中考数学重难点复习：平行线（四种模型）（解析版）

（中考数学复习）重难点01平行线（四种模型）（解析版）

重难点01平行线（四种模型）

目录

题型一：M型（含锯齿形）

题型二：笔尖型

题型三：〃鸡翅”型

题型四：“骨折”型

［二朝方法

模型一：M模型

如图，若AB//CD,你能确定NB、ND与NBED的大小关系吗？

理由如下：

过点E作EF//AB

又AB//CD.

EF//CD.

ZD=ZDEF.ZB=ZBEF.

ZB+ZD=ZBEF+ZDEF=ZDEB

即

模型二、笔尖型

如图,AB//CD,探索NB、ND与NDEB的大小关系？

CD

解：ZB+ZD+ZDEB=360°.

理由如下：

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过点E作EF//AB.

又VAB//CD.

.•.EF//CD,

ZB+ZBEF=180°.

ZD+ZDEF=180".

ZB+ZD+ZDEB

=ZB+ZD+ZBEF+ZDEF=360°.

PPZB+ZD+ZDEB=360°.

模型三、“鸡翅”型

如图，已知AB〃CD,试猜想NA、NE、ZC的关系，并说明理由.

解：ZAEC=ZA-ZC,

理由如下：

过点E作EF//AB

又VAB//CD.

.,.EF//CD.

ZA+ZFEA=180°,

ZC+ZFEC=180°

NAEC=ZFEC-ZFEA

=180°-ZC-(180°-ZA)

=NA-/C

即：ZAEC=ZA-ZC

模型四、“骨折模型”

如图，已知BC〃DE,试猜想NA、NB、ZD的关系，并说明理由.

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理由如下：

过点A作AG//BC

又VCB//DE.

.,.AG//DE

AZGAB+ZB=180°,

ZGAD+ZD=180°

ZBAD=ZGAB-ZGAD

=180°-ZB-（180°-ZD）

=ZD-ZB

即：ZBAD=ZD-ZB

注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！

Q能力拓展

题型一：M型（含锯齿形）

一、填空题

1.（2023春•七年级课时练习）如图，已知N8〃°,BE平分/ABCtDE平分NADC,NBAD=80。,

/BCD=n°,则/BED的度数为.（用含〃的式子表示）

40°+-«°

【答案】2

【分析】首先过点£作瓦?〃//由平行线的传递性得/8〃如斯，再根据两直线平行，内错角相等，得

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ZABE=—n°

出/砥？=方，NA4O=440c=80。，由角平分线的定义得出2，/EDC=40。，再由两直

ZBEF=ZABE=-n°-八…

线平行，内错角相等得出2/EED=/E0C=4O。，由=尸+/五四即可得出答

案.

【详解】解：如图，过点£作打〃N3,则43〃如EF,

■：AB//CD

,•,/BCD=AABC=rp,ZBAD=ZADC=80°,

又BE平分NABC,DE平分/ADC,

ZABE=-ZABC=-n°

22.

ZEDC=-ZADC=」x80。=40°

22

•­ABIIOFCD

ZBEF=ZABE=-n°

2,

/FED=NEDC=40°

/BED=/FED+NBEF=40°+-n°

2,

40°+-M°

故答案为：2.

【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,解题关键是作出正确的辅助线,掌握平行线的性质和角

平分线的定义.

二、解答题

2.（2023春•七年级课时练习）如图，ABHCD，点£在直线加切内部,且/E1CE.

⑴如图1,连接4。若/£平分/A4。，求证：CE平分//CO；

⑵如图2,点〃在线段四上,

①若NMCE=NECD,当直角顶点£移动时，/胡£与乙欣⑦是否存在确定的数量关系?并说明理由；

ZMCE=-ZECD八,…

②若"（〃为正整数），当直角顶点£移动时，/民4£与/MCZ）是否存在确定的数量关系?并说

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明理由.

1

【答案】⑴见解析；（2）①/胡研5/加氏90°,理由见解析;②/胡研”+1/加%90°,理由见解析.

【分析】（1）根据平行的性质可得/掰。NM=180°,再根据NE'CE可得/用。/£0=90°,根据4?平

分/为C可得/掰后/矶C等量代换可得/阅出N初俏90°,继而求得/次妾/£窗；

（2）①过£作EF//AB,先利用平行线的传递性得出EF//AB//CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案;

②过£作EF//AB,先利用平行线的传递性得出外〃勿再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.

【详解】（1）解：因为43〃c。，

所以/陶价NM=180°,

因为/£_LCE,

所以/以什/£窃=90°,

因为四平分/&C

所以N必田/初C

所以/掰昌/比层90°,

所以N周什/比层90°,

所以NDC/NECA,

所以CE平■分/ACD;

（2）①/掰£与/加力存在确定的数量关系：/BAE+5/MC庐9。；

理由如下：过£作）〃4?,

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•:AB"CD,

：.EF//AB//CD,

：./BA斤/AEF,/FEO/DCE,

VZ^90°,

:./BAE+/EC庐90°,

■:/MC&/ECD,

J_

:./BAE+5/MCD^G。;

n

②N^£与/觥力存在确定的数量关系：N为历〃+1N肱》90°,

理由如下：过E悴EF〃AB,

-：AB//CD,

：.EF//AB//CD,

:・/BA斤/AEF,4FEO/DCE,

VZ^=90°,

:./BAE+/EC庐,

]_

・：/MC皆n/ECD,

n

:.NBAE”+lNMCD=9Q°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义,解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.

3.（2023春•七年级课时练习）如图：

⑴如图1,AB//CDt//BE=45。，NCDE=21。，直接写出/B即的度数.

⑵如图2,〃CD,点E为直线AB,。间的一点，B尸平分ZABE,DF平分NCDE,写出ABED与ZF之

间的关系并说明理由.

⑶如图3,与CD相交于点G,点£为NBGD内一点，跖平分/4BE,DF平分ACDE,若ZBGD=60。，

NBFD=95°,直接写出/BED的度数.

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【答案】（1）/应氏66°;

（2）/9站2见解析；

⑶/质的度数为130°.

【分析】⑴首先作哥1〃曲根据直线勿可得所以//吠/1=45°,/吵/2=21°,据此推

得/应氏/1+/2=66°;

（2）首先作EG//AB,延长龙交筋于点H,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到/应氏2/户;

⑶延长如交4?于点〃延长制到7,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到/戚的度数为

130°.

【详解】⑴解：⑴如图，作瓦/加

•.•直线1〃勿

：.EF//CD,

法Nl=45°,/CZ^N2=21°,

鹿场/l+/2=66°;

(2)解：ABED=2ZF,

理由是：过点、E作EG〃AB,延长DE交BF千点、H,

'：AB//CD,：.AB//CD//EG,

.\Z5=Z1+Z2,Z6=Z3+Z4,

又：哥'平分//典DF平■分■Z.CDE,

/.Z2=Z1,Z3=Z4,则/5=2N2,Z6=2Z3,

Z,S£»=2(Z2+Z3),

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又//4/3=/幽ZBHIhA^ZBED,

：.N3+/2+N百/BED,

综上/庞氏/尸42/庞〃即/庞庐2/6；

⑶解：延长加交相于点〃延长〃到，

■:/BGD=6Q°,

/.Z3=Zl+Z^fi9=Zl+60°,Z5fi9=Z2+Z3=Z2+Zl+60°=95°,

；.N2+/1=35°,即2(N2+N1)=70°,

■:BF平分/ABE,DF平■分4CDE,

：.NAB4242,4CD424\,

：.ABEI=ZABE+/BGF2/2+/BGE,/DE1=2CDE+/DG方2/\+2DGE,

庞庐/庞斤/颇=2(N2+Nl)+(竭/〃㈤=70°+60°=130°,

庞。的度数为130。.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,三角形的外角性质等知识,掌握平行线的判定和性质，正确添加

辅助线是解题关键.

4.(2023春•七年级课时练习)问题情境：如图①，直线/3〃")，点£尸分别在直线//切上.

⑴猜想：若4=130°,22=150。，试猜想々=。；

(2)探究：在图①中探究N1,/2,一尸之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展：将图①变为图②,若/l+/2=325。，/E尸G=75。，求“G尸的度数.

【答案】⑴8。°

⑵/尸=360。-/I-/2；证明见详解

⑶140。

【分析】(1)过点尸作出〃/3,利用平行的性质就可以求角度,解决此问；

(2)利用平行线的性质求位置角的数量关系,就可以解决此问；

(3)分别过点尸、点G作“N〃/3、KR〃/8,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可.

【详解】(D解：如图过点尸作出〃48,

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•*•AB//CD>

:.AB〃MNCD.

,•,/l+/E/W=180。，

+NFPN=.

•••Zl=130，°Z2=150，°

.・・Z1+Z2+4EPN+ZFPN=360°

.・・ZEPN+FPN=360°-130o-150o=80°.

•••ZP=ZEPN+ZFPN,

AZ7^80°.

故答案为：80。；

⑵解：/尸=360。-理由如下：

如图过点P作“N〃/8,

••AB〃CD

:.AB〃MNCD.

,•,/l+/EPN=180。，

N2+N/7W=180。.

.・・Z1+Z2+ZEPN+ZFPN=360°

••ZEPN+AFPN=AP

/尸=360。-/I-N2.

⑶如图分别过点尸、点G作MN〃/8、KR//AB

••AB//CD

:.AB//M泗KRCD.

,•,Zl+ZEPN=180°，

/NPG+/PGR=l800

/EGb+22=180。.

.・.Z1+ZEPN+ZNPG+/PGR+RGF+Z2=540°

・.・ZEPG=ZEPN+ZNPG=75°

/PGR+/RGF=NPGF

Zl+Z2=325°>

ZPGF+Z1+Z2+ZEPG=540°

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ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案为：140。.

【点睛】本题考查了平行线的性质定理,准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键.

5.（2023春•七年级课时练习）已知直线。〃队直线外分别与直线a,力相交于点££点46分别在直线a,b

上,且在直线砂的左侧，点户是直线露上一动点（不与点E,尸重合），设

/B4£=/l,NAPB=N2,Z.PBF=43.

⑴如图1,当点尸在线段E尸上运动时,试说明/1+N3=N2;

（2）当点尸在线段灰外运动时有两种情况.

①如图2写出Nl,Z2,N3之间的关系并给出证明；

②如图3所示,猜想/I,Z2,Z3之间的关系（不要求证明）.

【答案】（1）证明见详解

⑵①E3=D1+D2；证明见详解;②Z1=/2+/3；证明见详解

【分析】（1）如图4过点尸作PC〃气利用平行线的传递性可知尸C〃/牝根据平行线的性质可知

/I=/4PC,Z3=/BPC,根据等量代换就可以得出/2=/I+/3；

⑵①如图5过点尸作尸。〃。，利用平行线的传递性可知PC"H6,根据平行线的性质可知=ZBPC,

/I=//PC,根据等量代换就可以得出£）3=D1+D2；

②如图6过点尸作尸C〃气利用平行线的传递性可知PC//6/b,根据平行线的性质可知N1=ZAPCt

/3=NBPC,根据等量代换就可以得出/1=/2+/3.

【详解】（1）1?：如图4所示：过点尸作尸C〃a,

a//b

：9PC//b

；/=/APC,/3=/BPC,

・：/2=/4PC+/BPC,

.../2=/l+/3；

（2）解：①如图5过点尸作尸C〃a,

a//b

.♦.PC〃/b

:•氏NBPC,Nl=NAPC,

・：/BPC=N2+/APC,

...B3=B1+E）2；

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②如图6过点尸作尸C〃a,

a//b

.•.PC〃/b

・•・Z1=ZAPC,Z3=ZBPC,

・•・,/APC=/2+/BPC

Z1=Z2+Z3.

【点睛】本题利用"猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系,准确的作出辅助线

和找到对应的内错角是解决本题的关键.

6.（2023春•七年级课时练习）已知直线2W/M鳍是截线，点〃在直线/反切之间.

（1）如图1,连接磁弧求证：/AGM+/CHM;

（2）如图2,在NG/的角平分线上取两点欣Q,使得/4GM=/HGQ.试判断/〃与NG例之间的数量关系，并

说明理由.

【答案】（1）证明见详解

⑵NGQH=180。-NM；理由见详解

【分析】（1）过点M作肱V〃/3,由A8〃CD,可知〃翘CD.由此可知：/AGM=/GMN,

NCHM=ZHMN，故//GM+ZCHM=ZGMN+ZHMN=ZM.

（2）由⑴可知+再由=//倒仁/以泡可知：

/M=/HG0+/G必f,利用三角形内角和是RO。，可得NG2〃=18（r_NM.

解：如图：过点〃作肠V〃力力

,-•MN//aBCD，

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,­,ZAGM=ZGMN,ZCHM=AHMN,

•・•ZM=ZGMN+ZHMN,

.・・ZM=ZAGM+ZCHM.

(2)解：NG"=180。—/〃，理由如下:

如图：过点m作"N〃48,

由(1)知ZM=ZAGM+ZCHM,

•:HM平分4GHC,

•­Z•CHM=ZGHM，

'：/AGM=/HGQ,

...NM=ZHGQ+ZGHM

...ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°

...ZGQH=180°-ZM

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键,同时这

也是比较常见的几何模型"猪蹄模型”的应用.

7.（2023春•全国•七年级专题练习）阅读下面内容,并解答问题.

已知：如图1,，直线EF分别交,CD于点£,NBEF的平分线与NDFE的平分线交于

点G.

（1）求证：EG工FG；

（2）填空,并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择—题.

①在图1的基础上,分别作NBEG的平分线与NDFG的平分线交于点M,得到图2,则NEMF的度数为

②如图3,WCR直线E尸分别交N5,CD于点E,厂.点°在直线。之间，且在直线E尸右侧，

/BEO的平分线与NDFO的平分线交于点P,则AEOF与ZEPF满足的数量关系为—.

【答案】（1）见解析

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（2）①45°；②结论：AEOF=2AEPF

【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；

⑵①利用基本结论“MF=ZBEM+ZMFD求解即可;②利用基本结论NEOF=NBEO+NDFO,

ZEPF=NBEP+ND",求解即可.

【详解】⑴证明：如图，过G作G“口力巴

ABQCD

>

/.ABHGHUCD

>

；.NBEG=NEGH,NDFG=/FGH

.../BEF+NDFE=180。

EG平分NBEF,FG平分ZDFE,

NGEB=-ZBEFZGFD=-ZDFE

2，2，

NGEB+ZGFD=-ZBEF+-ZDFE=-（ZBEF+NDFE）=90°

一,

在/\£尸6中，ZGEF+ZGFE+ZG=180°?

/.ZEGF=NGEB+ZGFD=90°

EGLFG-

⑵解：①如图2中，由题意，ZBEG+N。尸G=90。，

EM平分/BEG,MF平分NDFG,

NBEM+ZMFD=-（ZBEG+NDFG）=45°

一,

/./EMF=ZBEM+/MFD=45°

故答案为：45°；

②结论：NEOF=2NEPF.

理由：如图3中，由题意，NEOF=NBEO+ZDFOtNEPF=NBEP+NDFP,

PE平分NBEO,PF平分ZDFO,

NBEO=1/.BEP，NDFO=2NDFP，

/EOF=2/EPF

故答案为：NEOF=2NEPF.

【点睛】本题考查平行线的性质和判定,角平分线的性质，垂直的定义,解题的关键是熟练掌握相关的性

质.

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8.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图1,/尸/3=130。，/尸CD=120。，求//PC的度数.小

明的思路是：如图2,过P作PE//AB,通过平行线性质可求//PC的度数.

（1）请你按小明的思路,写出/'PC度数的求解过程;

⑵如图3,/引/8,点户在直线8。上运动，记=/尸。。=/4

①当点P在线段8。上运动时,则//PC与/a、/B之间有何数量关系?请说明理由；

②若点P不在线段BD上运动时,请直接写出//PC与/a、4之间的数量关系.

【答案】⑴见解析；⑵①ZAPC=*+也见解析;②4Ape=々-"I

【分析】（1）过尸作PEHAB,利用平行线的性质即可得出答案；

（2）①过P作PEHAB,再利用平行线的性质即可得出答案•，②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情

况进行讨论,结合平行线的性质即可得出答案

【详解】解：⑴如图2,过P作PEHAB

QABIICD

PEHABHCD

/.ZPAB+AAPE=\^°

/PCD+/CPE=18G0

vZPAB=1300，ZPCZ>=120°，

:"APE=50。，NCPE=60。，

ZAPC=NAPE+NCPE=110°

⑵①、"=

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理由：如图3,过产作

QAB//CD

/.ABIIPEIICD

:.Nci=NAPE，〃=，

NAPC=NAPE+ZCPE=Za+Z/?.

②ZAPC=\Za-Z/3\

如备用图1,当尸在8。延长线上时，"PC=Na-/4；

理由：如备用图1,过户作PG为8,

QiABIICD

/.ABHPGHCD

:.Za=ZAPG，2。=NCPG，

ZAPC=ZAPG-ZCPG=

如备用图2所示,当尸在延长线上时，=；

理由：如备用图2,过户作尸G%3,

QAB//CD

ABUPGUCD

:.Za=ZAPG，Z/3=ZCPG，

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NAPC=ZCPG-ZAPG=/£一/a.

综上所述，"PC引"一”.

【点睛】本题考查的是平行线的性质,解题的关键是过尸作尸£/"8.

9.（2023春•七年级课时练习）请在横线上填上合适的内容.

⑴如图⑴己知〃8,则^B+ZD=/BED.

解：过点£作直线

：.NFEB=（）.（）

AB//CDEF//AB,

/.（）//（）.（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）

:4FED=1）.（）.

/B+/D=NBEF+ZFED.

/.NB+ND=NBED.

⑵如图②,如果4B//CD,则/B+/BED+ZZ）=（）

【答案】（1）/区两直线平行，内错角相等,EF,CD,两直线平行，内错角相等；

（2）360°

【分析】⑴过点£作直线哥”451，则/在生/应继而由庚〃切可得/9=/〃所以

4B+/2/BER4FED,即/班N氏/戚；

⑵过点£作直线用〃曲则/圈外/户180°,继而由打〃切可得/在沙/氏180°.所以

/班/薇叶/JW=360°，即/班/应9■/氏360°.

【详解】解：⑴解：过点£作直线第〃居.

氏（两直线平行，内错角相等）

'：AB//CD,EF//AB,

：.哥、〃5（如果两条直线和第三条直线平行,那么这两直线平行）.

：./FE2ND（两直线平行，内错角相等）.

/及4FNBEF+2FED.

：.NB+/D=2BED.

故答案为：/B,两直线平行，内错角相等,EF,CD,AD,两直线平行，内错角相等；

⑵解：过点£作直线如〃如图.

“/庐180°.两直线平行，内错角相等）.

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'：AB//CD,EF//AB,

：.EF//5（如果两条直线和第三条直线平行,那么这两直线平行）.

N曲/氏180°（两直线平行，内错角相等）.

：./孙■/决4BEF+/FED=360°.

:./孙/BE况/D=360°.

故答案为：360°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键.

10.（2023春•七年级课时练习）如图1,44/勿£是/旦切之间的一点.

图1图2图3

（1）判定/掰笈应与//初之间的数量关系,并证明你的结论；

（2）如图2,若/掰£应的角平分线交于点内直接写出与/力切之间的数量关系；

（3）将图2中的射线2c沿"翻折交"'于点G得图3,若N40的余角等于2/£的补角，求/力£的大小.

［答案］（1）ZBAE+ZCDE=ZAED.

ZAFD=-ZAED

⑵2；

（3）ZBAE=60°

【分析】⑴作庚〃相，如图1,则必〃/利用平行线的性质得/1=N协£/2=/0我从而得到

ABAE+ZCD^ZAED

（2）如图2,由（1）的结论得/加次万ZBAE,/①伫万ZCDE,则//吩万（/54a/松，加上⑴的结论得到

4AFD=32AED;

⑶由⑴的结论得//吩/的4/切G,利用折叠性质得/缪我再利用等量代换得到//吩2//勿

3

万/掰£加上90°-//6氏180°-2//必从而计算出/胡£的度数.

【详解】/BAE+/CD氏/AED

理由如下：

作分7〃//如图1

'：AB//CD

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：.EF//CD

BAE,乙2:4CDE

：.ZBAE+ZCDE^AAED

（2）如图2,由（1）的结论得

AAFD=ZBAF+ZCDF

•：NBAE、/侬的两条平分线交于点6

2x

:./BA氏3ABAE,ACDF^.ZCDE

降万（/BAE+/CDa

•：4BAE+4CD偿4AED

2

/.NAFD=3AAED

（3）由⑴的结论得的

而射线DC沿座翻折交/尸于点G

:"CD4NCDF

113

:.NAGD=4BAR4/CD23Z.BAE+2/CD龈ZBAE+2（ZAED-ABAS）=2AAED-2Z.BAE

V90°-//。180°-2ZAED

3

；.90°~2ZAED^ZBA^180°-2ZAED

，/掰良60。

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行，同旁内角互补;两直线平行，内错

角相等.

11.（2023春•七年级课时练习）已知AB//CD.

⑴如图1,£为幽切之间一点,连接能应;得到/质.求证：/幽”/班/〃；

⑵如图,连接AD,BC,BF平分/ABC,DF平■分4ADC,且BF,如所在的直线交于点F.

①如图2,当点方在点4的左侧时，若//比'=50°,//%=60°,求/〃。的度数.

②如图3,当点6在点A的右侧时,设a,/ADC=B，请你求出/班》的度数.（用含有a,B的式子

表示）

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图3

【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可;

（2）①如图2,过点F作FE//AB，当点B在点A的左侧时,根据乙4BC=50。，/ADC=60°,根据平行线的性

质及角平分线的定义即可求/2即的度数;

②如图3,过点E作EF///B,当点8在点A的右侧时，N4BC=a,//℃=/,根据平行线的性质及角平分

线的定义即可求出NBFD的度数.

【详解】解：⑴如图1,过点E作跖///氏

图1

则有4跖=4,

vAB//CD

:.EF//CD

:.ZFED=ZD}

/BED=ZBEF+/FED=ZB+ZD-

⑵①如图2,过点F作FE//AB,

有/BFE=ZFBA.

vABI/CD

:.EF!/CD

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/.ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=ZFBA+ZFDC,

BF平分NABCDF平分ZADC,

/.ZFBA=-/ABC=25°ZFDC=-ZADC=30°

2，2，

NBFD=ZFBA+ZFDC=55°.

答：乙BED的度数为55。；

②如图3,过点尸作FE///2,

4B

DC

图3

有ZBFE+ZFBA=180°.

/BFE=180。一/FBA

vAB//CD

:.EF//CD.

/.ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-ZFBA+ZFDC.

即/BFD=180。—ZFBA+ZFDC,

BF平分NABC,DF平分ZADC,

:.AFBA=-AABC=-a/FDcJ/ADcJ。

22，22，

:.ZBFD=lSO°-ZFBA+ZFDC=18O°-^a+^/3

180°--（z+-^

答：/ATO的度数为22.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

12.（2023春•七年级课时练习）已知徽点〃在"上，点儿在切上.

（1）如图1中，NBME、/£、/品?的数量关系为：;（不需要证明）

如图2中，/6妒、/F、的数量关系为：;（不需要证明）

⑵如图3中,超平分奶平分/磁;且2/£+//=180°,求/砸1的度数；

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⑶如图4中，NBME=60°,EF平■分乙MEN,NP平■6/END,且EQ//NP,则/版的大小是否发生变化,若变化,

请说明理由，若不变化，求出/比0的度数.

【答案】（X）4BME=/MEN-/END;/BMF=4MFN+/FND-，②\20°;（3）不变,30°

【分析】（1）过£作EH//AB,易得EH//AB//CD,根据平行线的性质可求解;过户作FH//AB,易得FH//AB//CD,

根据平行线的性质可求解；

（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（/掰升/硼?）+/用e//W=180°，可求解/川批60°,进而可

求解；

（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知N在0万ABME,进而可求解.

【详解】解：⑴过夕作曲〃丝如图1,

:・/BME=/MEH,

9：AB//CD,

:.HE"CD,

：./END=/HEN,

：,/MEN=ZMEH+/HEN=ZBME+/END,

郎4BME=4MEN-ZEND.

如图2,过分作制〃必

:・/BMF=/MFK,

'：AB//CD,

：.FH//CD,

：.AFND=AKFN,

:・/MFN=/MFK-ZKFN=ABMF-/FND,

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即：2BMF=/MFN+/FND.

图2

故答案为/腌=/〃皿-/END;ABMF=ZMFN+AFND.

②由(。得/BME=/MEN-/END;NBMF=NMFN+/FND.

■:NE平■货乙FND,MB平■殳4FME,

：.NFME=/BME+ABMF,4FND=AFNE+/END,

.：2Z_MENWMFN=18S,

：.2叱BME+/END)+/BMF-NFNg\3Q°,

：.24BME+24END+4BMF-Z.FND=\30°,

於2/BMF+/FND+/BMF-/FNA\BQ°,

解得/颇'=60°,

:./FME=2/BMF=120°;

⑶/战的大小没发生变化，/冏片30°.

由(1)知：2MEN=/BME+/END,

■:EF平分/MEN,NP平■分■匕END,

/.4FEN=24MEN=2(/BME+4END),/ENP=2/END,

'：EQ//NP,

：.ANEQ=AENP,

j__L

/./FEQ=/FEN-4NEQ=2叱BME+/END)-2/END=2ABME,

■:/BME=60°,

：.AFEQ=^-X60°=30°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义,作平行线的辅助线是解题的关键.

13.(2023春•七年级课时练习)如图1,点A、8分别在直线G”、MN上，ZGAC=ZNBD,=ZD

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图1图2图3

⑴求证：GH//MN提示:可延长NC交于点尸进行证明）

（2）如图2,/£平分/GZC,DE平分4BOC,若乙4EQ=/G/C,求/G/C与//CD之间的数量关系；

ZKAG=-ZGAC

⑶在⑵的条件下，如图3,"平分点K在射线3F上，3，若//K8=//CD,直接

写出/GZC的度数.

（540Y[540]°

【答案】⑴见解析；⑵4cO=3NG4C,见解析；（3）119）或123J.

【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；

（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到乙4QOMNE+NE/。，结合平行线的性质得到

NBOQ=NE+N"Q,再根据角平分线的定义证得/CD8=2/E+/G/C,结合已知即可得出结论；

（3）分当K在直线G”下方和当K在直线G"上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线

定义求解即可.

【详解】解：（1）如图1,延长/c交MV于点尸，

图1

•••ZACD=ZC,

,•,AP//BD，

•­•ZNBD=ZNPA，

•••ZGAC=ZNB,D

•­Z,GAC=ZNPA，

•••GH//MN，.

⑵延长ZC交九加于点P,交DE于点0,

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图2

••NE+NEAQ+NAQE=180°NAQE+ZAQD=180°

•，，

.・.ZAQD=ZE+ZEAQ

・・APIIBD

,ZAQD=ABDQ

.・.ZBDQ=ZE+ZEAQ

・.•/E平分/G/C,DE平分/BDC,

.・・ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ

,•,ZCDB=2ZE+ZGAC，

・•・NAED=NGAC，/ACD=/CDB，

,­•ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC，.

⑶当K在直线GH下方时,如图,设射线BF交GH于I,

•••GH//MN,

AAIB=ZFBM,

BF平分ZMBD,

/.DBF=NFBM=-(180°-NDBN)

,,2,

.・.ZAIB=/DBF,

•••ZAIB+ZKAG=ZAKB,ZAKB=/ACD

,­,ZACD=ZDBF+ZKAG，

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ZKAG=-ZGAC

3，ZGAC=ZNBD，

g/G/C+1(180°-NDBN)=ZACD=3ZGAC

-ZGAC+90°--ZGAC=3ZGAC

即32

540

ZGAC=

19~

解得：

=-(1800-ZDBN)=ZAKB+ZKAG

当K在直线GH上方时,如图，同理可证得2

3ZGAC+-ZGAC=-(180°-NGAC)

则有32,

综上，故答案为1191或123）.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平

角定义、角度的运算,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

14.（2023春•七年级课时练习）已知AB//CD,//龙的角分线与/侬的角分线相交于点F.

⑴如图1,若肱如分别是//郎和/物的角平分线,且/族=100°，求/〃的度数；

⑵如图2,若/ABF,ZCDM^ACDF,/BEAa°,求/〃的度数；

（3）若/月酬三〃/ABF,Z.CDM=n/0我请直接写出/〃与/版之间的数量关系.

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360。--

【答案】（1）65°（2）6（3）2〃/册/瓦炉360°

【分析】（1）首先作尾〃4?,方〃/旦利用平行线的性质可得//册/%260。，再利用角平分线的定义得

到/厮庐130。，从而得到/弧?的度数,再根据角平分线的定义可求/〃的度数；

（2）先由已知得到//g6N/飒/CDE=6/CDM,由（1）得//册片360°-ABED,/旭/AB岭/CDM,等量

代换即可求解；

（3）先由已知得至尸=2CDF="NCDM,由（2）的方法可得到2〃/炉/9=360°.

【详解】解:⑴如图1,作EG//48,切〃

图1

­••AB//CD,

,-,EG//FHCD，

,•,ZABF=ZBFH，NCDF=NDFH，NABE+NBEG=180°，NGED+NCDE=180°

,•,ZABE+ZBEG+AGED+ZCDE=360°，

・•・/BED=/BEG+ZDEG=100,°

,・,ZABE+ZCDE=260°，

・・・NABE的角平分线和"DE的角平分线相交于F,

,・•/ABF+NCDF=130。，

,",ZBFD=ABFH+ZDFH=130°，

VBM、DM