新课同步提优：第三单元 分数除法（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数除法(重难点+思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)1、理解分数除法的意义：理解分数除法的含义，包括分数除以整数和分数除以分数的情况。2、掌握分数除法的计算方法：学会如何正确地进行分数除法计算，包括如何确定商的小数点位置。3、分数除法的转换：能够将分数除法问题转换为乘法问题，即乘以除数的倒数。4、结果的化简：学会如何将分数除法的结果化简为最简分数形式。5、分数除法的应用：能够将分数除法应用于解决实际问题，如计算比例、分配资源等。6、发展数学思维：通过分数除法的学习，应能够发展逻辑思维和问题解决能力。7、分数与小数的转换：掌握如何将分数转换为小数，以及如何将小数转换为分数。8、分数除法的估算：学会如何对分数除法的结果进行估算，以便快速判断结果的合理性。9、解决复杂的分数问题：能够处理包含多个分数的复杂除法问题，包括分数与分数、分数与整数的混合运算。10培养准确计算的习惯：在进行分数除法时，需要保持准确性，特别是在涉及到小数点移动和分数化简时。【分数除法】1、意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．2、分数除法的运算性质：（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．（2）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．（5）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．【倒数的认识】1、定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2、注意事项：0没有倒数．【分数方程求解】分数方程求解步骤：1、去分母：当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。2、去括号：在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。3、移项：通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。4、合并同类项：对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。5、系数化为1：合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。【分数的四则混合运算】1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。3、方法总结：（1）、如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。（2）、如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；（3）、如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。【分数除法应用题】1、常见题型：（1）、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．（2）、甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．【简单的工程问题】1、含义：探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式．2、数量关系式：（1）、工作总量＝工作效率×工作时间（2）、工作时间＝工作总量÷工作效率（3）、工作效率＝工作总量÷工作时间（4）、合作时间＝工作总量÷工作效率和【典例1】第八小学举行五年级数学素养比赛，参加比赛的女生人数比男生多28名。根据成绩，男生全部列入优良，女生则有14没有达到优良成绩，男女生取得优良成绩的共计42名。参加比赛的男女生人数占全年级的1【答案】解：设参加比赛的男生人数为x名，女生人数为(x+28)名。x+(1−x+x+7x=12五年级共有学生：(12+12+28)÷=52×5=260（名）答：五年级共有学生260名。【解析】设参加比赛的男生人数为x名，参加比赛的女生人数为(x+28)名。男生全部列入优良，女生则有14没有达到优良成绩，男女生取得优良成绩的共计42名。根据这个信息，我们可以列出一个方程：x+(1−14【典例2】实验小学五年级共有240人参加了数学素养大赛。五（1）班有30人参赛，其中有8人获得一等奖。五（1）班参赛人数占全年级参赛人数的几分之几？五（1）班获得一等奖的人数占全班参赛人数的几分之几？【答案】解：30÷240=18

8÷30=415

答：五（1）班参赛人数占全年级参赛人数的18【解析】五（1）班参赛人数÷全年级参赛人数=五（1）班参赛人数占全年级参赛人数的几分之几；

五（1）班获得一等奖的人数÷全班参赛人数=五（1）班获得一等奖的人数占全班参赛人数的几分之几。【典例3】某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？【答案】解：甲的工作效率：1−148×28÷63−28=512÷35=184【解析】“甲独做63天，再由乙单独做28天即可完”相当于两队合做28天，甲又独做（63-28）天。用工作质量减去两队合做28天完成的工作量即可求出甲独做35天的工作量，这样用这个工作量除以35即可求出甲的工作效率，进而求出乙的工作效率。然后用1减去甲独做42天完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出乙还需要做的天数。【典例4】甲、乙两个水管同时注两个同样大小水池，速度比是7：5，73小时后，两个水池的水量和是一个水池的水量。这时，甲水管的速度提高14，乙水管的速度降低【答案】解：因为甲、乙两水管注水速度之比是7：5，所以73小时后A池已注人的水量：773小时后B池已注入的水量：5这时，A池还空余：1−712=若注水速度不变，甲注满一池水还需：73乙注满一池水还需：73则注水速度变化后，甲注满一池水还需：53乙注满一池水还需：4915所以，甲水管注满水后，乙水管注满B池还要：143答：甲水管注满水池后，乙水管还要103【解析】根据速度比求出73【典例5】A、B两地间的铁路长720千米。一列普通列车和一列动车分别从A、B两地同时出发，相向而行。普通列车的速度是动车的411【答案】解：线段图：4+11=15，720÷15=48（千米），普通列车：48×4=192（千米），动车：48×11=528（千米）答：相遇时普通列车行驶了192千米，动车行驶了528千米。【解析】普通列车的速度是动车的411，那么相遇时普通列车行驶的路程也是动车的41．位于巴黎的艾菲尔铁塔高330米，曾经是世界第一高塔。但百余年后，这样的高塔比比皆是。广州就有一座高600米的广州塔，已经远高于艾菲尔铁塔了。请你算一算，艾菲尔铁塔的高度相当于广州塔的几分之几？2．两个工程队修一条路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。如果甲乙两队合修这条路，多少天可以修完全程的50%？3．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的134．李叔叔家前年大雅柑的产量是120吨，是去年产量的34，今年的产量又是去年的75．一根铁丝，第一次剪去全长的12，第二次剪去所剩铁丝的13，第三次剪去所剩铁丝的146．植树节到了，星空小学的同学们计划到文化公园开展“播种绿色，播撒文明”植树活动。六（1）班种了60棵小树苗，比六（2）班多种了237．甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，到达对方站后立即返回继续行驶，甲乙出发的同时，丙也从A地出发去B地，当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有150米才到C地；当丙到达C地时，甲又继续前进了180米；当丙到达B地时，甲乙又正好第二次迎面相遇，那么A、B两地相距多少米？8．”节约资源从我做起”。实验小学上个月开展了收集空矿泉水瓶的活动。五年级收集了165个，是六年级的35，四年级收集的个数是六年级的99．某乡村要修建一条长1500m的公路，4天修建了这条路的2510．学校五年级有故事书200本，科技书的本数是故事书的35，科技书有多少本？科技书的本数是文艺书的411．加工一批零件，已完成个数与零件总个数的比是1：3．如果再加工15个，那么完成个数与剩下的个数同样多，这批零件共有多少个？12．有一项工程，甲单独做要11小时完成，乙单独做要的时间是甲的331113．甲、乙两个修路队，共同修3600米长的一条铁路．当甲完成所分任务的34，乙完成所分任务的414．新新小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的25,美术班人数相当于另外两个班人数的15．修一条公路，甲队单独修需要8天修完，乙队单独修需要10天完成。如果甲、乙两队合修这条公路，共需要多少天完成任务？16．三个容器都盛有水，如果把甲容器内13的水倒入乙容器，再把乙容器内14的水倒入丙容器，最后把丙容器内17．A、B两地每隔5分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度相同，甲、乙两人同时从A、B两地出发相向匀速而行。甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车，甲、乙相遇时，甲被A地开出的第9辆班车追上，乙也恰好被B地开出的第6辆车追上；乙到A地时恰好被B地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B地还有21千米，那么乙的速度是每小时多少千米？18．2024年“文化和自然遗产日”河北省非遗宣传展示活动暨河北非遗购物节--端午·雄安非遗大会，在雄安郊野公园开幕。参加活动前，外婆花180元给米多买了一套唐装，其中裙子的价钱是上衣的2319．一本书有180页，聪聪端午节3天假期正好看完，第一天看了60页，第二天看了全书的2520．一袋面粉，第一天吃去总数的14，第二天吃去总数的121．甲乙两辆汽车同时从A、B两地出发，相向而行。当两车相遇时，甲车行了全程的37。乙车比甲车多行70千米，A、B22．学校开展综合实践活动，同学们在中草药种植基地种下了薄荷、艾草和金银花。其中，种薄荷的面积是60平方米，种艾草的面积比薄荷多23、种薄荷的面积比金银花少123．一瓶250mL的鲜牛奶大约含有310克钙质，占一个成年人一天所需钙质的324．两个粮库共有粮食560吨。从甲仓库取出2725．荔湾区开展大阅读工程，林风是一个阅读小达人。他家原有科技书的本数是故事书的23，后来又买进20本科技书，这时科技书的本数是故事书的526．为了绿化环境，光头强带领森林小伙伴计划在三月份种植一批树，上半月完成了计划的71227．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的13与原二班的14组成新一班，将原一班的1428．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为7：3，如果从甲学校调出30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为3：2，问这两个学校原来教师人数共多少人？29．一堆水果分成两袋，从甲袋中取走12，从乙袋中取走12千克，则两袋所剩水果数量相等；这时如果从乙袋余下的水果中再取走12，则乙袋中还剩下乙袋原来重量的30．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的13少2万方，第二次运了剩下的1

1．【答案】解：330÷600=1120

答：艾菲尔铁塔的高度相当于广州塔的11【解析】艾菲尔铁塔的高度÷广州塔的高度=艾菲尔铁塔的高度相当于广州塔的几分之几。2．【答案】解：50%÷（110+1＝50%÷5＝3（天）答：3天可以修完全程的50%。【解析】把这条公路看作“1”，用分子是1的分数分别表示出两队的工作效率，用完成的工作量除以两队的工作效率和即可求出修完全程的50%需要的时间。3．【答案】解：6+9＝15（天）13+2甲：1÷2＝12，15÷1乙：13÷2＝16，4÷丙：23÷2＝13，6÷答：甲队独做需要30天，乙队独做需要24天，甲队独做需要18天。【解析】由题意可知，这项工程甲一共做了6+9＝15（天），乙做了4天，丙做了6天；

甲完成的量看作1，那么乙完成的量=甲队的完成量×乙队完成的是甲队完成的几分之几，丙完成的量=乙完成的量×丙队完成的是乙队完成的倍数，那么这项工程的总量=甲队的完成量+乙队的完成量+丙队的完成量；那么甲完成这项工程的几分之几=甲队的完成量÷这项工程的总量，所以甲队单独做需要的天数=甲队做的天数÷甲完成这项工程的几分之几；乙完成这项工程的几分之几=乙队的完成量÷这项工程的总量，所以乙队单独做需要的天数=乙队做的天数÷乙完成这项工程的几分之几；

丙完成这项工程的几分之几=丙队的完成量÷这项工程的总量，所以丙队单独做需要的天数=丙队做的天数÷丙完成这项工程的几分之几。4．【答案】解：120÷34×78答：李叔叔家今年大雅柑的产量是140吨。【解析】根据分数除法的意义，用前年的产量除以34即可求出去年的产量；根据分数乘法的意义，用去年的产量乘75．【答案】解：1÷[（1﹣111）×……×（1﹣14）×（1﹣13）×（1﹣12）]

=1÷[1011×910×89＝1÷1＝11（米）答：原来的铁丝长11米。【解析】原来铁丝的长度=第十次剪完后还剩的长度÷第十次剪完后还剩的长度占总长度的几分之几，据此代入数值作答即可。6．【答案】解：60÷（1+23＝60÷5＝60×3＝36（棵）答：六（2）班种了36棵小树苗。【解析】已知一个数比另一个数多几分之几，求另一个数，用除法解决，根据另一个数=一个数÷（1+几分之几），代入数据即可求解。7．【答案】解：180÷150=665÷3=25

25÷150÷（25-13）=2250（m）【解析】总量=分量÷对应分率，设一个全程为“1”，第二次相遇，合走了3个全程为“3”，先找到150对应的分率25-18．【答案】解：165÷35275×925答：实验小学四收集了99个空矿泉水瓶；六年级收集了275个空矿泉水瓶。【解析】五年级收集的个数÷对应六年级收集个数的分率=六年级收集个数；六年级收集个数×9259．【答案】解：25÷4×7＋25

=110×7＋25

=710＋25

=【解析】4天修的分率＋7天修的分率=4天修的分率＋平均每天修的分率×7=111010．【答案】解：200×35=120（本）

120÷45=150（本）【解析】根据分数乘法的意义，用故事书的本数乘35即可求出科技书的本数。根据分数除法的意义，用科技书本数除以411．【答案】解：15÷（12=15÷1=90（个）；答：这批零件共有90个【解析】把这批零件的总个数看作单位“1”，依据题意如果再加工15个，那么完成个数与剩下的个数同样多，可得已完成总数的1212．【答案】解：11×3311=33（小时）

[1-（111+133）×3]÷111

=（1-411）÷111【解析】根据分数乘法的意义先求出乙单独做需要的时间。把这项工程看作单位“1”，用分子为1的分数分别表示出两队的工作效率。用两队的工作效率和乘3求出3小时完成的工作量，用1减去3小时完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以甲的工作效率即可求出甲完成任务还需要的时间。13．【答案】解：[3600×（1-34-780-40）]÷（45-34）

=80÷120

=1600（米）【解析】如果两队都完成了34，那么就还剩下3600×(1-34)=900米，说明乙的45-314．【答案】解：2+5=72÷7=3+7=103÷10=1−===58÷=58×=140140×140×答：音乐班有40人，美术班有42人。【解析】根据题意：音乐班人数相当于另外两个班人数的25，就是把音乐班人数看作2份，其他两个班是5份，三个班人数是(2+5)份，求出音乐班人数是全部人数的27，美术班人数相当于另外两个班人数的37，就是把美术班人数看作3份，其他两个班是7份，三个班人数是(3+7)份，求出美术班人数是全部人数的310，把全部人数看作单位“1”，求出体育班人数占全部人数的(1−2715．【答案】解：甲队单独修需要8天修完，甲队的工作效率是18，

乙队单独修需要10天完成，乙队的工作效率是110，

1÷（18＋110）

=1÷940

＝40【解析】总工作量1÷甲乙的工作效率之和=甲乙合干的工作时间。16．【答案】解：乙容器中水的14倒入丙容器后，丙容器内有水9÷910=10(升)

甲容器原来有：

(9-10×110)÷(1-13)

=(9-910)÷23

=12(升)

乙容器原来有：

9÷(1-14)-12×13

=12-4

=8(升)

丙容器原来有：10-(8+12×1【解析】最后再把丙容器中水的110倒入甲容器，则此时丙容器中还剩下乙容器中水的14倒入丙容器后水量的1-110=910，又此时各容器内的水都是9升，根据分数除法的意义，乙容器中水的14倒入丙容器后，丙容器内有水9÷910=10升；同理可知，把甲容器中水的13倒入乙容器后，乙容器内有9÷(1-14)=12升；由于甲容器增加了丙容器的11017．【答案】解：设甲乙在c点相遇，由于班车的速度一定，所以从某一辆车追上甲(乙)到下一辆车追上甲(乙)的时间是相等的；

先考虑乙从B到C(相遇点)，乙被6辆车追上，从c到A又被2辆车追上，说B到c的时间是A到c的时间的3倍；

所以BC=3AC，又因为C是相遇点，所以乙的速度是甲的速度的3倍.所以当乙走完全程时，甲走完全程的13。

此时甲距离B还有21千米，所以全程的路程是21÷(1−13)=632千米

当甲乙相遇时，甲被9辆车追上，乙被6辆车追上，追上乙的那辆车比追上甲的那辆车早出发了15分钟，即14小时。

因为两车相遇是全程的四等分点，所以追上乙的那辆车比追卫单的那辆车夺走了全程的12，即634千米。所以班车的速度是634÷14=63千米/小时，所以班车跑完全程需要632÷63=1【解析】首先分析两车的速度关系，先考虑乙B到相遇点，乙被6辆车追上，从C到A又被2辆车追上，说B到C的时间是A到C的时间的3倍．所以乙的速度是甲的速度的3倍继续推理即可。18．【答案】解：180÷(1+23)

=180÷=108(元)

答：上衣108元。【解析】上衣的价钱=唐装的价钱÷（1＋2319．【答案】解：1-60÷180-25

=1-13-25

=415【解析】第一天看的页数÷这本书的页数=第一天看的页数占这本书页数的几分之几，单位1-第一天看的页数占这本书页数的几分之几-第二天看的页数占这本书页数的几分之几=第三天看的页数占这本书页数的几分之几。20．【答案】解：84÷（14＋13）

=84÷712

【解析】这袋面粉一共的质量=吃去的质量÷（第一天吃去总数的分率＋第二天吃去总数的分率）。21．【答案】解：70÷（1-37-3＝70÷1＝490（千米）答：A、B两地相距490千米。【解析】当两车相遇时，甲车行了全程的37，则乙车行了全程的47，两车相差的路程是全程的1722．【答案】解：种艾草的面积：60×（1+23）=60×53=100（平方米）

种金银花的面积：60÷（1-14）=60÷3【解析】种薄荷的面积×（1+2323．【答案】解：310÷38=45（克）

【解析】一个成年人一天大约需要钙的质量=一瓶250毫升的鲜牛奶含钙的质量÷3824．【答案】解：

560÷（7+3）

=560÷10

=56（吨）

56×7=392（吨）

56×3=168（吨）

答：甲仓库有392吨，乙仓库有168吨。【解析】甲仓库的粮食看做7份，给乙仓库2份后两个粮库的粮食就同样多，说明甲仓库比乙仓库多4份，乙仓库是3份，两个仓库一共是10份；粮食总质量÷总份数=一份的质量，一份的质量×对应的份数=对应份数的质量。25．【答案】解：20÷（56-2＝20÷1＝20×6＝120（本）120×56