辽宁省某中学2023-2024学年高二年级下册7月期末考试数学试题

2023—2024学年度高二年级下学期期末考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知函数/（X）=%2+6,则£个"1+^^/⑴二（）

3355

A.-B.-C.-D.一

2424

2.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年

时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）

A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48

3.己知S“为等差数列｛%｝的前"项和，%+2%+囚8=20,则岳7=（）

85

A.——B.85C.170D.340

2

4.已知命题p：Vxefo,-|L2x<sinx<x,则命题p的真假以及否定分别为（）

2

A.真，-p:3%€,—x>smx>x

H：71

B.真，3x€,—x>sinx^sinx>A:

71

2

C.假，3xe,—x>smx>x

得71

2...

D.假,-p:3x€,—x>sinxsmx>x

71

5.已知随机变量八〃，〃〜N（〃,CT2）,且双劣=。（〃），若P（〃W2a+l）+

P（7<2-a）=l,则实数。=（）

A.0B.-1C.1D.2

6.集合卜力卜，+1<》+6｝的子集个数为（）（其中e为自然对数的底数）

A.2B.4C.8D.16

7.设数列｛%｝满足％=1,a“=ln（4+i—l）+m,“eN*,若对一切“eN*,an<2,则实数机的取值

范围是（）

A.m>2B.1<m<2C.m>3D.2<m<3

8.已知定义在R上的单调递增的函数满足：任意xeR,有“1—x）+/（l+x）=2,

/（2+x）+/（2-x）=4,则下列结论簿误的是（）

A.当xeZ时，/（%）=x

B.任意xeR,/（-%）=-/（%）

C.存在非零实数T,使得任意XGR,/（X+T）=/（%）

D.存在非零实数k,使得任意尤eR,-时

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.等比数列｛4｝的公比为g,则下列说法正确的是（）

A.｛ln|aj｝为等差数列B.若出＞4且%＞/，则｛4｝递增

C.｛%+2a“+J为等比数列D.＜二：/+2,为等比数列

10.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另

一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当

两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5,乙投进的概

率为0.6,每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记£«=0,1,2,3,4）为“甲累计总分

为i时，甲最终获胜”的概率，则（）

A.一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5B.P（0）=0,P（4）=l

C.4=0.2%]+0.3%+0.5ED.｛%一片｝（i=0,1,2,3）为等差数列

11.已知函数/（x）=x（e'—aeR,则下列说法正确的是（）

A.若a=0,则

B.ReR,使得“X）在上单调递增

C.若x=l为/（x）的极值点，则a=e

D.VaeR,坐标平面上存在点P,使得有三条过点尸的直线与/（力的图象相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品，贝U£（X）=.

13.已知实数x,y满足必+盯—1=0,则必+丁的最小值为_____.

「3n

14.设高斯函数国表示不超过x的最大整数（如[2』=2,[3]=3,[-1.7]=-2）,已知a“=-xlOn,

4=q,bn=a“—10%_1wN*,"N2），则％=______；Z?2024=______.

四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为p（O<p<l）,每局比赛没有平局.

2

（1）若赛制为3局2胜，°=—,求最终甲获胜的概率；

3

（2）若赛制为5局3胜，记/（夕）为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求/（夕）的最大值

及此时0的值.

16.（15分）已知数列｛4｝满足a.=—仁，«1=-,数列｛叫的前〃项和为5“，且2s“=3.—3.

“八十12

（1）求数列｛《,｝,也｝的通项公式；

（2）求数列]」一]的前〃项和为7；.

18.（15分）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾

驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分.

（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到

如下数据，请将2X2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有

关.

好评差评合计

青年20

中老年10

合计40100

（2）设消费者的年龄为无，对无人驾驶出租车的体验评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关

于x的线性回归方程为3=L5x+15,且年龄x的方差为f=9,评分y的方差为sj=25.求y与尤的

相关系数r,并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当川》0.75时，认为相

关性强，否则认为相关性弱）.

可（％-9）£（「可（男-9）

附：$=上一------------，r=।.

小-可也（—）£（—）2

'TVi=li=l

独立性检验中的K?=-----——~~-----其中〃=a+》+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K』。)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

18.(17分)已知函数〃x)=(lnx)2+"lnx+l),a>Q

(1)求证：x>0时，ex>x2；

(2)讨论〃龙)的单调性；

(3)求证：Va>0,/(x)恰有一个零点.

19.(17分)已知函数/(%),定义：对给定的常数.，数列｛a“｝满足q>a,尸(％)JO

an~a

则称数列｛4｝为函数的“上⑷一数列”.(/'(X)为“X)的导函数)

⑴若函数/(九)=-数列｛%｝为函数/(%)的1)一数列"，且4=1,求｛%｝的通项公式；

(2)若函数g(x)=lnx,数列｛%｝为函数g(x)的“⑴一数列"，求证：l<an+l<an；

(3)若函数，(力=/+6sinx,正项数列也｝为函数人⑺的“"》)一数列”,已知2+小伍也),

〃eN*.记数列也｝的前n项和为5„.

求证：当时，Sn+bn>(«-1)/?+2/?].

2023-2024学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷

参考答案

1234567891011

DABBCCACABDBCABD

12.113.20-214.4285；2

四、解答题：

15.【解】(1)设前两局比赛甲赢为事件A,

2i98

设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B,：.P（B）=C------=—

v7233327

2f）

甲胜的概率为P（A）+P（3）=药

（2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢〃p）=C：p2（l—p”=3p3_3p4

3

•••f'(p)=9p2-12p3=3p2(3-4p),,(p)=0np=z

当/'（p）＞0，・••/（夕）在（0,：3上为增函数

4

当pr（p）＜。，•••”〃）在上为减函数

3813

,止匕时p=

256

1111

16.【解】(1)•..%,+]=_L+1,_L是以上=2为首项，以i为公差的等差数列

a

4+14+1n七JtZj

111

——二-------1-(〃—l)d=2+〃—1=〃+1,%=

a”«in+1

•••2Sn=3用—3,2S,H=3"—3(〃>2)

3n+l-3"

•••b,=S「S,i=3",(“22)

2

32-3

n

当〃=1,4=S]==3,符合上式.：.bn=3,neN*

2

（2）由（1）得」n+1

3"

1+12+13+1(zz-l)+ln+1

=+——+——+•••++-----

332333'T3"

11+12+1(zz-1)+1n+1

=

•-T---I—I---1-3"+i

332333"

22111n+1n+1

作差：升二+~l—r-l--1---

32333"3"+i3〃+i

17.【解】（1）根据题意可得2x2列联表如下:

好评差评合计

青年203050

中老年401050

合计6040100

因为K?=100（20x10-30x40）2

«16.667>10.828,

50x50x60x40

所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关.

1100100

（2）因为寸=赤£（%-无）2=9,所以Z（七一元）2=900,

1UUZ=1Z=1

1100100

因为=而£（%一9）2=25，所以'（X-=2500,

1UU/=1/=1

100

za一元）（％一歹）wowo

因为g=亘而------------=1.5,所以£①一可（y—y）=1.5XZ（X,.—可2=1.5X900=1350,

方（七-寸日日

Z=1

100

龙）（％一歹）13501350

所以相关系数7.—____/1____________________________—__________________—__________—09

照—_、2,900x250030x50

\-L（x-y）

VZ=1Z=1

因为0.9>0.75,所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强.

18.【解】⑴设g（x）=fer,x>0,贝!Jg，（x）=x（2-x）eT,x>0

易知g（x）在（0,2］上递增，在［2,+8）上递减，

4

所以g（x）Kg（2）=3<l,即fe-%〈inejf.

e

（2）/（x）定义域为（0,+8）,/'（%）=—lnx+a^x__；）1n\x>0,”>0

①a=2时,可知恒有广（力20,此时外力在（0,+oo）上递增;

②0<〃<2时，可知九金［。,1（L+00）时，/^（x）>0；%€时，/（同<0,

所以此时〃％)在og和(1,+8)上递增，在上递减;

③a>2时，同理可得/(%)在(0,1)和院,+，|上递增，在[1,上递减.

(3)由(2)：

22

①a=2时，〃力在(0,+。。)上递增，因为/⑴=2>0,/(e-)=4-2e<0,所以此时恰有一

个零点；

(-1-1)(1Y1+1

②0<a<2时，因为/(%)的极小值为/(l)=a>0,又由(1)知/e。=1+--e"<0,结

1J\

合/(%)的单调性，可知此时/(%)也恰有一个零点；

+2[呜+1[=[呜+1]

③a>2时，/(%)的极小值为了+1>0,

又/(e-2)=4—2e2<0,结合的单调性，同样也恰有一个零点.

综上，Va>0,/(%)恰有一个零点.

【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分.

/_1

2

19.【解】(1)f(x)=x=>f\x)=2x,由题意，有2a一=an-l,

an+1

则可+i+l=；(a.+l),又q+l=2,所以｛4+I｝是以2为首项、以;为公比的等比数列,

所以4+1=£工，从而4=£工—1-

(2)由题可得,=曲然，

a“+i«„-1

①设0(x)=lnx-x+l,