2019-2020学年新教材高中数学第4章指数对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则课时4积商幂的对数练习含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-课时4积、商、幂的对数知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是()A．logaM·logaN＝loga(M＋N)B.eq\f(logaM,logaN)＝loga(M－N)C．logaeq\r(m,Mn)＝logamMnD．logaM＝eq\f(log－2M,log－2a)答案C解析2．下列式子中：①lg(3＋2eq\r(2))－lg(3－2eq\r(2))＝0；②lg(10＋eq\r(99))·lg(10－eq\r(99))＝0；③logeq\r(n＋1)－eq\r(n)(eq\r(n＋1)＋eq\r(n))＝－1(n∈N*)；④eq\f(lga,lgb)＝lg(a－b)．其中正确的有________(填序号)．答案③解析lg(3＋2eq\r(2))－lg(3－2eq\r(2))＝lgeq\f(3＋2\r(2),3－2\r(2))＝lg(3＋2eq\r(2))2>0，故①错误．∵lg(10＋eq\r(99))≠0，lg(10－eq\r(99))≠0.∴lg(10＋eq\r(99))·lg(10－eq\r(99))≠0，故②错误．∵log(eq\r(n＋1)－eq\r(n))(eq\r(n＋1)＋eq\r(n))＝log(eq\r(n＋1)－eq\r(n))eq\f(1,\r(n＋1)－\r(n))＝－1，∴③正确．∵eq\f(lga,lgb)≠lg(a－b)，故④错误．知识点二对数式的计算、化简3.计算下列各式的值：(1)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；(2)lg500＋lgeq\f(8,5)－eq\f(1,2)lg64＋50(lg2＋lg5)2.解(1)原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log2eq\f(1,\r(2))＝－eq\f(1,2).4．计算：(1)lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2；(2)eq\f(\r(lg32－lg9＋1)lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg0.3×lg1.2).解(1)原式＝2lg5＋lg2×(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2(1＋lg5＋lg2)＝2lg5＋2lg2＝2.(2)原式＝eq\f(\r(lg32－2lg3＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2))),lg3－1×lg3＋2lg2－1)＝eq\f(1－lg3×\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3－1×lg3＋2lg2－1)＝－eq\f(3,2).易错点利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件5.设lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log4eq\f(x,y)的值为________．易错分析本题容易出现将对数式lgx＋lgy＝2lg(x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,x－2y>0.))从而误认为eq\f(x,y)＝4或eq\f(x,y)＝1，得出log4eq\f(x,y)＝1或0的错误答案．答案1正解由lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，得lg(xy)＝lg(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得eq\f(x,y)＝4或eq\f(x,y)＝1，∴log4eq\f(x,y)＝1或log4eq\f(x,y)＝0.又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴eq\f(x,y)≠1，即log4eq\f(x,y)≠0，∴log4eq\f(x,y)＝1.一、选择题1．(lg5)2＋lg2·lg5＋lg20的值是()A．0B．1C．2D．3答案C解析(lg5)2＋lg2·lg5＋lg20＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20＝lg5·lg10＋lg20＝lg5＋lg20＝lg100＝2.2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2 B．3a－(1＋a)2C．5a－2 D．－a2＋3a－1答案A解析log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.3．若lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x＝()A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3C.eq\f(ab2,c3) D.eq\f(2ab,3c)答案C解析∵lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lgeq\f(ab2,c3)，∴x＝eq\f(ab2,c3).故选C.4．若lgx＝m，lgy＝n，则lgeq\r(x)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,10)))2的值等于()A.eq\f(1,2)m－2n－2 B.eq\f(1,2)m－2n－1C.eq\f(1,2)m－2n＋1 D.eq\f(1,2)m－2n＋2答案D解析原式＝eq\f(1,2)lgx－2(lgy－lg10)＝eq\f(1,2)m－2n＋2.5．化简：log2eq\f(1,2)＋log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋…＋log2eq\f(31,32)等于()A．5 B．4C．－5 D．－4答案C解析原式＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝log2eq\f(1,32)＝－5.二、填空题答案eq\f(15,4)解析7．如果方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.答案eq\f(1,35)解析方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0可以看成关于lgx的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lgα，lgβ可以看成关于lgx的二次方程的两根．由根与系数的关系，得lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lgeq\f(1,35)，∴lg(αβ)＝lgα＋lgβ＝lgeq\f(1,35)，即αβ＝eq\f(1,35).8．已知log32＝a,3b＝5，则log3eq\r(30)用a，b表示为________．答案eq\f(1,2)(1＋a＋b)解析由a＝log32，b＝log35，得log3eq\r(30)＝eq\f(1,2)log330＝eq\f(1,2)(log35＋1＋log32)＝eq\f(1,2)(1＋a＋b)．三、解答题9．计算：eq\f(\f(1,2)lg27＋lg8－ln\r(e3),lg\f(6,5)).解原式＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),lg6－lg5)＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),lg2＋lg3－lg\f(10,2))＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).10．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8eq\f(y,x)的值．解原等式可化为loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，∴(x2＋4