辽宁省某校2024年中考一模数学试题（含解析）

辽宁省红旗校2024年中考一模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在扇形CAB中，CA=4,ZCAB=120°,D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C,B重合），则2PD+PB

的最小值为（）

3.下列现象，能说明“线动成面”的是（）

A.天空划过一道流星

B.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹

C.抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线

D.旋转一扇门，门在空中运动的痕迹

4.某班体育委员对本班学生一周锻炼（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周

锻炼时间的中位数是（）

6.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如

图线段04和折线5C。分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间无（单位：小时）之间的函数关系.则下

列说法正确的是（）

A.两车同时到达乙地

B.轿车在行驶过程中进行了提速

C.货车出发3小时后，轿车追上货车

D.两车在前80千米的速度相等

7.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批

电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元.这批电话手表至少有（）

A.103块B.104块C.105块D.106块

8.下列说法中正确的是（）

A.检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.

B.抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.

2

C.“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.

D.“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.

9.下列运算正确的是（）

A.(a-3)2=a2-9B.(—)-1=2C.x+y=xyD.x6-?x2=x3

2

10.下列各数中是无理数的是（）

A.cos60°B-1.3C.半径为1cm的圆周长D.双

11.安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（）

A.3804.2X103B.380.42xl04C.3.8042xl06D.3.8042xl05

12.在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（）

WB畲@

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2)：

1

11(.3—6)'=a-b

121,,

I；aI(a—6)*=a'—lab—If

14641(a—b)‘=3:-3a'b—3ab'-If

......................................(a-为‘ua'T/bTa%：7a/-9

(1)⑵

根据前面各式的规律，则（a+b）6=

14.某种商品两次降价后，每件售价从原来「0元降到$元，平均每次降价的百分率是.

15.已知直线y=2x+3与抛物线了=2/—3x+l交于A（Xp%）,B（x2,为）两点，贝！

16.如图，点P的坐标为（2,2）,点A,B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且NAPB=90。.下列结论：

①PA=PB；

②当OA=OB时四边形OAPB是正方形；

③四边形OAPB的面积和周长都是定值；

④连接OP,AB,贝！JAB>OP.

其中正确的结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）

17.如图，。。的半径为2,AB为。O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作。。的切线，切点为C.若PC=2jL

18.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干图案:

地面砖块.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2

倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？

20.（6分）如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线

于点F,连接BF,CD.

（1）求证：四边形CDBF是平行四边形;

(2)若NFDB=30°,ZABC=45°,BC=4e,求DF的长.

21.（6分）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、

乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？

22.（8分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随

机地摸出一个小球.采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4

的概率.

23.(8分)如图，抛物线丁=以2+法+。(。20)与x轴交于点A和点3(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称

轴/为x=-L,尸为抛物线上第二象限的一个动点.

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

(2)当点P的纵坐标为2时，求点尸的横坐标；

(3)当点P在运动过程中，求四边形面积最大时的值及此时点P的坐标.

r—1Oy—17

24.(10分)先化简，再求值——十(x-其中x=—.

%x6

25.(10分)已知关于x的一元二次方程kx2-6x+l=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数k的取值范围；

(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根.

26.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y2=8交于A、C两点，AB_LOA交x轴于点B,

X

且OA=AB.求双曲线的解析式；求点C的坐标，并直接写出yiVy2时X的取值范围.

3

27.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=与一次函数V=—%+7的图像交于点A,

(1)求点A的坐标；

(2)设x轴上一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)，分另U交y=和y=—%+7的图像于

7

点B、C,连接OC,若BC=yOA,求AOBC的面积.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

如图，作〃NPAPT20。，则AP，=2AB=8,连接PP。BP',则Nl=/2,推出△APDsaABP，，得到BP，=2PD,于是

得至1]2PD+PB=BP,+PB>PP\根据勾股定理得至UPP，=，求得2PD+PB%、，于是得到结论.

【详解】

如图，作〃NPAP，=120。，贝！|AP，=2AB=8,连接PP。BP%

=2,

.,.△APD^AABPS

・・・BP'=2PD,

:.2PD+PB=BPr+PB>PPr,

・・・PP'=，------------------------

A2PD+PB>4-=,

A2PD+PB的最小值为4七,

V'

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

2、B

【解析】

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知只有B选项是中心对称图形，故选择B.

【点睛】

本题考察了中心对称图形的含义.

3、B

【解析】

本题是一道关于点、线、面、体的题目，回忆点、线、面、体的知识；

【详解】

解：...A、天空划过一道流星说明“点动成线”，

二故本选项错误.

•.•B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，

二故本选项正确.

•.•c、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，

二故本选项错误.

；D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，

•••故本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体.

4、B

【解析】

根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决.

【详解】

由统计图可得，

本班学生有：6+9+10+8+7=40（人），

该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11,

故选B.

【点睛】

本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数.

5^C

【解析】

根据轴对称图形的概念求解.

【详解】

A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

6、B

【解析】

①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B的横

坐标;④分别进行运算即可得出结论.

【详解】

由题意和图可得，

轿车先到达乙地，故选项A错误，

轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B正确，

货车的速度是：300+5=60千米/时，轿车在3c段对应的速度是：80+（2.5-1.2）=-^■千米/时，故选项D错误，

设货车对应的函数解析式为y^kx,

54=300,得左=60,

即货车对应的函数解析式为y=60x,

设段轿车对应的函数解析式为

2.5a+b=80[a=110

《，得《，

[4.5a+b=300,=-195

即C。段轿车对应的函数解析式为y=110x-195,

令60x=110xT95,得x=3.9,

即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，

故选:B.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式

7、C

【解析】

试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题.设这批手表有x块，

550x60+（x-60）x500>55000解得，x>104二这批电话手表至少有105块

考点：一元一次不等式的应用

8、C

【解析】

【分析】根据相关的定义（调查方式，概率，可能事件，必然事件）进行分析即可.

【详解】

A.检测一批灯泡的使用寿命不适宜用普查，因为有破坏性；

B.抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是如果抛掷10次，就可能有5次正面朝上，因为这是随机事件；

2

C.“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.因为一年只有365天或366天，所以367人中至少有两个日子相同；

D.“多边形内角和与外角和相等”是可能事件.如四边形内角和和外角和相等.

故正确选项为：C

【点睛】本题考核知识点：对（调查方式，概率，可能事件，必然事件）理解.解题关键：理解相关概念，合理运用举反

例法.

9、B

【解析】

分析：根据完全平方公式、负整数指数幕，合并同类项以及同底数塞的除法的运算法则进行计算即可判断出结果.

详解：A.(a-3)2=a2-6a+9,故该选项错误；

B.(-)-1=2,故该选项正确；

2

C.x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误；

D.x6-x2=x6-2=x4,故该选项错误.

故选B.

点睛：可不是主要考查了完全平方公式、负整数指数易，合并同类项以及同度数塞的除法的运算，熟记它们的运算法

则是解题的关键.

10>C

【解析】

分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.

详解：

A选项中，因为COS60=-,所以A选项中的数是有理数，不能选A；

2

B选项中，因为1.3是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B；

C选项中，因为半径为1cm的圆的周长是2万cm,2%是个无理数，所以可以选C；

D选项中，因为我=2,2是有理数，所以不能选D.

故选.C.

点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.

11、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中心同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移

动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】

V3804.2千=3804200,

.,.3804200=3.8042x106；

故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中公忸|<10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

12、D

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A.不是中心对称图形，本选项错误；

B.不是中心对称图形，本选项错误；

C.不是中心对称图形，本选项错误；

D.是中心对称图形，本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2.

【解析】

通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降塞排列，b的次数按升毒排列，各项系数分别为2、

2、25、20、25、2、2.

【详解】

通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降塞排列，b的次数按升幕排列，各项系数分别为2、

2、25、20、25、2、2.

所以（a+b）2=a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2.

14、3”

【解析】

设降价的百分率为x,则第一次降价后的单价是原来的（1-x）,第二次降价后的单价是原来的（l-x）2,根据题意列

方程解答即可.

【详解】

解：设降价的百分率为x,根据题意列方程得：

100x（1-x）2=81

解得xi=0.1,X2—1.9（不符合题意，舍去）.

所以降价的百分率为0/，即10%.

故答案为：10%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.还要判断所求

的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

9

15、-

5

【解析】

b

将一次函数解析式代入二次函数解析式中，得出关于X的一元二次方程，根据根与系数的关系得出+X2=—

a

5c

=->x=-=1",将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论.

22a

【详解】

22

将y=2x+3代入至y—2x"—3x+1中得，2.x+3=2,x—3x+1»整理得，2x—5x—2—09Xj+x2=—,xtx2——1,

5+2

.1,1Xj+l+Xj+l(而+尤2)+229

.•I——----------------------------------------------——-------------------------——-----

%1+1x2+l(Xj+l)(x2+1)xx-x2+(%；+x2)+l_]+2+]5

一一—2

【点睛】

此题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题关键在于将一次函数解析式代入二次函数解析式

16、①②

【解析】

过P作PM_Ly轴于M,PN_Lx轴于N,得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=L证4APM丝△BPN,

可对①进行判断，推出AM=BN,求出OA+OB=ON+OM=2,当当OA=OB时，OA=OB=1,然后可对②作出判断，由

△APM^ABPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2,然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形

OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断.

【详解】

过P作PMJ_y轴于M,PNJ_x轴于N

VP(1,1),

/.PN=PM=1.

,.，x轴_1_丫轴，

ZMON=ZPNO=ZPMO=90°,

ZMPN=360°-90o-90o-90o=90°,则四边形MONP是正方形，

.\OM=ON=PN=PM=1,

■:ZMPA=ZAPB=90°,

/.ZMPA=ZNPB.

；NMPA=NNPB,PM=PN,ZPMA=ZPNB,

/.△MPA^ANPB,

；.PA=PB,故①正确.

VAMPA^ANPB,

；.AM=BN,

.,.OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2.

当OA=OB时，OA=OB=1,则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确.

VAMPA^ANPB,

/.四边形OAPB的面积=四边形AONP的面积+△PNB的面积=四边形AONP的面积+△PMA的面积=正方形PMON

的面积=2.

VOA+OB=2,PA=PB,且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误.

,VZAOB+ZAPB=180°,

...点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以

AB>OP,故④错误.

故答案为：①②.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出

AM=BN和推出OA+OB=OM+ON

17、2

【解析】

连接OC,根据勾股定理计算OP=4,由直角三角形30度的逆定理可得NOPC=30。，则NCOP=60。，可得△OCB是等

边三角形，从而得结论.

【详解】

连接OC,

；PC是。O的切线,

••.OC±PC,

/.ZOCP=90°,

TPC=2若，OC=2,

22

OP=^/c>C+PC=西+(2透)2=4,

.,.ZOPC=30°,

/.ZCOP=60°,

VOC=OB=2,

/.△OCB是等边三角形，

；.BC=OB=2,

故答案为2

【点睛】

本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

18、18块(4n+2)块.

【解析】

由已知图形可以发现：前三个图形中白色地砖的块数分别为：6,10,14,所以可以发现每一个图形都比它前一个图形

多4个白色地砖，所以可以得到第n个图案有白色地面砖(4n+2)块.

【详解】

解：第1个图有白色块4+2,第2图有4x2+2,第3个图有4x3+2,

所以第4个图应该有4x4+2=18块，

第n个图应该有(4n+2)块.

【点睛】

此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、120

【解析】

设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为(x+5)元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方

程求解.

【详解】

解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为(x+5)元，

由题意得，@四、2=毕上,

xx+5

解得：x=120,

经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意.

答：第一批水果每件进价为120元.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练的掌握分式方程的应用.

20、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

(1)先证明出4CEF^ABED,得出CF=BD即可证明四边形CDBF是平行四边形；

(2)作EM±DB于点M,根据平行四边形的性质求出BE,DF的值，再根据三角函数值求出EM的值，NEDM=30。,

由此可得出结论.

【详解】

解：(1)证明：VCF/7AB,

/.ZECF=ZEBD.

TE是BC中点，

/.CE=BE.

VZCEF=ZBED,

/.△CEF^ABED.

.\CF=BD.

**.四边形CDBF是平行四边形.

(2)解：如图，作EMLDB于点M,

•.•四边形CDBF是平行四边形，BC=4夜，

:.BE=-BC=272,DF=2DE.

2

在RtAEMB中，EM=BE»sinZABC=2,

在RtAEMD中,VZEDM=30°,

，DE=2EM=4,

,\DF=2DE=1.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定与全等三角形

的判定与性质.

21、规定日期是6天.

【解析】

本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1,把相应数值代入即可求解.

【详解】

解：设工作总量为1,规定日期为x天，则若单独做，甲队需x天，乙队需x+3天，根据题意列方程得

(x+3x)x+3

解方程可得x=6,

经检验x=6是分式方程的解.

答：规定日期是6天.

22、(1)见解析;(2)g.

【解析】

(1)画树状图列举出所有情况；

(2)让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率.

【详解】

解：(1)根据题意，可以画出如下的树形图：

从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种.

(2)由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，

...摸出的两个小球号码之和等于4的概率为看

63

【点睛】

本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.

3

23、(1)二次函数的解析式为y=-V-2x+3,顶点坐标为(-1,4)；(2)点P横坐标为-&-1；(3)当x=-万时,

75315

四边形PABC的面积有最大值二，点P(-彳,:).

824

【解析】

试题分析：(1)已知抛物线了=。必+b；+。(awO)与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其

对称轴/为x=-l,由此列出方程组，解方程组求得a、b、c的值，即可得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，

直接写出顶点坐标即可；(2)把y=2代入解析式，解方程求得x的值，即可得点P的横坐标，从而求得点P的坐标;

(3)设点P(x,丫)，则y=-x2-2x+3，根据S四边形3CP4=SkOBC+S^OAP+S\OPC得出四边形PABC与x之间的函

数关系式，利用二次函数的性质求得x的值，即可求得点P的坐标.

试题解析：

(1)•..抛物线丁=4f+6》+。(。。0)与％轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴/为x=

a+b+c=Q

解得：＜b=—2,

、2a

二次函数的解析式为y=-X2-2X+3=-(X+1)2+4,

二顶点坐标为(-1,4)

(2)设点P(X,2),

即y=-X2-2X+3=2,

解得士=0-1(舍去)或％=-V2T，

；•点P(-行-1,2).

(3)设点P(x,y),则y=-%2_2x+3,

..2四边形BC“-22222k2j8

...当x=-巳3时，四边形PABC的面积有最大值7上5.

28

315

所以点P.

24

点睛：本题是二次函数综合题，主要考查学生对二次函数解决动点问题综合运用能力，动点问题为中考常考题型，注

意培养数形结合思想，培养综合分析归纳能力，解决这类问题要会建立二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题.

24、6

【解析】

【分析】括号内先通分进行分式加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除运算，化简后代入X的值进行计算即可得.

—1x2—2x+1

【详解】原式二x口十二X

XX

x-1X

rgy

_1

-9

x-1

、7

当x=一,原式=7=6.

66-1

【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据所给的式子确定运算顺序、熟练应用相关的运算法则是解题的关键.

25、(1)左V9且左(2)%[=-,x,=-

24

【解析】

【分析】(1)根据一元二次方程的定义可知原0,再根据方程有两个不相等的实数根，可知△>(),从而可得关于k的

不等式组，解不等式组即可得；

(2)由(1)可写出满足条件的k的最大整数值，代入方程后求解即可得.

k力0

【详解】(1)依题意，得，/,、2,，、八，

A=(―6)—44〉0

解得k<9且kwO；

(2)•••k是小于9的最大整数，

•*.k=8,

此时的方程为8X2-6X+1=0»

»11

解得X]=e，x2=-.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义、解一元二次方程等，熟练一元二次方程根的判

别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.

4

26、(1)%=—；(1)C(-1,-4),x的取值范围是xV-1或0<x<l.

x

【解析】

【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=lx-