江苏省2024高考数学二轮复习 审题方法技巧 学案

必备二审题方法秘籍

审题是解题的基础,深化细致地审题是胜利解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题

的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度视察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察

问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,许多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题

错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路途”，攻克高考解答题.

一审审条件挖隐含

有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要留意深化挖掘这些隐含条件和信息,解

题时可避开因忽视隐含条件而出现错误.

典型例题

例1(2024江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+9,则关于x的不等式

f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.

▲审题指导

sin(-x)二一sinx,

------------1----------------------------隐含，(工)--------

(x)〈o|3^f(bx2)<

—f(5x-7)=f(7-5x)|^T?〉7-5x

答案⑵3)

解析(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),；.f(x)是奇函数，：f'(x)=cosxT-券-2xln2,

f'(x)<0,/.函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即

1-X2>7-5X,解得2<x<3,故所求不等式的解集为⑵3).

跟踪集训

1.已知函数f(x)=2：当xG[0,3]时,f(x+1)Wf[(2x+a)2]恒成立,则a的取值范围

为.

二审审结论会转换

解决问题的最终目标是求出结果或证明结论，因而解决问题时的思维过程大多围围着结论定向思索.

谛视结论,就是在结论的引导下,探究已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.擅长从结论中捕获解

题信息,擅长对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发觉和确定解题方向.

典型例题

例2已知函数f(x)=e\xGR.证明：曲线y=f(x)与曲线y=|x2+x+l有唯一的公共点.

▲审题指导思路:

证明两曲线有

结论

唯一公共点转化函数巾(x)=ex-

有唯—个零词M

利用导数

6'(x)=e'-xT判断的单调性结论

证明曲线y=e*与曲线y=^x*2+x+l公共点的个数等价于函数6(x)=ex-ix2-x-l零点的个数.

:4>(0)=1-1=0,A@(x)存在零点x=0.

又6'(x)=e*-xT,令h(x)=0'(x)=e*-xT,

则h'(x)=ex-l.

当x<0时,h'(x)<0,

'(x)在(-8,o)上单调递减；

当x>0时,h'(x)>0,

6’(x)在(0,+8)上单调递增.

小’(x)在x=0处有唯一的微小值(0)=0,

即“(x)在R上的最小值为6'(0)=0.

由’(x)20(当且仅当x=0时,等号成立),

...6(x)在R上是单调递增的，

6(x)在R上有唯一的零点，

故曲线y=f(x)与曲线y=#+x+l有唯一的公共点.

跟踪集训

2.(2024江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对随意实数x都满意

g(x-1)+g(l-x)=x2-2x-l,J!Lg(l)=-l.f(x)=g(+：)+mlnx+\(niGR,x>0).

⑴求g(x)的表达式；

(2)若mx>0,f(x)WO成立,求实数m的取值范围；

⑶设l<m^e,H(x)=f(x)-(m+l)x,证明:VXi,x2^[1,m],恒有|H(xj-H3)|<1.

三审审结构定方案

数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着

某种特别关系，仔细谛视数式的结构特征,对数式结构深化分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.

典型例题

例3设数列｛aj(n=l,2,3,•••)的前n项和S”满意S„=2a„-ai,且aba2+l,as成等差数列.

(1)求数列｛既｝的通项公式；

(2)记数歹仙,｝的前n项和为T„,求使得|T,-l|〈焉成立的n的最小值.

▲审题指导

注意找n的最:

(2)*21~＞，目在7队二1-卜7解不等式|LT|7^小值,nEN.p取10

解析⑴由已知Sn=2an-ai,

-

得Sn-i-2an-ia1(n22),

=—=—

所以anSnSn-i2an2an-i(n22),

即an—2a,n-i(n^2).

8.2=2ai,a_3=2a2=4ai.

又因为@2+1,如成等差数列，

即ai+a3=2(a2+l),

所以ai+4ai=2(2ai+l),解得ai=2.

所以数列｛五｝是首项为2,公比为2的等比数列.

n

故an=2.

(2)由(1)得

所以T产”+…+产毕

2

由|T「1|<」一,得一工一1|〈」一,即2n>1000.

因为29=512<1000<1024=210,所以n^lO.

所以使|T「11〈焉成立的n的最小值为10.

跟踪集训

3.(2024盐城时杨中学高三月考)在数列｛a.｝中,ag,a*J^bF—二，其中nGN*.

ZJTC十ZJ-TJL

⑴求证:数列｛bJ为等差数歹u；

⑵设Cn=bnb„+icosnm,nGN*,数列｛c„｝的前n项和为T„,若当nGN*且n为偶数时,TnWtr?恒成立,求实数t

的取值范围；

⑶设数列｛aj的前n项和为S„,试求数列｛SZLSJ的最大值.

四审审图形抓特点

在不少数学高考试题中，问题的条件常常以图形的形式给出，或将条件隐含在图形中，因此在审题时,

要擅长视察图形，洞悉图形所隐含的特别关系、数值的特点、改变的趋势.抓住图形的特征，运用数形结

合的数学思想是破解考题的关键.

典型例题

例4已知函数f(x)=Asin(3x+6)(eR,>0,0<<?)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)=f(-白-《+9的单调递增区间.

▲审题指导第⑴问，由已知图象求出函数的周期，利用周期公式求得3的值,然后代入图中特别

点的坐标求A和6的值;第(2)问，利用两角和的三角函数公式和协助角公式将g(x)的解析式化为

y=Asin(3x+6)的形式,再将«x+<i>看作一个整体,利用y=sinx的单调区间，通过解不等式求得结果.

解析⑴由题图知，周期T=2(裳-工)=j

所以co=—=2,

因为点(工，0)在函数图象上，

所以Asin(2x£■+6)=0,

即sin(营+6)=0.

又因为0＜小吟,所以《〈?+巾〈；，

2663

从而亭+@=”，即@4

66

又点(0,1)在函数图象上,所以Asing=l,得A=2.

故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2+彳).

⑵g(x)=2sin[2(一£)+看卜2sin[2(+£)+J

=2sin2x-2sin(2+y^=2sin2x-20sin2+乎cos2)

由2km2x」W2kJI+三,keZ,得km-三WxWkJI+—,kez.

232，'1212，

所以函数g(x)的单调递增区间是［n-A.kn+*,kez.

跟踪集训

4.已知函数f(x)=sin((ox+巾)(3>0)的图象如图所示,贝|f(2)二

五审审图表找规律

题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也示意着解决问题的方向.在审题时，仔细视察分

析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.

典型例题

例5把正整数按肯定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a"i,jeN*)是这个三角形数表中从

上往下数第i行，从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2015,则i+j=.

1

2,4

3,5,7

6,8,10,12

9,11,13,15,17

14,16,18,20,22,24

答案110

解析由三角形数表可以看出，奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数,2015=2X1008-1,

所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数

为31X1+等X2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32X1+^X2=1024,故2015在第32个奇数行

内，所以i=63,因为第31个奇数行的最终一个奇数是961X2-1=1921,所以第63行的第一个数为1923,

所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.

跟踪集训

5.已知数列｛aj,a0=2•g)，把数列｛aj的各项排成三角形态，如图所示，记A(m,n)表示第m行，第n列的

项,则A(10,8)=.

ai

a2a3

a，4a5@6

SL7@88.9aio

6.下表给出一个“三角形数阵”.

1

4

11

24

33_3_

4816

已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列

的数为a"i2j,i,jeN*).

(1)求a83；

⑵试写出此关于i,j的表达式；

⑶记第n行的和为4,求数列｛A„｝的前m项和B„，的表达式.

六审审范围防易错

范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.谛视范围要适时利用

相关量的约束条件,从整体上把握问题.

典型例题

例6已知函数f(x)=lnx+a(l-x).

(1)探讨f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

▲审题指导⑴f(x)=lnx+a(l-x)ff'(x)=^Z|

(2)由(1)中结论一f(x)的最大值

解析⑴f(X)的定义域为(0,+8),f，(x)=l-a.

若aWO,则F(x)〉0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增.

若a>0,则当xd(0,时,f'(x)〉0;当xG什，+8)时,£&)〈0,所以£&)在(0,工)上单调递增,在

(^―,+s)上单调递减.

⑵由⑴知,当aWO时,f(x)在(0,+8)上无最大值；当a>0时,f(x)在x」处取得最大值,最大值为

^=ln—+a^l~—^=-lna+a-l.因此^>2a-2等价于lna+a-l<0.

令g(a)=lna+a-l,a>0,g'(a)=—+l>0,

则g(a)在(0,+8)上单调递增,又g(l)=O,

于是,当0<a<l时,g(a)<0;当a>l时,g(a)>0.

因此,a的取值范围是(0,1).

跟踪集训

7.在三角形ABC中，已知2=|(•|1设NCAB=a,

(1)求角a的值；

⑵若cos(B-a)=竿，其中BG0•，豹，求cosB的值.

七审审方法寻捷径

方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半

功倍.

典型例题

22、日

例7已知椭圆C:—+—=l(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),禺心率为空.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设0为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平

行四边形时,求四边形OPTQ的面积.

▲审题指导

[蕉邑F〈—2,0)|口—|求a,c的值求.'f楠BIC的

*不「L|M="+J的值标准方程

(1)吃率r|」

(2)|四边形OPT]

是平行四边形―•SRPTHSAOPQ_SAO*；IOFIIy「yzI—yi与y?

Sl-gSgPQ^

方程与椭圆的方程

解析⑴由已知可得一=当c=2,所以a=V6.

22

由a2=b2+c2,得b=V2,所以椭圆C的标准方程是寸+二=1.

(2)设T点的坐标为(-3,m),

则直线TF的斜率心=-7=一m.

-S-k-Z)

当mWO时,直线PQ的斜率kPQ=-,

则直线PQ的方程是x=my-2.

当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,

也满意方程x=my-2.

(=-2

设P(x1,y)Q(X2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得22'消去治得

上+亍=1，

(m2+3)y2-4my-2=0,

△=16m2+8(m2+3)>0,yi+yz=4^,yiy=—

”+32z+3

_12

贝!!xi+x2=m(yi+y2)-4=^-^.

因为四边形OPTQ是平行四边形，

所以-\即(xi,yi)=(-3-X2,m-y2).

1+=坐=-3,

所以《f2产解得m=±l.

I1+2=—=叫

所以S四边形OPTQ=2SAOPQ=2x|•|0F|•|y-y2|

跟踪集训

22

8.（2024常州教化学会学业水平检测）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:—+—=1（a>b>0）的右焦点

为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于

点P.已知AM±MN,且（•=^b2.

⑴求椭圆C的离心率e;

⑵若SAANM+SAPOF=-^-a,求椭圆C的标准方程.

答案精解精析

一审审条件挖隐含

跟踪集训

1.答案｛a|a》l或aW-8｝

解析因为f(x)=2*是单调增函数，

所以由f(x+1)Wf[(2x+a)1得x+lW(2x+a)2,

则问题转化为x+lW(2x+a)2对xe[0,3]恒成立，

即4X2+(4a-1)x+a2-l^0对xG[0,3]恒成立，

令h(x)=4X2+(4a-1)x+a2-l,

若兰一<0,则h(0)20,此时a》l;

若兰—>3,贝ljh(3)NO,此时aW-8;

o

若0W?W3,则△=(4a-1)2-16(a2-l)WO,此时无解.

o

综上,a的取值范围是｛a|a21或aW18｝.

二审审结论会转换

跟踪集训

2.解析(1)设g(x)=ax?+bx+c,aWO,于是

g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2C=(X-1)2-2,所以｛-5'

又g⑴=-1,则b=[.所以g(x)=|x2-1x-l.

⑵f(x)=g(+0+mlnx+|=|x2+mlnx(m£R,x>0).

当m>0时，由对数函数性质知f(x)的值域为R;

2

当m=0时,f(x),Vx>0,f(x)>0恒成立；

当m<0时，由fJ(x)=x+—=0=>x=V~-，列表:

X(0,V-m)V~iii(V-m,+8)

f'（X）-0+

f（X）减微小值增

这时，f(x)rain=f(正一)=-y+mlnV~一.

(2//八

cf(x)、min>0=f｛--2+mlnV—>0,=-e〈m〈O.

I<0

所以若Vx>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(~e,0].

故mx>0,f(x)WO成立,实数m的取值范围(-oo,-e]U(0,+8).

⑶证明：因为Vxe[1,m],H,(x)=(T)(一)W0,

所以H(x)在［l,m］内单调递减.

于是IH(xi)-H(x2)|WH(1)-H(m)

|H(xi)-H(X2)|<1=/-=Inm一挤<0,

记h(m)=|m-lnm-^-(l<m^e),

贝Uh，(血――A"。，

所以函数h(m)=1mTnm^：t(l,e]上是单调增函数,

所以h(m)Wh⑹="兴弋(e+i)<0,故命题成立.

2ZeZe

三审审结构定方案

跟踪集训

3.解析⑴证明：•••b*a20_____20_20(4+42)_2+21

+1+12•型T+1-F砺-1)+(4+42)~~2

4+42

9+2120

bn+l-bn=—=1.

+1

J数列｛bn｝是公差为1的等差数列.

20

(2)由题意可知，bi=Q=1,故bn=n.

因为Cn-bnbn+icosn兀，n£N*,

所以Tn=C1+C2+…+Cn=一blbz+b2b3-b3b4+b4b5----+(-1)nbnbn+l.

当n《N*且n为偶数时，设n=2m,m£N*.

则Tn=T2m=一blbz+b2b3—b3b4+b4b5----+(-1)2mb2mb2m+l.

=b2(_bl+bs)+b4(—b3+b5)+…+b2m(—b2m-l+b2m+l)

,,,22

-2(b2+b4++b2n)=4(l+2+***+m)=2m+2m=^n+n.

要使LWtr?对n£N*且n为偶数恒成立，

只要使#+逐记对ndN*且n为偶数恒成立,

即使对n为正偶数恒成立.

故实数t的取值范围是［1,+8).

(3)由(2)知bn=n,又an=-

/.S„=10(l+i+

•••S2n=1°(1+1+…+L+T+.+…+A)-?，

设M„=S2「S,=10(—+―+…+*)-万，

**•Mn+1—

2(2+1)(2+2)2:

当n=l时,产孩-；>0,即MI<M2,

当n》2时,M„+i-M„<0,即M2>M3>M4>—.

(Mn)max=M?=10X

\34/6

因此数列｛Sz「Sj的最大值为管

四审审图形抓特点

跟踪集训

4.答案-f

解析由三角函数的图象可得凯=3-1=2,所以最小正周期丁=|=红，解得«=^.Xf(D=sin(^+@)=1,

解得。--y+2k兀，k£Z,

所以f(x)=sin^^-x-y+2k兀),k£Z,

贝(Jf(2)=sin^-y)=sin^=-y.

五审审图表找规律

跟踪集训

©53

解析由题意知:第一行共1项,其次行共2项,第三行共3项,……,可以揣测第n行共n+1项,因为A(10,8)

zi\53

是第十行第八列,故前九行的项数总和是s=-,9x(l+9)■=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a$3=2X(J,

92

[53

故答案为2义

3

6.解析⑴由题知，｛aJ成等差数歹山因为au=；a21=1,

所以公差d=；,a=；+(8-l)X；=2.又从第三行起,各行成等比数列，公比都相等,a=；,a^,所以,每行的公

48144