人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理（第2课时）》示范教学设计

勾股定理的逆定理（第2课时）教学目标1．会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决．2．进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．3．熟练运用勾股定理的逆定理解决实际问题．教学重点熟练运用勾股定理的逆定理解决实际问题．教学难点将实际问题构建成直角三角形模型再进行判断．教学过程新课导入通过前面的学习我们已经知道，勾股定理在实际生活中应用广泛，那么勾股定理的逆定理呢？【设计意图】引导学生在解决后面遇到的问题时，首先要想到运用勾股定理的逆定理进行解决．新知探究一、探究学习【问题】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．【分析】（1）求“海天”号的航向就是求______的度数；（2）已知∠1的角度，则求出_______的度数即可；（3）根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ为______．【师生活动】引导学生思考并填空，答案为：∠2，∠RPQ，直角．【答案】解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30．因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°．由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．【新知】在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角．【设计意图】通过此题让学生知道勾股定理的逆定理在判断方向和位置方面的应用．二、典例精讲【例1】A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？【分析】根据图示的距离，可以判断出以A，B，C三地位置为顶点的三角形是直角三角形．【答案】解：因为AB2＋BC2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，所以AB2＋BC2＝AC2．所以△ABC为直角三角形，且∠B＝90°．由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向．【设计意图】检验学生对利用勾股定理的逆定理判断方向和位置的掌握情况．【例2】如图，小李决定挖一块长方形的菜地，在挖完后测量了一下发现AB＝CD＝4m，AD＝BC＝3m，AC＝4.5m，请你帮忙计算一下小李挖的菜地是否为长方形？【答案】解：因为AB＝CD＝4m，AD＝BC＝3m，AC＝4.5m，所以AB2＋BC2＝25，AC2＝20.25．因为AB2＋BC2≠AC2，所以∠ABC≠90°．故小李挖的菜地不是长方形．【归纳】在实际生活中，也常用勾股定理的逆定理判断物体的形状是否为直角三角形，或者判断它的一个角或多个角是否为直角．【设计意图】检验学生对利用勾股定理的逆定理判断物体的一个角或多个角是否是直角的掌握情况．【例3】小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地．小明向东走80m后是向哪个方向走的？【分析】如图，因为小明最终回到原地，所以小明沿这三个方向所走的线段围成一个三角形．小明先向东走到A处，则OA＝80m．小明之后应该是向东西方向坐标以上或者以下行走的，所以应该分两种情况讨论．【答案】解：情形一：小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O．因为OA＝80m，AB1＝60m，OB1＝100m，所以OA2＋AB12＝802＋602＝1002＝OB12．所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1＝90°．因此，小明向东走了80m后，又向北走了60m，再走100m回到原地．情形二：小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O．同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2＝90°．因此，小明向东走了80m后，又向南走了60m，再走100m回到原地．综上所述，小明向东走了80m后，又向南或向北走了60m，最后走100m回到原地．