第五章 模态参数识别的时域方法

第五章模态参数识别的时域方法

§5.1引

言

时域识别的几种典型方法：

ITD法（S.R.Ibrahim，1973-1986）LSCE法（Prony法，最小二乘复指数法）（BrownD.,

AllemangR.etal，1979）

ARMA时序法（PanditS.M.,WuS.M.，1983）

PRCE法（多参考点复指数法）（HarvardVold，1982）

ERA法（特征系统实现法）（NASA所属Langley研究中心，1984）

DPMI法（直接参数模型识别法）（J.M.Leuridanetal，1986）

SISOMIMO将LSCE、PRCE及ITD法统一起来两点补充说明：

对这些方法的讨论只限于粘性阻尼系统

随机减量技术（H.A.Cole，1973）——从随机响应信号得到自由响应信号的方法，可与ITD法和LSCE法联用——SIMO1§5.2随机减量技术

有些情况下，很难直接得到自由响应，如海浪及风激励下的海上钻井平台和钻井船，航行中的轮船，随机风载作用下的高层建筑等，容易得到的是随机响应信号。随机减量技术提供了从这些随机信号中提取出某种自由响应信号的方法。

一、单自由度系统的随机减量技术

设已获得单自由度系统平稳随机位移响应的时间历程x(t)，其均值为零；取一固定值A，作直线x＝A与x(t)交于s个点tk，x(tk)＝A，k＝1,2,…,s，并设s为偶数；从每个tk点开始，截取长度为T的样本x(t－tk)，样本长度T应足够长；对这些样本取平均即得在初始条件x(0)＝A下的自由响应信号——特征信号。如图5.2-1所示。2(a)随机位移响应信号

(b)将各样本函数移至同一原点坐标系

(c)平均后获得的自由响应特征信号

图5.2-1单自由度系统的随机减量原理3二、多自由度系统的随机减量技术

任选一测点（如1点）为基准点，对该点随机响应可获得某一初始条件下的自由响应；对这些样本取平均，即得与基准点同样初始条件下的各点自由响应信号。

图5.2-2多自由度系统的随机减量技术

对其他测点的随机响应信号xe

(t)，e＝2,3,…,n，按照基准点1信号的取样本位置截取相同长度的样本xe

(t－tk)，k＝1,2,…,s；4§5.3ITD方法

ITD法的基本思想：

各测点的自由响应

建立系统特征方程

特征对及模态参数自由响应采样数据增广矩阵

三次采样

一、数学模型

粘性阻尼系统自由响应：

(1.5-47)

简写为

，{pi}＝{

i}yi

(0)(5.3-1)

(5.3-5)

数学模型：

5式中

前n列包含各阶振型

前n个元素包含各阶特征值

(5.3-6)

(5.3-7)

二、系统特征方程

（1）正常采样

数学模型：

(5.3-5)

k＝1,2,…,2n (5.3-9)

(5.3-10)

式中

(5.3-11)

(5.3-12)

6

为

t的整数倍∈C2n×2n[Q]＝[P][

]∈Cn×2nk＝1,2,…,2n (5.3-15)

（2）延时

采样

(5.3-14)

(5.3-18)

式中

(5.3-19)

（3）延时2

采样

由式(5.3-5)，按照上面的处理方法可得对应采样点理论值：

(5.3-21)

7式中

∈Rn×2n

(5.3-22)

∈Cn×2n (5.3-23)

（4）构造增广矩阵

正常采样和延时

采样：

(5.3-10,18)

合并

∈R2n×2n(5.3-25)

(5.3-26)

式中

∈C2n×2n (5.3-27)

8延时

采样和延时2

采样：

(5.3-18)

合并∈R2n×2n(5.3-29)

(5.3-30)

式中

∈C2n×2n (5.3-31)

(5.3-32)

（5）构造系统特征方程

(5.3-26)

消去[E]

9(5.3-33)

矩阵[A]的标准的特征值问题

∈C2n×2n

[A]＝[Dyz][Dxy]

－1∈R2n×2n特征矩阵

(5.3-35)

三、求解特征值问题

1．自由响应的数据矩阵

（1）正常采样

∈RM×2n(5.3-8)

设获得M个测点的自由响应时间历程，e＝1,2,…,M。按三种形式对其进行采样，采样点号k＝1,2,…,s，设s＝2n。10（2）延时

采样

∈RM×2n(5.3-13)

（3）延时2

采样

∈RM×2n(5.3-20)

2．构造自由响应的增广数据矩阵

∈R2M×2n(5.3-24,28)113．系统特征方程

(5.3-35)

取一列i＝1,2,…,2n

(5.3-38)

设测点数M与系统自由度数n相等，即M＝n

(5.3-37)

特征值

i和特征向量{

xyi}

四、估算模态参数

1．复模态矢量{pi}

i＝1,2,…,2n (5.3-39)

122．复模态频率

mi和复模态阻尼比

mi

i＝1,2,…,2n (5.3-40)

为避免求复模态频率的多值性问题，采用无量纲算法。

设采样圆频率

s＝2

max，以

s为特征频率对

i无量纲化:

两端给以次方

i＝1,2,…,n (5.3-47)

(5.3-49)

13无量纲阻尼固有频率：

(5.3-50)

无量纲阻尼：

(5.3-51)

复模态阻尼固有频率：

(5.3-52)

复模态阻尼：

(5.3-53)

复模态频率和阻尼比：

(5.3-54)

五、虚拟测点技术（简介）

前面曾假定测点数M等于系统自由度数n，即M＝n，但在一般测试中，测点数往往达不到自由度数，即M<n。可通过延时采样，补充虚拟测点。

可证在的主值范围内，

mdi是唯一的。14以相同时间间隔

t对实测信号进行延时

采样，得，

为

t的整数倍，且

。以这些采样数据作为虚拟测点的响应信号，得到虚拟测点的响应数据矩阵：

(5.3-57)

若n<2M，取中的n－M行并到式(5.3-8)中，使为n×2n阶矩阵。对作同样的延时

和2

采样，将得到的数据矩阵中的相应行并入中，使亦为n×2n矩阵。于是，增广矩阵满秩，均为2n×2n阶。

若n>2M，增加M个虚拟测点仍不能使新的、为n×2n阶矩阵，继续采用延时

采样增加虚拟测点，

为

t整数倍且

，

，直到补充足够的虚拟测点，使、为n×2n阶矩阵,从而

为2n×2n阶满秩矩阵。

15六、增加采样点数以提高识别精度

前面分析中，均假设采样点数s等于系统自由度数n的两倍，即s＝2n。可采用增加采样点数的方法增加测量数据，再用最小二乘法求出特征矩阵，以此为基础求出的特征值和特征矢量将提高识别精度。

增加采样点数使s>2n，则增广矩阵为2n×s阶矩阵。此时

[A]＝[Dyz][Dxy]

－1

不再成立(5.3-34)

(5.3-62)

(5.3-58)

但有关系

16七、考虑噪声模态的ITD法

此前，一直假设系统自由度数或系统模态数为n，识别模态数亦为n。事实上，噪声模态会混合在系统模态中，如果识别模态数仍取n，将会丢失真实模态。解决的方法是，提高识别模态数到N，N>n，并增加虚拟测点数，使s>2N，使用最小二乘法提高识别精度。问题？

如何识别噪声模态？两种判别法：

1．模态置信因子判别法

{pi}和{qi}应有下述关系：

定义第i阶模态第e个测点的(5.3-65)

e＝1,2,…,N (5.3-66)

17模态置信因子：

e＝1,2,…,N (5.3-67)

对系统模态，(MCF)e≈1，对噪声模态，(MCF)e<<1或>>1。

(MCF)e≈1的个数为N0

定义总体模态置信因子：

(5.3-68)

对系统真实模态，OAMCF≈1，对噪声模态，OAMCF<<1。

2．模态形状相关系数判别法

(5.3-65)

消去

18定义

模态形状相关系数：

(5.3-69)

对系统模态，MSCC≈1，对噪声模态，MSCC<<1。§5.4最小二乘复指数法(LSCE)

LSCE法的基本思想：

留数表示的脉冲响应

AR系数

脉冲响应的AR模型

Prony多项式的根模态参数

19一、数学模型

脉冲响应函数：

(1.6-38)

简写为

(5.4-2)

二、自回归（AR）模型

hef

(tk)＝hefk＝hk，Refi=Ri，

为Z变换因子

k＝0,1,2,…,2ne＝1,2,…,M(=2n)i＝1,2,…,2n

(5.4-6)

Z变换因子形式的脉冲响应模型：

Ri，zi∈C为待识别参数20构造

Prony多项式：

(5.4-7)

a2n＝1，独立的系数ap∈R共有2n个，在第l＋k点的值

(5.4-10)

乘以ap，并对k从0到2n求和(5.4-11)

这样，将求zi的问题转化为求ai。21脉冲响应序列的自回归模型：

自回归系数即Prony多项式的系数

(5.4-12)

(5.4-13)

式中

∈R2n

(5.4-14)

∈R2n

(5.4-15)

自回归系数列阵：

三、估算模态参数

1．求自回归系数

令起始采样点号