福建省莆田市2024届高三第四次教学质量检测（三模）数学试题

莆田市2024届高中毕业班第四次教学质量检测试卷

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知集合/={司》2一3X一4V0},8={xeN12-x〉O},则AClB=

A.{3,4}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

2.已知抛物线C：J?=2R(P>0)的焦点为F,点P(m,4)在抛物线C上，且|%|=4,则抛物线C的准线

方程是

A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2

3.已知数据石，x2,x3,…，x”的平均数为x,方差为数据3再一1,3X2-1,3X3-1,…，3xn-1

的平均数为不，方差为s；,则

1

A.xx=3x,s；=9s之B.xx-3x,s；=9s-1

2

C%i=3。-1,s；=9sD.x1=3x-l,s；=9s2-1

4.设数列{%}的前n项和为S〃，贝『{%}是等差数列”是“酝二1也”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若制作一个容积为T的圆锥形无盖容器(不考虑材料的厚度)，要使所用材料最省，则该圆锥的高是

A.V2B.2C.V6D.4

6.已知圆C：(X-3)2+/=16,A(-3,0),P是圆C上的动点，线段PA的垂直平分线与直线PC(点C是

圆C的圆心)交于点M,则点M的轨迹是

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

7.已知。〉1,点P在曲线y=上，点Q在曲线y=11nx上，则的最小值是

s/2/-y/l.,、-^2八

A.2aB.V2(2C.-—(l+lna)D.------(lna+l)

8.已知定义在(0,+oo)上的函数/(x)满足/(x+l)=/(x)+l,且/⑴=1,贝iJ/(100)=

A.2*1B,2100+lC.2101-lD.2101+l

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若z是非零复数，则下列说法正确的是

-Z

A.若z+z=0,则一二%B.若21・z=2目,则目=2

Z

若则二

C.若zx-z,贝!J4=zD.+zj=0,Z].z+0

10.如图，在边长为4的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E,F分别是棱BiG，C1D1的中点，P是正方形AiBiCQi

内的动点，则下列结论正确的是

A.若DP〃平面CEF,则点P的轨迹长度为2亚

B.若AP=V17,则点P的轨迹长度为2万

C.若AP=V17，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是名叵

17

D.若P是棱AiBi的中点，则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41〃

11.已知函数/(x)=3cos(ox+的图象既关于点［一/川)中心对称，也关于直线x=彳

jr27r

轴对称，且/(X)在上单调，则。的值可能是

63

2614

A.—B.—C.2D.—

555

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量Z,B满足问=叫=4,,且2+5,则向量Z,石夹角的余弦值是.

13.甲、乙等5人参加A,B,C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，

乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有种.

14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A,B的距离之比为常数4(4>0,2^1),则

点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知A(-l,0),

B(O,1),M是平面内一动点，且=JL则点M的轨迹方程为.若点P在圆O：(x-2)2+/=36

\MB\--------

上，则21PH+\PB\的最小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且“cosC+1)=c(2—cosB).

(1)证明：a+b=2c.

9

(2)若a=6,cosC=—,求AABC的面积.

16.(15分)跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某

校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示.

跑步

性别合计

喜欢不喜欢

男402060

女152540

合计5545100

(1)依据a=0.005的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关？

(2)该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步

的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数

为X,求X的分布列与数学期望.

参考公式：=-------be)--------------,其中〃二口+^+0+^.

(a+6)(c+a){a+c)(Z?+tZ)

参考数据；

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA=PC=V2AD,M为侧棱PD上的点,

PD上平面MAC.

(1)证明：PBXAC.

⑵若PB=PD,求二面角P-AC-M的大小.

(3)在侧棱PC'上是否存在一点N,使得BN//平面MAC?若存在，求出PC：PN的值；若不存在，请说明理

由.

22

18.(17分)已知椭圆C：三+二二底。〉^〉。)的左、右焦点分别为Fi,F2,Q(l,1.5)是C上一点，tan/

a"b~

4

F1QF2=§.点B1，B2分别为C的上、下顶点，直线4：y=Ax+l与C相交于M,N两点，直线MBi与NB?

科交于点P.

(1)求C的标准方程；

(2)证明点P在定直线L上，并求直线MBi，NBi,，2围成的二角形面积的最小值.

19.(17分)已知函数f(x)=x--+alnx,其中

X

(1)当工£口,+00)时，/(X)>0,求Q的取值范围.

(2)若。<一2,证明：/(x)有三个零点玉，x2,x3(xx<x2<x3),且M，x2,当成等比数列.

«1

(3)证明：V.=In(k+l)(neN*).

七]k(k+l)

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数学参考答案

1.B由题意可得/={x|—lVx<4},B={x^N\x<2],贝!]ACB={0,1}.

p.

1TIH---4,

2.D由题可得{2解得p=4,则抛物线C的准线方程是x=-2.

2pm=42,

3.C由题意可得石=3x—1,s；=9s?.

4.A由{%}是等差数列，得S”=(%+；“11=1%,反之，不成立，则“{%}是等差数歹广是“酝=11«6”

的充分不必要条件.

147Z*4

5.B设该圆锥的高为h,底面圆的半径为r,则一"从而「力=4,即/=一，该圆锥的侧面积

33h

S=~2nr-V/z2+r2=7rM+=71，+牛.因为

4/z+£=2/z+2/z+当23/2/zx2/zx与=12,当且仅当2力=与，即h=2时，等号成立，所以要使所用

小力2丫力2h2

材料最省，则该圆锥的高是2.

6.C由题意可得C(3,0).因为M是线段PA的垂直平分线，所以WR=|九牛则

W回—|〃。|=||九。卜|同。||=|吐|=4.因为|/。|=6,所以点M的轨迹是以A,C为焦点的双曲线.

7.D因为函数了=6"工与y=—lnx=l0glix互为反函数，所以y=6"工与y=，lnx的图象关于直线y=x

aea

对称，所以|尸。|的最小值为点P到直线y=x距离的最小值的两倍.设P(x0,为)，则

-eax°I

\PQ\=21°^_1=后(e—x0).设/(x)=后,也—%),f，(x)=6洲。-6.由/'(x)=0得

%=’111工.当工£(一8,!111工］时，f\x)<0,/(X)单调递减；当X£(LlnL,+oo］时，f\x)>0,/(X)

aavaa)\aa)

单调递增，所以/(x)=/■仕出口=也111四)，则|P0|的最小值是也(lna+1).

\aa)aa

8.A设在数列｛叫中，%=/(〃),则a1=/(l)=l,an<=24+1,从而an+l+l=2(%+1),故｛%+1｝

是首项和公比都是2的等比数列.由等比数列的通项公式可得4+1=2",则％=2"-1,故

loo

/(lOO)=«loo=2-l.

9.BCD由z+Z=0,得二=—1,则A错误.因为z；=W，所以，=2目，解得目=2或忖=0(舍去),

Z

则B正确.设2=a+bi(a,Z?GR,ji..厚0),则z1=z=a-bi，所以z】=a+Z?i=z,贝!JC正确.由|z+zj=0,

得Z］=-z.设2=a+bi(a,6GR,且a厚0),则21-z=-z-z=(a?+/)，=a2+b2,从而z】-z+目？=Q,

则D正确.

10.ACD分别取棱AiBi，AiDi的中点M,N,连接DM,DN,MN,易证MN//EF,DN//CE,则平面DMN

〃平面CEF.因为DP//平面CEF,且P是正方形ABCiDi内的动点，所以点P的轨迹是线段MN.因为

AiBi=AiDi=4,所以AiM=AiN=2.因为/MAiN=90°,所以MN=2后，则A正确.因为AP=JF7,所以点P

的轨迹是以Ai为圆心，1为半径的一个圆，则点P的轨迹长度为一x2万=2，则B错误.以A为坐标原点，

442

AB,AD,的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系.由题中数据可知

A(。，0,。)，C(4,4,。)，E(4,2,4),F(2,4,4),P(c°s0,s*4)(。"个，:区=(。，-2,4),赤=(2

——>-n-CE=-2y+4z=0,

0,4),AP=(cos0,sinO,4).设平面CEF的法向量为〃=(x,%z),则〈______,x=2得

n-CF=-2x+4z=0,

n-AP2后sin［，+：J+4

〃二(2,2,1).设直线AP与平面CEF所成的角为a,则sina二cos(〃,4P)

«||ZP-3V17

因为owe〈工，所以工红，所以走Wsin(，+工〕W1,所以

244424J

、6_2A/17

6<2&sin，+?+4<2孤+4,则sina故C正确.P是棱AiBi的中点，则4PEF

-3而一17

外接圆的圆心为正方形AiBiCiDi的中心Oi,半径为2.如图2,设OCh=x,则三棱锥P-CEF的外接球的半径

R满足A?=(4-x＞+(2应)3=必+22,解得氏2=2，从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是

4兀R?=41〃,故D正确.

7137711r

-----——(P—kyTC+-，左］GZ,41

11.AB由题意可得v(左1,k?wZ),即

3710)77r

—------F(P—左2肛左2£Z,

0=左—工］(左eZ).因为/(x)在上单调，所以32女—七=巴，所以72万，即如2万，

5＜2J63J2362a)

4(12

所以0＜。＜2,即0(一"一V2,解得一〈左＜3.因为kez,所以k=l或k=2或k=3.当k=l时，。=一，

5l2J25

^9=—,止匕时/(x)=3cos(2%+左］在—上单调递减,

故k=l符合题意;当k=2时，a>=—,

10(510JL63J5

7T167T\7127r71

(p-一，此时/(x)=3cos—x+—在—,——上单调递减，故k=2符合题意；当k=3时，刃=2,0=一，

10(510)［63」2

止匕时/(乃=3(：0512%+事71)在上不单调,

故k=3不符合题意.

2

12.—因为*2*5,所以仅—2寸=25,所以4U+4片=25.因为同=2同=4,所以

32

—»—*—»—»7,贝ijcos(a.4=i^^=7

42-4«-Z)+4x22=25,所以。力=—

432

13.52甲或乙参加A活动的情况有彳心+^^

Z；=28种，甲和乙都不参加A活动的情况有

C；（C；+C；）A：=24种，则他们参加活动的不同方案有28+24=52种.

14.x2+j2-2x-+1=0(或(x-1)2+(J-2)2=4)；V101

设M(x,y),则«-+1)+匚=后,整理得/+_/—2x—4了+1=0(或(x—iy+(y—2)2=4).设P(X],

在+(")2

X),则(x「2)2+y；=36,故21P旬=+1)?+y：=,4x：+8芭+4y：+4

=JX；+y；+20X]-8+3[(%-2『+y；=+10)+y；.

令C-10,0),则21Pzi+|P3|=|pq+|0548cl=JHH.

15.(1)证明：因为b(cosC+1)=c(2-cosB),所以sinBcosC+sinB=2sinC-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC............2分

因为A+B+C=71，所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC........4分

所以sinA+sinB=2sinC...........5分

由正弦定理可得a+b=2c.............................7分

95-V7

(2)解：因为cos。二一，所以5亩。=二^

1616

27

由余弦定理可得c?=/+〃—2/cosC,BPc2=36+b2--b,

4

则4c2=144+4/—27b.................................8分

因为。=6,所以6+b=2c,所以36+12b+Z?2=4c2,...............................9分

则144+462—276=36+126+/,即136+36=0，

解得6=4或b=911分

a=6,此时AABC的面积S=-absinC=-x4x6x汇=”也........12分

①当6=4时，

22164

a=6,此时AABC的面积S=/absinC=Lx6x9xK=.................於分

②当6=9时，

221616

16.解：（1）零假设为笈°：该校大学生是否喜欢跑步与性别无关.

100x(40x25—20xl5)_2450

根据列联表中的数据，计算得到/=x8.249>7.879=x4分

60x40x55x452970005

根据a=0.005的独立性检验，我们推断80不成立，即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯

错误的概率不大于0.0056分

⑵由题意可知抽取的男大学生有llx—=8人，女大学生有llx—^—=3人,

40+1540+15

则X的所有可能取值为0,1,2,38分

尸(X=o)=工=,，p(x=l)=^^=—10分

3355

c2c214c'c34

P(X=2)=-^^=—,P(X=3)=-m=JL12分

55C：165

所以X的分布列为

X0123

p728144

335555165

13分

7,28°14c412

E(X)=0x-----Fix-----l-2x-----l-3x-----=——15分

33555516511

17.⑴证明：记ACCBD=O,连接OP.

四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点.

因为PA=PC,所以OP_LAC1分

四边形ABCD是正方形，所以BD_LAC.

因为OP,BDu平面PBD,且OPnBD=O,所以AC_L平面PBD3分

因为PBu平面PBD,所以PB_LAC4分

(2)解：易证OB,OC,OP两两垂直，则以O为原点，OB,OC,而的方向分别为x,y,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=1,则OP=2-,所以P(0,0,2,),B(2-,0，0),D(——,0,0).5分

——(y/2⑹

因为PD，平面MAC,所以DP=--,0,一­是平面MAC的一个法向量6分

22

\7

由⑴可知BD_L平面PAC,所以BD=(-72,0,0)是平面PAC的一个法向量....7分

设二面角P-AC-M为6,由图可知6为锐角，

/一一、DPBD]

则cos0-cos<DP,BD)=_

\'DP\\BDV2xV22

故8=60。，即二面角P-AC-M的大小为60。.........9分

(3)解：假设在侧棱PC上存在一点N,使得BN//平面MAC,且CN=tCP(0<t<l).

设AD=1,则P(0,0,—),B(—,0,0),C(0,—,0),

所以第=[—交，也,o1,c?=fo,--...............10分

I22JI22J

因为国=/而所以

(Oftwi),CN=/CP=I0,-2-r,—2rJ,.

—•—•—.(亚亚m、

贝|J8N=8C+CN=-——....................12分

1221；2J

——(42⑹

由(2)可知——,0,——是平面MAC的一个法向量.

22

因为BN//平面MAC,所以。所以8N•。0=0,

贝U—工+之/=0,解得/=1，即国=」而，...................14分

2233

故PC：PN=3：2,即在侧棱PC上存在一点N,使得BN〃平面MAC,此时PC：PN=3：2....................15分

18.解：⑴设椭圆的焦距为2c,则F(c,0),F2(C,0).

2c4

当NFF2Q=90。时，c=l,tan/FQF2=——=一,满足题意.............1分

1.5c3

当NFEQMO。时，存1,设直线QFi的斜率为占=3，直线QF2的斜率为k,=—.

1+c1-c

1.51.5

tanZFiQF2=tan(ZQF2X-ZQFIF2)=~~,即-「三~

]+左左23111-51-53

1-c1+c

13

整理得4c2+9c—13=0,解得。=1或0=—

4

又W1，且c>0,所以没有c满足方程4c2+%-13=0.

综上，C=13分

1152

因为点Q(1,1.5)在椭圆C上，所以一Z-H-=1又。2=/+/,

ab

所以a=2,b=6,.................4分

22

所以C的方程为土+匕=1.........5分

43

j=Ax+1

⑵设M(X],%),N(X,y)>联立方程组《

223x2+4y2-12=0'

整理得(3+4左2)2+8fcc—8=0,.......6分

nl8k8八

则x1+x92=-------，MM=---------，...........7分

3+4左2123+4左2

由Bi(0,V3),B2(O,-百)，可得直线MBi的方程为x+G，直线NB2的方程为

X]

y=y^x-43.....................................8分

x2

则y-百_x2{yx-V3)_x2{kxx+1-\U)_kx^c2+(1-A/5)X2

10分

J+A/3xr(y2+A/3)xx{kx2+1+V3)kx^c2+(1+

=再+(2-A/3)x2_011分

解得y=3,故点P在定直线4：歹二3上............12分

设直线4与直线MBI,NBi的交点分别为E,F,

口,曰r(3-r(3-5/3)x?I八

易得E~上尹,3,F~~七^,3.........13分

I必-13)I%-13)

SMEF=工(3-=(6—36)一厂」.........14分

12、'y1-6y2-6H+1-6kxz+l-枢

,96+192左2

15分

12-673

>672-276-16分

当且仅当k=0时，等号成立，故直线MBi,NBi,乙围成的三角形面积的最小值为6五-2卡.……17分

1nY+dX+1

19.(1)解：(解法一)由题意可知/(x)的定义域为(0,+8),/，(x)=l++—=——--(%>0)……1分

XXX

设g(x)=%2+ax+l(x>°)，其中g(0尸L

①当—■!<(),即时，g(x)>0,所以/'(x)〉0,/(x)单调递增，所以当xe[l,+oo)时，

/(%)>/(1)=0,故满足题意；…….2分

②当一T〉。，且△=/—4<0,即一2<。<0时，g(x)>0,所以/'(x)20,/(x)单调递增，所以当

xe[l,+co)时，/(x)>/(1)=0,故一2<。<0满足题意；..........3分

③当——〉0,且A=M—4〉0,即2时，

2

设g(x)=0的两根为p；q,解得?+%〉]),

则当xe(l,q)时，g(x)<0,所以/'(x)<0,/(x)单调递减，

则/(x)</(l)=0,故。<—2不满足题意...........4分

综上，。的取值范围是[一2,+00)...................5分

177Y+(IX+1

(解法二)由题意可知/(x)的定义域为(0,+oo),f'(x)=1+4+-=(x>0).....1分

XXX

因为/(1)=0,/(x)>0(x>l),所以/'(l)=a+220,解得4