河南省郑州市重点高中2025届高三数学（文）上学期期中试题（含解析）

河南省郑州市重点中学2025届高三数学上学期期中试题文（含

解析）

一、选择题（本大题共12小题）

1.函数f（X）=的定义域是（）

A.B.C.D.

2.下列各式的运算结果为实数的是（）

A.B.C.D.

3.设集合/=3丫2>4},/n庐{X|X<-2},则集合8可以为（）

A.B.C.D.

4.函数F（x）=（sinx+cosx）之的最小正周期为（）

A.B.C.D.

5.在平行四边形/皿中，4（1,2）,8（-2,0）,=（2,-3）,则点〃的坐标为（）

A.B.C.D.

6.若函数f(x)=l+k|+/,则=()

A.2B.4C.6D.8

7.在欣•△/阿中，Z^90°,4^4,则二()

A.B.16C.D.9

8.已知函数/'（x）=sinx和g（x）=的定义域都是[-口，Ji],则它们的图象围成的

区域面积是（）

A.B.C.D.

9.函数=sinxTnx的图象大致是()

.二ml

C-----c|-----D-/*/

1

10.若存在等比数列{2},使得国（&+々）=6a「9,则公比。的最大值为（）

A.B.C.D.

11.已知函数『（x）=2cos2（2x+）+sin（4x+）,则下列推断错误的是（）

A.为偶函数B.的图象关于直线对称

C.的值域为D.的图象关于点对称

1

12.已知函数的导函数满意「、一一，“|对」：恒成立，则下列不

e

等式中肯定成立的是（）

A.B.C.D.cf（1）</（rI

二、填空题（本大题共4小题）

13.已知全集法兄集合，贝比产.

14.若函数/'（x）=arcsin（xT）-cos（）的图象与x轴交于点4过点/的直线，与

函数的图象交于另外两点一、Q,。是坐标原点，则（+）•=

15.若集合/=｛削/一(a+2)x+2-a<0,xG为中有且只有一个元素，则正实数a的取值

范围是__

16.正方形相切的边长为2,对角线AC,即相交于点0,动点P满意,若，其中m、nGR,

则的最大值是

三、解答题(本大题共6小题)

17.函数/(x)=/cos(3矛+。)(/>0,«>0,)

部分图象如图所示.

(1)求/1(x)的最小正周期及解析式；

(2)设g(x)-f(jr)+sin2x,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.

18.等差数列｛&｝的前〃项和为£,数列｛4｝是等比数列,满意a产3,4=1,友+£=10,

as-2br^a.z.

(I)求数列｛aj和优｝的通项公式；

(II)令设数列｛c„｝的前n项和Tn,求Tin.

19.已知函数，；

若函数在上存在零点，求a的取值范围；

设函数，，当时，若对随意的，总存在，使得，求6的取值范围.

2

20.在△/8C中，3sinJ=2sin氏tan(5=2.

(1)证明：△/肉为等腰三角形.

(2)若△/比1的面积为2,〃为/C边上一点，且阱3",求线段。的长.

21.已知函数f(x)=(x-a-l)e+ax.

(1)探讨/■(x)的单调性；

(2)若m2],/1(x。)<0,求a的取值范围.

22.若数列｛a0｝、亿｝满意|a"「a/=4,贝I称依｝为数列｛aj的“偏差数列”.

(1)若｛4｝为常数列，且为｛aj的“偏差数列”，试推断｛&｝是否肯定为等差数列，

并说明理由；

(2)若无穷数列｛2｝是各项均为正整数的等比数列，且a3-a?=6,｛4｝为数列｛aj

的“偏差数列”，求的值；

(3)设,仿“｝为数列｛4｝的“偏差数列”，团=1,azWazz且侬Wag若

对随意心恒成立，求实数〃的最小值.

答案和解析

L【答案】A

【解析】解：由/1(*)=,令矛-4》0,解得x04,

所以函数F(x)的定义域为｛x|x24｝.

故选：A.

函数f(x)有意义即保证二次根式的被开方为非负.

本题考查了二次根式的被开方非负，以及函数定义域的求法问题，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：(1+/)=1-7；i(1-7)=1+7；(1+7)-(1-7)=27;(1+7)(1-7)

=1-/=1+1=2,

故选：D.

干脆利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解实力，是基础题.

3.【答案】C

【解析】【分析】

考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算.

可解出集合4然后进行交集的运算即可.

【解答】

解：A=｛x\x<-2,或x>2｝；

.•.庐｛x|x<l｝时，/C庐｛x|x<-2｝.

故选C.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三角恒等变换，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题.

将/>(X)=(sinjv+cosx),绽开，可得『(x)=l+sin2x,从而可求得其最小正周期.

【解答】

解：*:f(X)-(sinx+cosx)2

=l+2sinjrcosx

=l+sin2x,

:Qx)的最小正周期为伫二兀.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】解：解：设。(x,y),D(s,力，则：

."(3,-1)；

又，；

(3一s,—1一力)—(一3,-2)；

4

，点〃的坐标为(6,1).

故选：A.

可设C(x,y),D(s,t),从而依据条件得出(犷1,厂2)=(2,-3),从而可求

出，即C(3,-1),并可求出，依据即可求出点〃的坐标.

考查依据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的概念.

6.【答案】C

【解析】【分析】

考查对数的运算性质，对数函数的单调性，已知函数求值的方法.

可知，从而可依据可x)的解析式得出=l+lg2+(lg2)3+l+lg2+(-lg2)M+l,g5+(lg5)

3+l+lg5+(-lg5)3=6.

【解答】

解：

=f(lg2)+f(-lg2)+f(lg5)+f(-lg5)

=l+lg2+(lg2)3+l+lg2+(-lg2)3+l+lg5+(lg5)3+l+lg5+(Tg5)3

=4+2(Ig2+lg5)=6.

故选：C.

7.【答案】B

【解析】解：信90°,

=0.

.*.===16.

故选：B.

利用向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则即可得出.

本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：g(x)=的图象为圆心为。半径为“

的圆的上半部分，

•.•产sinx是奇函数，

在0］上与x轴围成的面积与在［0,

"］上与x轴围成面积相同，

则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部

分的面积

S=,

故选：C.

作出/1(x)与g(x)的图象，结合图象的对称性进行求解即可.

本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法

是解决本题的关键，属基础题.

9.【答案】A

【解析】解：fC-x)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=-F(x),

函数f(x)为奇函数，

函数/'(x)的图象关于原点对称，故解除8C,

当矛一+8时，TWsinxWl,ln|x|一+8,

...F(x)单调性是增减交替出现的，故解除，D,

故选：A.

先依据函数的奇偶性，可解除8,C,依据函数值的符号即可解除〃

本题考查了函数图象的识别，依据依据函数值的符号即可推断，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理实力与计算实力，

属于中档题.

由Si(a2+a3)=6ai-9,化为：a?-6&+9=0,当时,易知q=~l,满意题意,

当△》()，解得<?范围即可得出.

【解答】

解：ai(a?+a3)=6a「9,

...a/(<?+</)-6ai+9=0,

当中q"=0时，易知Q=~l,满意题意，

当(7+d#0,A=36-36(<T+<?2)20,解得WgW且gWO,g#T.

的最大值为.

故选：D.

H.【答案】D

【解析】解：f(x)=l+cos(4x+)+sin(4x+)=l+2sin(4x++)=l+2cos4x,

则4B,C均正确，2错误.

故选：D.

化简/1(x)=l+2cos4x后，依据函数的性质可得.

本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解实力，属中档题.

12.【答案】A

【解析】解：由(x+xlnx)f(x)(x),xG(,+8),

得(1+lnx)f(A)-fQX)<0,

令，则<0.

.,.故g(X)在(，+8)递减；

'.g(e)<g(1),即=>/(e)<2,f(1).

故选：4

令，可得<0.可得g(x)在(，+8)递减，即可求解.

本题考查了利用导数探讨函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法,

考查了推理实力与计算实力，属于难题.

13.【答案】(-8,1]

【解析】解：由尸中尸，0cxe1,得到了>1,即尸(1,+8),

:全集FR,

，[产(-8,1].

故答案为：(-8,1]

求出产中y的范围确定出R依据全集氏兄求出户的补集即可.

此题考查了补集及其运算，娴熟驾驭补集的定义是解本题的关键.

14.【答案】2

【解析】解：因为『(1)=0,fQx)=arcsin(xT)-cos()在区间[0,2]上单调递

减且关于(1,0)对称，

所以点/为(1,0),P、0两点关于点/对称，所以，

所以()=2,=2,

6

故答案为：2.

先分别视察函数产arcsin(矛-1)和尸cos()会发觉两个函数都在区间［0,2］上单调

递减且关于(1,0)对称，所以f(x)=arcsin(尸1)-cos()在区间［0,2］上单调

递减且关于(1,0)对称，所以得到点/(1,0),且/为国中点，再结合向量的中

点公式和数量积运算解题.

本题主要考查三角函数与反三角函数的图象与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟

识三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.

15.【答案】

【解析】解：(a+2)x+2-a<0且a>0

x-2x+2<a(x+1)

令/(x)=x-2,x+2,；g(x)-a(x+1)

.".A={x\f(x)(x),xG才

•••尸f(x)是一个二次函数，图象是确定的一

条抛物线；

而产g(x)一次函数，图象是过肯定点(-1,0)

的动直线.

又,：xGZ,a>0.数形结合，可得：.

故答案为：(，］

因为集合力中的条件是含参数的一元二次不等

式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通;

应当把此不等式等价转化为F(x)<g(x)的形式，然后数形结合来解答，须要留意

的是尽可能让其中一个函数不含参数.

此题主要考查集合力的几何意义的敏捷运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值

范围问题.

16.【答案】1

【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则/

(-1,-1),8(1,-1),D(-1,1),产(，)，

所以=(+1,sin9+1),=(2,0),=(0,2),

又，

所以，

则=，

其几何意义为过点E(-3,-2)与点P(cos9,

sin6)的直线的斜率，

设直线方程为产2=#(x+3),

点户的轨迹方程为*+7=1,

由直线与圆的位置关系有：

解得：，

即的最大值是1,

故答案为：1

由平面对量的坐标运算得：则A(-1,-1),8(1,T),D(-1,1),P)，所

以=(+1,sin9+1),=(2,0),=(0,2),

又，所以，则=,其几何意义为过点£(-3,-2)与点尸(cos。，sin。)的直线的斜率,

由点到直线的距离得：设直线方程为>2=A(x+3),点尸的轨迹方程为*+/=1,由点

到直线的距离有：，解得：，即的最大值是1,得解

本题考查了平面对量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大

的题型

17.【答案】解：(1)由函数f(x)=/cos(3/。)的部分图象知，4=1,=-=,

.•.仁n,fqX)的最小正周期为Ji；

由3==2,且个时，I-()=1,

/.2X+<i>=0,解得小=一，

.,"(X)的解析式为/'(x)=cos(2矛-)；

(2)函数g(x)=f(x)+sin2x

=cos(2A-)+sin2x

=cos2x+sin2x

=sin(2好)，

当xe［0,］时，2x+e［,］,sin(2x+)e［-,1］,

函数g(x)在区间上的最大值为，最小值为.

【解析】(1)由函数f(x)=/cos(3矛+。)的部分图象写出/、T和3、。的值,

即可写出『(x)的解析式；

(2)化函数g(x)为正弦型函数，求出g(x)在区间上的最大和最小值.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题.

18.【答案】解：(I)设数列｛aj的公差为d,数列M的公比为q,

由Z%+iS=10,as-2bz=a3.

得，解得

a〃=3+2(72-1)=2/7+1,.

(II)由ai=3,a〃=2历4得£=A(TJ+2),

则〃为奇数，c尸,

〃为偶数，G=2-

；•&=(C1+C3+…+。2")+(C2+C4+…+。2”)

【解析】(/)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

(II)由&=3,2产2加1得&=〃(加2).则〃为奇数，c产.“分组求和”，利用“裂

项求和”、等比数列的前A项和公式即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前〃项和公式、“分组求和”、“裂项

求和”，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)(x)=f-4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为后2,

.../■(X)在［-1,1］上是减函数，

••・函数产/'(x)在［T,1］上存在零点，

/./,(-1)f(1)W0,即a(8+a)WO,

解得：-8WaW0.

(2)a=3时，f(x)=x-4：x+6,

:.f(x)在［1,2］上单调递减，在［2,4］上单调递增，

:.f3在⑵4］上的最小值为f(2)=2,最大值为F(4)=6.

即f(x)在⑵4］上的值域为⑵6］.

设g(x)在［1,4］上的值域为弘

,对随意的荀€［1,4］,总存在4］,使得g(z)=f(苞)，

:.仁［2,6］,

当Z>=0时，g(x)=5,即沪⑸，符合题意，

当6>0时，g(x)=6x+5-2力在［1,4］上是增函数，

.•.沪［5-45+26］,

8

，，解得0<6W.

当6<0时，g(A-)=6x+5-26在［1,4］上是减函数，

.,.2［5+26,5-6］,

；.，解得TW6C0.

综上，力的取值范围是.

【解析】(I)依据f(X)在［T,I］上单调递减且存在零点可得f(T)r(l)wo,

从而解出a的范围；

(2)对力进行探讨，推断g(x)的单调性，分别求出f(x),g(x)在［1,4］上的值

域，令g(x)的值域为f(x)的值域的子集列出不等式组得出6的范围.

本题考查了二次函数的单调性推断，值域计算，零点的存在性定理，分类探讨思想，属

于中档题.

20.【答案】(1)证明：•.,tane2>0,

，。为锐角，且sin年，cos年.

过/做月〃，笈，垂足为〃，则小6cos"

：3sin4=2sin6,3a=26,即a-,

，〃是理的中点，又AH1BC,

J.AB^AQ

...△月欧为等腰三角形.

(2)解:/庐6sin信,

••SA1&===2,

解得庆3,.•.给2,

在△血》中，由余弦定理得CQS年二，

解得：CF.

【解析】(1)过/做火的垂线AH,依据C的大小可得〃为笈的中点，从而得出A^AC-,

(2)依据面积求出6G在△题中依据余弦定理计算⑶.

本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题.

21.【答案】解：(1)函数f(x)二(A-a-1)e'+ax的定义域为兄

f'(x)=(x-a)e-x+8F^(x-a)(e'T).令f(x)=0,可得产a,或；v=0,

①当a<0时，xG(-8,a)U(0,+°°),f'(x)>0,xC(a,0),f'(x)<

0.

.,.函数/'(x)在(-8,苫)，(0,+8)上递增，在(a,0)递减；

②当a=0时，f(x)NO恒成立，，函数f(x)在(-8,+oo)上递增；

③当a>0时，xG(-8,0)(J(a,+°°),f'(x)>0,xC(0,a),f'(x)<

0.

・•・函数F(x)在(-8,0),(分+8)上递增，在(0,3)递减；

(2)设g(x)=x~e,g'(x)=1-/

在[1,2],g'(x)W0恒成立，・，・g(x)