平面几何解决解析几何问题-2024届高三数学二轮复习讲义

微专题平面几何解决解析几何问题

一.前后

在高中数学，平几知识的渗透无处不在，特别是在立体几何和解

析几何，平几知识以这两个题型为载体进行渗透，同样更为隐蔽，更为

灵活地进行了考查.

不难发现，近几年解析几何试题的解题广度，难度发生很大的变

化，除了解析几何具备的转化和计算难度外，还有一个最根本的原因

就是平面几何的渗透和参与.平几知识急欲寻找搭载考查的平台，在

解析几何题目中涉及平面几何知识甚多，可见命题人用心良苦.

二.举例

例1.已知双曲线C：1->2=1,。为坐标原点，口为。的右焦点，过歹的直

线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若MJMN为直角三角形，则

\MN\=

解析：如图⑴所示，由于渐近线ON方程为y=Rx,NOMN=90,所以

NNOF=NMOF=/MNO=30,因此|而|=c,〔MFI=(,故而=|c=3.

简析：结合图形运用平几知识求解，充分挖掘题目隐含的角度关系和

线段长度关系.解题过程十分简洁流畅，充分体现了平几的重要作用.

例2.已知F],居，是椭圆C：《+?=l(a>/?>0)的左右焦点，A是C的左

ab

顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，APF^为等腰三角

6

形,ZF^P=120,则C的离心率为

图⑵

解析:如图⑵所示，由已知可得N”x=60，冏|=2c,所以P（2c,gc）.

因此即A=百幺=且，解得e=L.

2c+a62

简析：结合图形运用平几知识求解，抓住AP耳心为等腰三角

形，ZF1F2P=120这个条件，得至Ijp（2c,gc）,结合斜率公式求解.

例3.已知小B是双曲线=1（。>6>。）的左右焦点，。是坐标

原点.过工作C的一条渐近线的垂线，垂足为P-若|尸制="|。尸|,则C

的离心率为

图⑶

解析:如图⑶所示，由已知有归闾=仇।&a=c,po|=

a

耳（-c,0）.由|「耳|=盾得--\-c

化简得/=3a2,e—g.

简析：由平几知识易知双曲线的焦点到渐近线的距离为。，且垂足P落

2（2i\

在准线X=幺上.因此容易得到点P幺，弛，结合距离公式求解.与本

CC

题十分类似的有以下两道高考试题：

22

题1:已知曲线C:J-三=1（a>03>0）的离心率为2,过右焦点且垂直

于x的直线与双曲线交于两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的

距离分另4为4和且4+a=6,则双曲线的方程为

解析：如图(4)所示，作抨垂直于渐近线y=3,则\FP\^b且

a

匕=出三=3.结合£=2得双曲线的方程为反-反=1.

2a39

22

题2:在平面直角坐标系xOy中，若双曲线二-二=1(a>03>0)的右焦

crb

点F(c,0)到一条渐近线的距离为日c,则离心率的值是

解析：由已知有b=c,则e=2

例4.已知点加(-1,1)和抛物线C:V=4%,过C的焦点且斜率为左的直线

与C交于两点.若ZAMB=90，则左=

图⑸

解析：如图⑸所示，由已知有直线M4,MB是抛物线的切线，AB为切

点弦.由于点M(-U),抛物线C:=4x,故直线AB方程为y-l=4-^,

即y—2x-2,所以左=2.

简析：由平几知识结合抛物线的性质可知若直线AB过焦点，点M在准

线上且ZAMB=90,则直线MA,MB是抛物线的切线.

例5.在平面直角坐标系xOy中，A为直线/:y-2x上再等一■象限内的

点，8(5,0),以A3为直径的圆C与直线/交于另一点D.若48。=0,则

解析：如图⑹所示，由已知可得/胡。=工.设直线/的倾斜角为6,则

4

tan6=2且NABx=?+9,故心B==-3,因而直线A3方程为

y=-3x+15,与直线/:y=2x联立得点A的横坐标为3.

简析：结合图形运用平几知识可知AABD为等腰直角三角形.观察图形

发现直线AB的倾斜角与直线/的倾斜角满足关系式ZABx=工+，，从而

4

巧妙求出直线A3方程.本题充分运用平几知识，解题思路十分简洁，

大道至简.

例6.已知椭圆+A=l（。＞6＞。），双曲线N:£-工=1.若双曲线

a2b1nrn2

N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个

正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为

图⑺

解析：如图⑺所示，由已知可得？=tan60=73,故双曲线N的离心率

a

为2.连接BF,易知NFBC=90.由6c+c=2a得椭圆M的离心率为

73-1.

简析：充分借助正六边形的几何性质，结合双曲线和椭圆的性质求解，

大大提高解题速度，减少运算量.

例7.已知双曲线。：£-占=1的右顶点为A,以A为圆心，Z?为半径作圆

CT6

A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于两点.若NMAN=60。，则C

的离心率为.

解析:如图（8）所示，AP±MN,因为圆A与双曲线C的一条渐近线

交于两点，则为双曲线的渐近线y=上的点，且A（a,O）,

a

\AM\=\AN\^b,^AP±MN,所以NPAN=30，点A(a,O)到直线的

a

距离IAP|=J。.在RtAPAN中，cosNPAN=^8,代入计算得"=3)2,

Ib2Ml

即a=/b,由/=a?+b?得c=2Z?,所以e=£=?=3叵

ay/3b3.

简析:在图形的基础上，结合平几知识，不断进行转化，得到所要的结

论，充分挖掘图形中隐含的信息是解题的关键.

例8.已知尸是抛物线C:/=8%的焦点，M是C上一点，F7W的延长线

交y轴于点N.若M为FN的中袅,则|可|=

解析:如图（9）所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x

轴交于点尸，作MBL1与点、B,神，/与点4,由抛物线的解析式可得

准线方程为％=-2,则⑷V=2,尸尸=4,在直角梯形4VFP中，中位线

BM=AN+FF=3,由抛物线的定义有MF=MB=3,结合题意有

2

MN=MF=3,故|叩=即|+3|=3+3=6.

简析:借助中位线的性质，充分运用平几知识，结合抛物线性质求解.

三.教学启示

学好平面几何对学生的逻辑推理能力，图形图像的分析能力等有

重大帮助，而这种能力是学好后续课程的必要条件.高中数学关于几

何的内容主要是