2025届高考数学二轮总复习第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题一函数与导数第二讲基本初等函数函数与方程课时跟踪检测四基本初等函数函数与方程理含解析

PAGE第一部分高考层级专题突破层级二7个实力专题师生共研专题一函数与导数其次讲基本初等函数、函数与方程课时跟踪检测(四)基本初等函数、函数与方程一、选择题1．(2024·河北监测)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，则()A．a<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a解析：选C因为c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，a＝log32＝eq\f(ln2,ln3)<ln2＝b，a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，所以c<a<b，故选C．2．(2024·四川双流中学必得分训练)函数f(x)＝2x＋2x的零点所处的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选Bf(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在区间(－1,0)上，故选B．3．(2024·云南大理州统测)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－xx＋2，x≤0))的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D当x>0时，令f(x)＝0，可得x＝1；当x≤0时，令f(x)＝0，可得x＝－2或x＝0.因此函数的零点个数为3.故选D．4．(2024·安徽省其次次联考)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－a的图象经过一、二、四象限，则f(a)的取值范围为()A．(0,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C．(－1,1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析：选B依题意可得f(0)＝1－a，则0<1－a<1，解得0<a<1，所以f(a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－a.设函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x，x∈(0,1)，则g(x)在(0,1)上为减函数，故f(a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).故选B．5．若a＝2x，b＝logeq\f(1,2)x，则“a>b”是“x>1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B如图，x＝x0时，a＝b，∴若a>b，则得到x>x0，且x0<1，∴a>b不肯定得到x>1，充分性不成立；若x>1，则由图象得到a>b，必要性成立，∴“a>b”是“x>1”的必要不充分条件．故选B．6．(2024·广东省广州市高三测试)已知函数f(x)＝loga(x2＋x－1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则a的值为()A．2 B．eq\r(5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\r(5)或eq\f(\r(5),5)解析：选D因为y＝x2＋x－1在[1,2]上单调递增，所以函数f(x)＝loga(x2＋x－1)在区间[1,2]上的最大值与最小值是f(1)或f(2)．因为函数f(x)＝loga(x2＋x－1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，所以|f(1)－f(2)|＝2，即|loga5|＝2，解得a＝eq\r(5)或eq\f(\r(5),5)，故选D．7．(2024·辽宁五校联考)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是()解析：选D由选项中的图象得f(0)＝0，所以logaeq\r(b)＝0，所以b＝1，所以f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋1))．因为u(x)＝x＋eq\r(x2＋1)>0，且u(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋1))在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a>1.因为g(x)＝loga||x|－1|，所以g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga|x－1|，x∈[0，1∪1，＋∞，,loga|x＋1|，x∈－∞，－1∪－1，0.))因为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝logaeq\f(1,2)<0，所以解除A、C；g(5)＝loga|5－1|＝loga4>0，解除B，选D．8．(2024·孝感模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数mA．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))解析：选C依题意并结合函数f(x)的图象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f－1·f0<0，,f1·f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，,[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·ex，x≤0，,－lnx，x>0，))其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f[f(x)]＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B由f[f(x)]＝0得f(x)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a<0,0<a<1时，直线y＝1与函数f(x)的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B．10．(2024·广西三市联考)已知函数f(x)＝e|x|，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤4，,4e5－x，x>4，))对随意的x∈[1，m](m>1)，都有f(x－2)≤g(x)，则m的取值范围是()A．(1,2＋ln2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)＋ln2))C．(ln2,2) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2)＋ln2))解析：选D作出函数y1＝f(x－2)＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，y1＝g(1)；当1<x≤4时，y1＝e|x－2|<g(x)＝ex；当x>4时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln4，解得x≤eq\f(7,2)＋ln2.因为m>1，所以1<m≤eq\f(7,2)＋ln2.故选D．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2017x，x>1，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是()A．(1,2017) B．(1,2018)C．[2,2018] D．(2,2018)解析：选D作出函数f(x)的图象与直线y＝m，如图所示，不妨设a<b<c，当0≤x≤1时，函数f(x)的图象与直线y＝m的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x＝eq\f(1,2)对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2017x＝1，解得x＝2017.若满意f(a)＝f(b)＝f(c)，且a，b，c互不相等，由a<b<c可得1<c<2017，因此可得2<a＋b＋c<2018，即a＋b＋c∈(2,2018)．故选D．12．(2024·福州四校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x≥1，,1－\f(x,2)，x<1，))若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是()A．[4－2ln2，＋∞) B．(eq\r(e)，＋∞)C．(－∞，4－2ln2] D．(－∞，eq\r(e))解析：选D因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x≥1，,1－\f(x,2)，x<1，))所以F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnlnx＋1＋m，x≥1，,ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,2)))＋m，x<1，))由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1≥1，,x2<1))得m<lneq\f(2,3)，设t＝e－m，则t>eq\f(3,2)，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t>eq\f(3,2)，所以g′(t)＝2et－1(1－t)<0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数，所以g(t)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\r(e)，故选D．二、填空题13．(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x－1，x>1，,x3－3x＋1，x≤1，))则函数f(x)的零点个数为________．解析：当x>1时，令f(x)＝0，则log2(x－1)＝0，得x－1＝1，即x＝2，满意题意；当x≤1时，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，则x＝±1.当x<－1时，f′(x)>0.f(x)是增函数，当－1<x<1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以当x＝－1时，f(x)有极大值，为3.又f(－2)＝－1，f(1)＝－1，所以函数f(x)在(－2，－1)，(－1,1)上各有1个零点．综上，函数f(x)有3个零点．答案：314．(2024·绵阳诊断)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4.故当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6.答案：615．(易错题)若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．解析：当0<a<1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，故f(x)max＝f(0)＝a0－1＝0，这与已知条件函数f(x)的值域是[0,2]相冲突；当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，又函数f(x)的定义域和值域都是[0,2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\