辽宁省沈阳市某中学2024年中考冲刺卷数学试题（含解析）

辽宁省沈阳市第九十五中学2024年中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.估计括介于（）

A.0与1之间B.1与2之间C.2与3之间D.3与4之间

2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时,

点E的坐标是（）

/5、

B.(0,-)C.(0,2)

3

3.如图，在矩形ABCD中，AB=0,AD=2,以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC边于点E,则图中阴影部

分的面积为（）

A.272-1--B.272-1--C.272-2--D.272-1--

3224

4.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点.设

AC=2,BD=1,AP=x,AAMN的面积为y,则y关于x的函数图象大致形状是（）

5.如图，直线二二二二一二与y轴交于点（0,3）、与x轴交于点（a,0）,当a满足「o时,k的取值范围是

D•二Nf

6.九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结

果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为xkm/h,则所列方

程正确的是（）

1010110_102

B.——20

X2x"3X2x

10101£0_102

———+-D.—+20

X2x32x

7.下列计算中正确的是（）

A.x2+x2=x4B.x6-rx3=x2C.（x3）2=x6D.x-i=x

8.某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取

其中前3名参加学校比赛.小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生成

绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

9.关于x的方程3x+2a=x-5的解是负数，则a的取值范围是（)

5555

A.a<—B.a>—C.a<------D.a>-----

2222

10.等腰三角形的两边长分别为5和11,则它的周长为（）

A.21B.21或27C.27D.25

11.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BELAC于点F,则下列结论中错误的是（）

1

A.AF=-CFB.ZDCF=ZDFC

2

C.图中与AAEF相似的三角形共有5个D.tanZCAD=72

12.下列图形是轴对称图形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知圆锥的底面半径为3cm,侧面积为15jrcm2,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角'

14.如图，AABC中，AB=17,BC=10,CA=21,AM平分NR4C,点£）、E分别为AM、A5上的动点，贝！JBO+OE

的最小值是

15.如图，已知直线a//b//c,直线机、“与。、氏c分别交于点A、C、E和8、Z>、F,如果AC=3,CE=5,DF=4,

那么______

16.25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表:

人数1234510

次/p>

那么跳绳次数的中位数是.

17.对于函数丫=9,若x>2,贝!Jy3（填“>”或"V”）.

X

-x+1--1@

18.解不等式组<

2x>x-l(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

（I）解不等式①，得；

（II）解不等式②，得;

（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（IV）原不等式组的解集为.

-4-3-2-1~6~1~~2~3~4~~5^

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，AB是OO的直径，ZBAC=90°,四边形EBOC是平行四边形，EB交。。于点D,连接CD并延

长交AB的延长线于点F.

（1）求证：CF是。O的切线；

（2）若NF=30。，EB=6,求图中阴影部分的面积.（结果保留根号和兀）

20.（6分）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张先生以每股5元的价格买入

“西昌电力''股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确

到0.01元）

21.（6分）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、。是人工湖边的两座雕塑，AB.8c是湖

滨花园的小路，小东同学进行如下测量，5点在A点北偏东60。方向，C点在8点北偏东45。方向，C点在。点正东方

向，且测得AB=20米，5c=40米，求AO的长.（若M.732,夜H.414,结果精确到0.01米）

22.（8分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过4B两点画两条相交于点O的射线，在

射线上取两点D、E,使—，若测得DE=372米，他能求出4B之间的距离吗？若能，请

OBOA3

你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案.

23.（8分）计算：（-1）2018-279+H-73|+3tan30°.

24.（10分）如图,在正方形ABCD中，点尸是对角线AC上一个动点（不与点AC重合），连接PB过点尸作尸尸，依,

交直线。C于点作PELAC交直线。C于点E,连接AE,5b.

（1）由题意易知，AAZ）。名AABC,观察图，请猜想另外两组全等的三角形/_____皿_____；/_______0A______；

（2）求证：四边形AEEB是平行四边形；

（3）已知AB=2应，APEB的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

25.（10分）已知关于x的一元二次方程29+4%+左—1=0有实数根.

（1）求"的取值范围；

（2）若《为正整数，且方程有两个非零的整数根，求发的取值.

26.（12分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”

的扇形圆心角为120。.转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字,

此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形

的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是一2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数

字之积为正数的概率.

27.（12分）如图，已知矩形ABCD中，连接AC,请利用尺规作图法在对角线AC上求作一点E使得△ABCsaCDE.（保

留作图痕迹不写作法）

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

解：,♦,4<5<9,

•••"<&（血，即2<痛<3

...估计出在2〜3之间

故选C.

【点睛】

本题考查估计无理数的大小.

2,B

【解析】

解:作A关于j轴的对称点AS连接A'D交j轴于E,则此时,AADE的周长最小.；四边形ABOC是矩形，,AC〃OB,

AC=OB.的坐标为（-4,5）,：.A'（4,5）,5（-4,0）.

是03的中点，（-2,0）.

\=5

f5=4k+b-6555

设直线的解析式为y=fcr+瓦.〈c〜1'I4，，直线的解析式为丁=：x+4.当x=0时，y=；,

'0=-2k+bb,=—5633

I3

：.E(0,故选B.

3

【解析】

先利用三角函数求出/R4E=45。，则5万=48=夜，ZDAE=45°,然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积

=S矩形AbCO-SAABE-S扇彩EAO进行计算即可.

【详解】

A85

解：\'AE^AD=2,而43=正，；.cosNBAE=——=—,AZBAE=45°,:.BE=AB=亚，ZBEA=45°.

AE2

,."AD//BC,：.ZDAE=ZBEA=45°,，图中阴影部分的面积=S矩形ABC。-SAABE-S扇形£4。=2x&-应x后-

气KY

故选B.

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算.阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.求阴影面积的主要思路是将不

规则图形面积转化为规则图形的面积.

4、C

【解析】

△AMN的面积=，APXMN,通过题干已知条件'用x分别表示出AP、MN,根据所得的函数'利用其图象'可分两

种情况解答：(1)0<x<l；(2)l<x<2；

解：(1)当OVxWl时，如图，A

在菱形ABCD中，AC=2,BD=1,AO=1,且ACJLBD；

VMN±AC,

/.△AMN^AABD,

.AP=AfV

**AOBD'

即，V,MN=x；

1I

Ay=1APxMN='x2(0<x<l),

22

V1>0,

2

函数图象开口向上；

(2)当l<x<2,如图，

同理证得，△CDB^ACNM,

，一rVW

即一=,MN=2-x；A

1I

.1

••y=一

2

APxMN=1xx(2-x),

2

y=-।x2+x；

2

V-1<0,

2

...函数图象开口向下；

综上答案c的图象大致符合.

故选C.

本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想.

5、C

【解析】

解：把点(0,2)(a,0)代入一—.得b=2.则@=

；V二<?

TS一3。

解得：k>2.

故选C.

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大.

6、C

【解析】

试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h,则汽车的速度为2xkm/h,由题意得，-=—+故选C.

x2x3

考点：由实际问题抽象出分式方程.

7、C

【解析】

根据合并同类项的方法、同底数塞的除法法则、塞的乘方、负整数指数塞的意义逐项求解，利用排除法即可得到答案.

【详解】

A.x2+x2-2x2,故不正确；

B.x6vx3=x3,故不正确；

C.(x3)2=x6,故正确；

D.x-1=—,故不正确；

x

故选C.

【点睛】

本题考查了合并同类项的方法、同底数塞的除法法则、塞的乘方、负整数指数暴的意义，解答本题的关键是熟练掌握

各知识点.

8、B

【解析】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，只需知道中位数

即可.

【详解】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，故应知道中位数

是多少.

故选B.

【点睛】

本题考查了统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键.

9、D

【解析】

先解方程求出x,再根据解是负数得到关于a的不等式，解不等式即可得.

【详解】

解方程3x+2a=x-5得

—5—2〃

x=-----------，

2

因为方程的解为负数，

LLtxt-5—2d

所以一-一<0,

2

解得：a>-

2

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，要注意的是：若在不等式左右两

边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变.

10、C

【解析】

试题分析:分类讨论：当腰取5,则底边为11,但5+5V1L不符合三角形三边的关系；当腰取11,则底边为5,根据

等腰三角形的性质得到另外一边为11,然后计算周长.

解：当腰取5,则底边为11,但5+5<11,不符合三角形三边的关系，所以这种情况不存在；

当腰取11,则底边为5,则三角形的周长=11+11+5=1.

故选C.

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.

11、D

【解析】

由又AD〃BC,所以当="=4，故A正确，不符合题意；过D作DM〃BE交AC于N,

22BCFC2

得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

2

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由△BAES/\ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan/CAD的值，故D错误，符合题意.

【详解】

：./\AEF^/\CBF,

.AEAF1

••BC-FCF

AE=-AD=-BC,

22

AF1

故A正确，不符合题意；

B.过。作交AC于N,

'：DE//BM,BE//DM,

二四边形BMDE是平行四边形，

：.BM=DE=-BC,

2

：.BM=CM,

：.CN=NF,

于点FJDM//BE,

：.DN±CF,

：.DF=DC,

：.ZDCF=ZDFC,故B正确，不符合题意；

C.图中与△AE尸相似的三角形有△ACZ>,ABAF,ACBF,△CAB,△ABE共有5个，故C正确，不符合题意；

a

D.设AD=Q45=①由△有b__~2_

ab

•.•tan/C4O=C2=2=YZ,故D错误，符合题意.

ADa2

故选：D.

【点睛】

考查相似三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

12、C

【解析】

试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形

叫做轴对称图形.据此对图中的图形进行判断.

解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不

满足轴对称图形的定义.不符合题意；

图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意;

图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意.

故轴对称图形有4个.

故选C.

考点：轴对称图形.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

2

试题分析：根据圆锥的侧面积公式S=7rrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积二口即可求出圆心角的度数.

360

解：二•侧面积为157tcm2,

/.圆锥侧面积公式为：S=7rrl=;rx3xl=157r,

解得：1=5,

2

扇形面积为15心兀X5,

360

解得：n=l,

二侧面展开图的圆心角是1度.

故答案为L

考点：圆锥的计算.

14、8

【解析】

试题分析：过B点作面，AC于点口，B尸与交于。点，根据三角形两边之和小于第三边，可知BO+DE的

最小值是线BE的长，根据勾股定理列出方程组即可求解.

过B点作于点尸，5歹与AM交于。点，

设AF=x,CF=21—x,

BF2+x2=172

5产+（・2Z）2=I。？，

x=15x=15

‘BF=8（取=-8（负值舍去）.

故BD+DE的值是8

故答案为8

B.W

考点：轴对称-最短路线问题.

12

15、

T

【解析】

由直线a〃b〃c,根据平行线分线段成比例定理,即可得生=处，又由AC=3,CE=5,DF=4,即可求得BD的长.

CEDF

【详解】

解：由直线a〃b〃c,根据平行线分线段成比例定理,

口-口ACBD

即可得一=—,

CEDF

又由AC=3,CE=5,DF=4

「•阳

可得：-3=—BD

54

“12

解得：BD=y.

12

故答案为二.

【点睛】

此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.

16、20

【解析】分析：

根据中位数的定义进行计算即可得到这组数据的中位数.

详解：

由中位数的定义可知，这次跳绳次数的中位数是将这25位同学的跳绳次数按从小到大排列后的第12个和13个数据的

平均数，

•••由表格中的数据分析可知，这组数据按从小到大排列后的第12个和第13个数据都是20,

二这组跳绳次数的中位数是20.

故答案为：20.

点睛：本题考查的是怎样确定一组数据的中位数，解题的关键是弄清“中位数”的定义：

“把一组数据按从小到大的顺序排列后，若数据组中共有奇数个数据，则最中间一个数据是该组数据的中位数；若数据

组中数据的个数为偶数个，则最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数”.

17、<

【解析】

根据反比例函数的性质即可解答.

【详解】

当x=2时，y——=3,

-2

•.”=6时,

...y随x的增大而减小

时，j<3

故答案为：V

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键在于利用反比例函数图象上点的坐标特点判断函数值的取值范围.

18、详见解析.

【解析】

先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，根据数轴找出不等式组公共部分即可.

【详解】

(I)解不等式①，得：x<l；

(II)解不等式②，得：X>-1；

(IID把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

(IV)原不等式组的解集为：-iWxVL

故答案为：x<l>x>-1^-1<X<1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组的概念.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明见解析；(2)91-3TT

【解析】

试题分析：(1)、连接OD,根据平行四边形的性质得出NAOC=NOBE,ZCOD=ZODB,结合OB=OD得出

ZDOC=ZAOC,从而证明出ACOD和ACOA全等，从而的得出答案；（2）、首先根据题意得出AOBD为等边三角形,

根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB,根据RtAAOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积

等于两个小AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.

试题解析：（1）如图连接。”

,四边形。5EC是平行四边形，：.OC//BE,：.ZAOC^ZOBE,ZCOD=ZODB,

'：OB=OD,：.ZOBD=ZODB,：.ZDOC=ZAOC,

roc=oc

在△CO。和△COA中，<NC0D=NC0A，•,.△COD^ACOA,，NCZ>O=NC4O=90。，

OD=OA

：.CF±OD,.IC尸是。。的切线.

（2）TN歹=30°,ZODF=9Q°,：.ZDOF=ZAOC=ZCOD=60°,

•：OD=OB,.,.△OB。是等边三角形，/.Z4=60o,；/4=/尸+/1,Nl=N2=30。，

,JEC//OB,/.Z£=180°-Z4=120°,/.Z3=180°-ZE-Z2=30°,：.EC=ED=BO=DB,

；E3=6,；.OB=OD=OA=3,在RtAAOC中，VZOAC=90°,OA=3,NAOC=60。，

.,.AC=OA・tan600=3«,：.SH=2»SAAOC-SB»OAD=2X2x3x3«-=9立-37r.

20、至少涨到每股6.1元时才能卖出.

【解析】

根据关系式：总售价-两次交易费N总成本+1000列出不等式求解即可.

【详解】

解：设涨到每股x元时卖出，

根据题意得lOOOx-(5000+1000x)x0.5%>5000+1000,

解这个不等式得转与黑，

199

即x>6.1.

答：至少涨到每股6.1元时才能卖出.

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价-两次交易费N总成本

+1000”列出不等关系式.

21、40=38.28米.

【解析】

过点3作5ELZM,BFLDC,垂足分别为E、尸，已知AO=AE+EO,则分别求得AE、OE的长即可求得AO的长.

【详解】

过点3作5ELZM,BFLDC,垂足分别为E,F,

由题意知，ADVCD

，四边形BFDE为矩形

1.BF=ED

在RtAABE中，AE=AB*cosZEAB

在RtABCF中，BF=BGCQSNFBC

.\AD=AE+BF=20*cos600+40*cos45°

]B

=20x-+40x_=10+20J2

22

=10+20x1.414

=38.28（米）.

即AZ>=38.28米.

D_____F___________C

【点睛】

解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的，问题，解决的方法就是作高线.

22、可以求出A、B之间的距离为111.6米.

【解析】

根据丝="，ZAOB=ZEOD（对顶角相等），即可判定AOB^EOD,根据相似三角形的性质得到

DEOE

即可求解.

【详解】

解：：刀二丁，^AOB=NEOD(对顶角相等)，

OBOA

：.「AOBsEOD,

.DEOE1

＞，AB-OA)

.37.2_1

••-------=-9

AB3

解得AB=ni.6米.

所以，可以求出A、3之间的距离为111.6米

【点睛】

考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.

23、-6+2-^3

【解析】

分析：直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案.

详解：原式=1-6+括-1+3x1

3

=-5+^3-1+73

=-6+273.

点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

24、(1)PEF,PCB,ADE,BCF;(2)见解析；(3)存在，2

【解析】

(1)利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；

(2)由(1)可知APEF当APCB,则有所=3。，从而得到A5=跖，最后利用一组对边平行且相等即可证明；

(3)由(1)可知APEF学APCB,则竹=依，从而得到APB厂是等腰直角三角形，则当P5最短时，APBF的

面积最小，再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案.

【详解】

解：(1)四边形ABC。是正方形，

AD=DC=BC,ZACD=ZACB=45°,

PE上AC,PB1PF,

ZEPC=ZBPF=90°，

NEPF=NCPB/PEC=ZPCE=45°,

：.PE=PC,

在APE尸和APCB中，

NPEF=ZBCP

<PE=PC

ZEPF=ZCPB

：.APEF/"CB(ASA)

：.EF=BC=DC

.-.DE=CF

在AAD石和ABC厂中，

AD=BC

■ND=NBCF=90°,

DE=CF

AADE^SBCF(SAS)

故答案为PEF,PCB,ADE,BCF,

(2)证明：由(1)可知APEF/APCB,

:.EF=BC,

AB=BC

:.AB=EF

AB//EF

二四边形AEEB是平行四边形.

(3)解：存在，理由如下：

\PEF^NPCB

：.PF=PB

NBPF=90°

APBF是等腰直角三角形，

.•.PB最短时，AP阶的面积最小，

，当心，AC时，P8最短，此时依=AB-cos45o=20x受=2,

2

/.APBF的面积最小为-x2x2=2.

2

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是

解题的关键.

25、(1)左<3；(2)k=l

【解析】