2.2 直线的方程（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.2直线方程知识点一点斜式【【解题思路】直线的点斜式方程的步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．【例1】（2024江苏淮安·阶段练习）写出下列直线的点斜式方程．（1）经过点，且其倾斜角与直线相等；（2）经过点，且与轴平行；（3）经过点，且与轴垂直．(4)经过点，斜率为3；(5)经过点，倾斜角是；(6)经过点，倾斜角是．【答案】（1）；（2）；（3）.(4)(5)(6)【解析】（1）设直线的倾斜角为，则，因为所求直线的倾斜角与直线相等，所以，又经过点，所以点斜式方程.（2）因为与轴平行，所以，又经过点，所以点斜式方程.（3）因为与轴垂直．所以斜率不存在，又经过点，所以直线方程为.（4）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得，直线的点斜式方程为；（5）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为（6）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为【变式】（23-24新疆）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1,－1)，与x轴平行．(4)P（2，3），；(5)P（-2，-1），；(6)P（-5，-1），．（7）经过点，斜率是；（8）经过点，倾斜角是；（9）经过点，倾斜角是；（10）经过点倾斜角是．【答案】(1)y－5＝4(x－2)(2)y－3＝x－2(3)y+1＝0(4)(5)(6)（7）；（8）；（9）；（10）；【解析】（1）∵经过点A(2，5)，斜率是4，∴所求直线方程为y－5＝4(x－2).（2）∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2.（3）∵经过点C(－1,－1)，与x轴平行，∴斜率为0，∴方程为y+1＝0.（4）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为.（5）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为.（6）直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为.（7）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为；（8）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；（9）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；（10）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；知识点二斜截式【【解题思路】求直线的斜截式方程的思路(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【例2】（2024湖北）写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是，在轴上的截距是；(2)倾斜角为，在轴上的截距是；(3)倾斜角为，在轴上的截距是．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）（2）因为，所以．（3）因为，所以．【变式】1．（2024四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为.【答案】【解析】由知此直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，所以，设直线l的倾斜角为，则，斜率为，根据点斜式可得：，整理可得：.故答案为：.2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是.【答案】【解析】设直线l的倾斜角为，则，则，所以直线，故答案为：.3．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.(3)斜率为2，在y轴上的截距是5；(4)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(5)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【答案】(1)(2)(3)y＝2x＋5(4)y＝－x－2(5)y＝x＋3或y＝x－3【解析】（1）斜率，截距，；（2）等价于直线过两点，直线方程为，即；综上，（1），（2）.（3）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.（4）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan150°＝－，故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2.（5）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.知识点三两点式【【解题思路】两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．(2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．【例3】（2023江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）直线的两点式方程为.直线的两点式方程为.（3）直线的两点式方程为.【变式】1．（2024吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得：所求直线方程为.故选B.2．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为直线经过点，所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A3．（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程：(1)，；(2)，．（3），；

（4），．【答案】(1)；(2).（3）；（4）；【解析】（1）因为直线过点，，所以该直线的两点式方程为；（2）因为直线过点，，所以该直线的两点式方程为（3）因为直线的两点式方程为：，因为，，所以直线的两点式方程：；（4）因为，，所以直线的两点式方程：；知识点四截距式【【解题思路】截距式求直线方程(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用【例4-1】（2023湖北）直线的截距式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，即，所以直线的截距式方程为．故选：B.【例4-2】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故C项正确.故选：C.【例4-3】（23-24高二上·吉林·期末）（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确；当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则解得或若则直线l的方程为，即；故C正确；若则直线l的方程为，即．故D正确；故选：ACD.【变式】1．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】当直线过原点时，方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上所求直线方程为或.故选：C.2．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】当直线过原点时，方程为，符合题意，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上，所求直线的方程为或.故选：D.3．（23-24高二上·黑龙江·期中）（多选）若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】BD【解析】依题意，，则直线中当得，当得，则直线在x轴和y轴上的截距分别为和，因此，解得或．故选：BD.4．（2023-2024山西）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为.（2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是.【答案】或或【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点，所以，整理得，解得或．于是所求直线方程的截距式为或．（2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2，又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5，则所求直线方程为或故答案为：（1）或；（2）或.5（2024福建）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.【答案】(1)一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式：(2)一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程【解析】（1）∵，∴△ABC中平行于BC边的中位线的斜率，又线段AB的中点为，∴△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为，化为一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式：.（2）BC边的中点为D（2，3），∴BC边的中线所在直线的方程为y﹣3=7（x﹣2），化为一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程.知识点五直线的一般式【例5】根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.①斜率是，经过点；②经过点，平行于x轴；③在x轴和y轴上的截距分别是，；④经过两点【答案】答案见解析【解析】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：，截距式方程为：，由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2.（2）①由点斜式得，化为一般式为：.②由斜截式得，化为一般式为：.③由截距式得，化为一般式为：.④由两点式得,化为一般式为：.【变式】1．（23-24高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．(1)斜率是，经过点；(2)法向量，经过点；(3)经过点，平行于x轴；(4)在x轴和y轴上的截距分别是，；(5)经过两点．(6)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；(7)经过两点，；(8)经过点，平行于x轴；(9)在x轴，y轴上的截距分别为，．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).(6)；(7)；(8)；(9).【解析】（1）由点斜式方程，得，即．（2）由点法式方程，得，即．（3）由斜截式方程，得，即．（4）由截距式方程，得，即．（5）由两点式方程，得，即．（6）直线的斜率为，其倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为，斜率为，所以所求直线的方程为，即.（7）直线的斜率，所以直线的方程为，即.（8）经过点，平行于x轴的直线斜率为0，所以经过点，平行于x轴的直线方程为.（9）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即.2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）.(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线所在直线的方程.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过，所以直线的方程为，即.（2）边所在直线的斜率，因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为，又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即.（3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为，所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为，所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即.知识点六直线图像【例6-1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B【例6-2】（23-24湖南）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B【变式】1．（22-23高二·江苏·课后作业）直线可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以AC错；当时，，故B对；故选：B2．（23-24江西抚州）已知，，则直线通过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】B【解析】直线化为．∵，，∴，，∴直线通过第一、二、四象限．故选：B．3．（23-24高二上·安徽六安）直线不过第二象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；若，可得，直线的斜截式方程为，若直线不过第二象限，则，解得.综上所述，.故选：C.4．（2023江西南昌·阶段练习）两直线与的图象可能是图中的哪一个（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，所以，直线与直线斜率的符号相同，故只有B选项合乎题意.故选：B.知识点七直线与坐标轴围城的面积【例7】（2023-2024陕西）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.【答案】(1)8，(2)4，【解析】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，，因为直线l过点，所以，又（当且仅当，即，时取等号），所以，即，所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为.（2）由（1）可知，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为.【变式】1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为，而，，又由二倍角公式，所以有，整理得，解得或（舍去），所以设直线的方程为，则直线与坐标轴分别交于，所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，解得，所以设直线的方程为，当时，它可以变形为.故选：C.2．（2023山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直，当时，，当时，，所以直线与轴和轴的交点分别为和，因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，所以有，解得：或.故选：D3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.【答案】（1）(或)；（2）最小值24；直线方程（或）.【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，又知，所以时等号成立，此时l直线的方程为，即面积最小时直线l的方程为.（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得，此时直线的方程为，即.故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是.知识点八含参直线过定点【【解题思路】含参直线过定点的解题思路：提出参数令参数的系数为0【例8-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为.【答案】【解析】令，解得，故经过的定点坐标为.故答案为：【例8-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．【答案】【解析】如下图，由题意，直线方程可化为，

由解得，则直线过定点，又，则由直线与连接两点的线段总有公共点知:直线的斜率满足或，又当直线的斜率存在时，，所以或，则直线的倾斜角为或，又也符合题意，则直线的倾斜角范围是.故答案为：.【变式】1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点.【答案】（－1，－1）【解析】方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）.2．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点.【答案】【解析】由直线，可化为，联立方程组，解得，所以直线恒过定点．故答案为：．3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）（多选）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】由已知，直线：，则直线过定点，A正确；若直线与直线平行，则，得，或，B错误；当时，直线：，则，所以倾斜角为，C正确；当时，直线：，其在轴上的截距分别为，不相等，D错误.故选：AC.4．（23-24高二上·河南商丘·期中）（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（

）A． B． C．1 D．3【答案】AD【解析】因为，即直线过定点，斜率为，因为，，如图所示，所以或，解得：或，故选：AD.【题组一点斜式】1.（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故选：2（22-23陕西延安）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】光线沿倾斜角为的直线射向轴上经轴反射，则反射直线的倾斜角为,反射光线斜率为,且反射光线过点,这反射光线所在直线方程为点斜式方程是.故选:B.3（2023上海浦东新·期中）已知、、三点，则经过点且与平行的直线的点斜式方程为【答案】【解析】直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为.故答案为：4（2024上海浦东新）在中，，则边上的高所在的直线的点斜式方程为.【答案】【解析】边上的高所在直线过点，斜率为，由点斜式写出边上的高所在直线方程为，故答案为：．【题组二斜截式】1（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是，在y轴上的截距是；(2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是；(3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为.（2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：.（3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，，根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为.2（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为.（2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率.所以该直线的斜截式方程为.【题组三两点式】1．（22-23高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（

）A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选：B2．（22-23高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；②直线方程也可写成；③过点，的直线可以表示成.其中正确说法的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.故选：D.3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是．【答案】【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件，当直线经过时，两点式方程为：，于是直线的两点式方程为：.故答案为：4．（21-22高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为．【答案】【解析】过点，直线的两点式方程为故答案为：5．（2024云南）已知直线过两直线和的交点，且过点，则直线的两点式方程为．【答案】【解析】联立解得交点坐标为，由和得直线的两点式方程为.故答案为：.【题组四截距式】1（2024浙江·期中）直线的截距式方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程化为，即为截距式方程．故选：A．2（2024北京）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线的方程为，则的面积为①．因为直线过点，所以②．联立①②，解得，，故直线的方程为，故选：A．3（2024安徽）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为()A． B．C． D．【答案】A【解析】因为三顶点坐标为，又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：，则直线的两点式方程为：，故截距式方程为.故选：A．4（2024高二上·全国·专题练习）（多选）下列说法中错误的是（）A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B．与是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为【答案】ABC【解析】对于A，直线方程的截距式为，其中，故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误；对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误；对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误；对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确．故选：ABC.5（2024上海）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.【答案】(1)一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式：(2)一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程【解析】（1）∵，∴△ABC中平行于BC边的中位线的斜率，又线段AB的中点为，∴△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为，化为一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式：.（2）BC边的中点为D（2，3），∴BC边的中线所在直线的方程为y﹣3=7（x﹣2），化为一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程.【题组五一般式】1（2023高二·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点；(2)经过点两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为；(4)经过点，且平行于x轴．(5)求过点，斜率是3的直线方程.(6)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1）由点斜式得直线方程为，即.（2）由两点式得直线方程为，即.（3）由截距式得直线方程为，即.（4）因为平行于x轴，所以直线的斜率为0，又因为直线过点，所以直线方程为：（5）由点斜式得直线方程为，即.（6）由题意可知该直线斜率存在，又因为直线在y轴上截距为2，所以可设直线方程为，又因为该直线过点，则，解得，所以直线方程为.2（23-23高二·全国·课后作业）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为，；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由点斜式，得直线方程为，即.（2）由两点式，得直线方程为，即.（3）由截距式，得直线方程为，即.（4）平行于x轴，所以，直线的斜率为0，又因为直线过点B(4,2)，所以，直线方程为：【题组六直线的图像】1．（2023陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线通过第一、二、四象限，则有故选：C2（2024四川雅安·期中）若直线经过第一、二、四象限，则系数、、满足条件为（）A．、、同号 B．，C．， D．，【答案】D【解析】如下图所示：由于直线经过第一、二、四象限，则斜率，可得，在轴上的截距，可得，在轴上的截距，可得.故选D.3（2024湖南株洲）直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，若直线斜率存在，即，所以，综上实数的取值范围为，选C.4（2024山西运城·期中）已知则直线不过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】直线方程即：，其斜率，直线在轴的截距，据此可知直线不经过第二象限.本题选择B选项.5（2023·全国·单元测试）若直线不经过第二象限，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知直线，转化为y=（3-2t）x-6，可知直线恒过（0，-6）故3-2t，解得故选D.【题组七直线与坐标轴围城的面积】1．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角，设直线l的倾斜角为，则因为，所以或舍去设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，，由，得，故直线l的方程可能是，显然ABD不符合，，或，故选：C2．（2023四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（

）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即.由，得或.故所求直线方程为或.故选：D3（2024高三·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（

）A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条【答案】A【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，，∴，作出其图象如图所示，由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.故选：A4（22-23高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．【答案】(1)(2).【解析】（1）作，则.

由三角形相似，，可求得，，∴方程为，即；（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，∵l过点，∴，解得，∴的面积，化简，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值为4，将代入①式，得，解得，∴.∴直线l的方程为.5（22-23高二上·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.【答案】(1)或.(2)(3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.综上所述，直线的方程为或.（2）,∵不经过第二象限,∴,解得.∴实数的取值范围是.（3）令,解得,解得;令,解得,解得或.综上有.∴,当且仅当时取等号.∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即6（2024内蒙古呼和浩特）已知一条动直线，(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，定点；(2)存在，且直线方程为.【解析】（1）证明：将直线方程变形为，由，可得，因此，直线恒过定点.（2）解：设点A的坐标为，若，则，则、，直线的斜率为，故直线的方程为，即，此时直线与轴的交点为，则，，，此时的周长为.所以，存在