案

(1)A

(2)y2解析

(1)比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象,指数函数增长最快.(2)以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.反思感悟

常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数

f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.变式训练1下列函数随x的增大函数值增长速度最快的是(

)答案

A解析

指数函数y=ax在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快.探究二指数函数、对数函数与幂函数模型比较例2已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.解

(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当x<x1时,2x>x3,即f(x)>g(x);当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x).因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.反思感悟

比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.延伸探究在例2的条件下,结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2021),g(2021)的大小.解

∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2,2

021>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),∴f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2

021)>g(2

021).又g(2

021)>g(8),∴f(2

021)>g(2

021)>g(8)>f(8).探究三不同函数模型的实际应用1.增长曲线的选择

例3高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时鱼缸内水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是(

)答案

B解析

本题考查指对幂增长差异的实际应用.当h=H时,体积是V0,故排除A,C项.h由0到H变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项.要点笔记函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大,如果函数值增长得越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.变式训练2如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3min漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间

t(单位:min)的函数关系表示的图象只可能是(

)答案

B解析

由题可知液体漏入桶中的速度是常量,即圆锥体中减少的液体体积与时间成正比,故H下降的速度是逐渐加快的,类似于指数型函数的图象,因此B项正确.2.函数模型的选择与应用例4某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N+)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N+),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?解

根据题意可列方程组

同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①式与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130,g(4)=-80×0.54+140=135.与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故指数型选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.要点笔记函数模型的实际应用指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用,可根据增长的快慢特征选择、建立函数模型,再利用指数、对数运算解决问题,已经给出函数模型的,则直接代入相应的数据计算解决.变式训练3某债券市场发行三种债券,A种面值为100元,一年到期本息和为103元;B种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元,但买入价为97元,一年到期本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,如果只能购买其中的一种债券,你认为应购买哪种?素养形成知识梳理指数爆炸与生活哲学指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质.对指数运算不熟悉的人,在估计指数运算的值时,可能会出现比较大的误差.例如,你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗?1.01365≈?1.02365≈?0.99365≈?1.01219×0.98146≈?0.9550≈?有意思的是,如图所示,有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学,你觉得有道理吗?1.01365≈37.78

0.99365≈0.03

积跬步以至千里

积怠惰以至深渊

1.02365≈1377.41

1.01365≈37.78

多百分之一的努力

得千份收获1.01219×0.98146≈0.46三天打鱼两天晒网终将一无所获0.9550≈0.08如果每次失败的概率是95%连续失败50次的概率不到8%当堂检测1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(

)A.一次函数 B.幂函数C.指数型函数 D.对数型函数答案

D解析

初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.2.某人从甲地去乙地,一开始跑步前进,后来步行,图中横轴表示走的时间,纵轴表示此人与乙地的距离,则较符合该走法的图象是(

)答案

D解析

图中给出的是直线模型,符合一次函数模型的特点,结合题意,应选D.3.(多选题)当a>1时,下列结论正确的是(

)A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快C.对数函