点到直线以及两平行直线间的距离公式 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数解,则l1//l2;则l1与l2相交;则l1与l2重合.两条直线的交点：两点的位置关系

两点间的距离点与直线的位置关系点到直线的距离2.3.3点到直线的距离01

点到直线的距离：

已知点，直线，如何求点到直线的距离？xO思考：如何求出

？追问1：点到直线l的距离的定义？思路一：直接法直线的方程直线的斜率直线的方程直线的方程交点点之间的距离（到的距离）点的坐标直线的斜率点的坐标点的坐标两点间距离公式xyO思路简单运算繁琐xyO思路二：间接法xyO等面积法求出|P0Q|求出|P0R|求出|P0S|利用勾股定理求出|RS|SR求出点R的坐标求出点S的坐标思路三：设而不求追问：能否从方程组中直接求出？则思路四：向量投影法求出直线l与y轴的交点M的坐标xyOM求出P0M求出直线l的垂直向量n求出P0M在n上的投影|P0Q|

已知一个定点，一条直线l

：Ax+By+C=0，则定点P到这条直线

l的距离为

①分子是P0点代入直线方程左侧的绝对值；②分母是直线未知数x,y系数平方和的算术根；③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.

概念识别认识公式例1:求点到直线的距离．思考：还有其他解法吗？对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0，当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式.QQxyox=x1P(x0,y0)yoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0)解：设边AB上的高为h,

则xyO-1122331B

(3,1)A

(1,3)例2

已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积.C

(-1,0)边AB所在直线l的方程为即点C(-1,0)到直线l的距离为因此问题

比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？代数方法寻找所求量的坐标表示坐标法（求垂足坐标）坐标法（设而不求垂足坐标）点到直线距离公式向量法代数方法寻找所求量的坐标表示坐标法（求垂足坐标）点到直线距离公式点的坐标刻画图形间关系坐标法（设而不求、整体代换）几何特征向量的坐标表示向量法问题

比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？分析：如何设“直线方程”2.3.4两条平行直线间的距离02温故知新两点的位置关系两点间的距离点与直线的位置关系点到直线的距离两条直线间的位置关系两条平行直线间的距离2.定义：夹在两平行线间的__________的长.公垂线段1.图示：

3.求法：

两条平行直线间的距离点到直线的距离转化yxol2l1QP

解：在直线2x

－7y－8=0上任取一点，如P(4,0)问题：如何取点，可使计算简单？yOxl2:6x-21y-1=0l1:2x-7y-8=0A(4,0)点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离例4.Oyxl2l1PQ证明：yOxl1l2

PQ两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离：注意：2)两直线方程中要求x,y的系数要相同．1)把直线方程要化成一般式；结论：追问：两条直线是平行的吗？斜率相等，截距不等，所以两直线平行.练习

（1）已知两直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为

.

（2）直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为

.

（2）已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.练习（1）已知直线l与两直线l1：y＝2x+3和l2：y＝2x-1间的距离相等,求直线l的方程.

待定系数法小

结1.两点P1(x1,y1),

P2(x2,y2)两点间的距离公式：2.点P0(x0,y0)到直线的距离：3.两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离：课后作业1.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为

,它们之间的距离为

.

解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1.2.已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的