2024-2025学年八年级数学上册：三角形全等几何模型（手拉手）专项练习

专题1.12三角形全等几何模型（手拉手）（专项练习）

一、单选题

1.如图，C为线段NE上一动点（不与点A,E重合），在/E同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点、P,BE与CD交于点、Q,连结

PQ.以下结论错误的是（）

B

E

A.A405=60°B.AP=BQ

C.PQUED.DE=DP

2.如图，在△0/8和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,zAOB=^COD=40°,连接

AC,BD交于点、M,连接（W,下列结论：

①AAOCMBOD；②AC=BD；③4Affl=40°；④河。平分A8A/C.

其中正确的个数为（）

A

A.4B.3C.2D.1

3.如图，己知A42c与都是等边三角形，点、B、C、。在同一条直线上，4D与BE

相交于点G,8E与/C相交于点尸，与CE相交于点况则下列结论①A4CD三△8CE

②乙4G2=60。③虾=/»④△CW是等边三角形⑤连CG,贝此2GC=ZDGC.其中正确

的个数是（）

试卷第1页，共6页

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

4.如图，C为线段ZE上一动点（不与点/、E重合），在NE同侧分别作正和正

xCDE,AD与BE交于点、O,AD与BC交于点、P,BE与C。交于点。，连接尸。.以下五个

结论：®AD=BE；@PQ//AE.③4P=3°；@DE=DP；⑤N/O8=60°.

恒成立的结论有.（把你认为正确的序号都填上）

5.已知：如图，正方形N8C。中，对角线/C和5。相交于点O,E、/分别是边力。、CD

上的点，若4E=4cm,CF=3cm,5.OELOF,连接斯，则£尸的长为.

6.在A48C中，//。8=90。,/8=60。,N3=4,点。是直线8c上一动点，连接N。，在直

线的右侧作等边△NOE,连接CE,当线段CE的长度最小时，线段C。的长度为

7.如图，在放ZV18C中，48c=90。，N8=3C,点。为三角形右侧外一点.且乙BOC=

9

45°.连接4。，若A4C。的面积为三，则线段C。的长度为

O

试卷第2页，共6页

D

8.如图，CA=CB,CD=CE,zACB=zDCE=50°,AD、BE交于点H,连接CH,则

ZCHE=

9.如图，ZDAB=ZEAC=60°,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,4B和CD相

交于P,则的度数是

10.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE

和正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：

①BG=CE；@BG1CE；③AM是4AEG的中线；（4）zEAM=zABC.其中正确的

是.

试卷第3页，共6页

三、解答题

11.如图，已知/BAD=NC4E,AB=AD,AC=AE,求证：ZB=ZD.

12.如图，A48C和都是等边三角形，连接CD.求证：AE=CD.

13.如图，己知。3c是等腰直角三角形，动点尸在斜边48所在的直线上，以PC为直角

边作等腰直角△尸C0,其中NPCQ=90。，探究并解决下列问题：

(1)如图1,若点尸在线段43上时，猜想尸T，PB"尸行三者之间的数量关系，并证明你

的结论；

(2)如图2,若点尸在的延长线上，在(1)中所猜想的尸牙，PB。,PQ2三者之间的数量

关系仍然成立，请利用图2进行证明.

14.如图，4ACB和4DCE均为等腰三角形，ZACB=ZDCE=9O°,点A,D,E在同一条直

线上，连接BE.

(1)求证：AD=BE；

(2)若NCAE=15。，AD=4,求AB的长.

试卷第4页，共6页

15.在A48C中，=点。是直线3C上一点，连接40,以4D为边向右作△4DE,

使得ZDAE=ABAC,连接CE.

⑴①如图1,求证：AABD沿AACE；

②当点。在3c边上时，请直接写出A/8C,4CD,的面积(S/Bc，S./8,

S^ACE)所满足的关系;

(2)当点。在3c的延长线上时，试探究。3C,"CD,的面积(S.ABC，SAACD,

S.ACE)所满足的关系，并说明理由.

16.如图，在A/BC中，ZC=90°,/C=8C,点。是48中点，AMON=90°,将NMON

⑴当NMON转动至如图一所示的位置时，连接CO,求证：^COD=^BOE；

(2)当/MCW转动至如图二所示的位置时，线段CD、CE、/C之间有怎样的数量关系？请

说明理由.

17.如图，“8C和A£Q)都是等边三角形，直线4E,BD交于点F.

试卷第5页，共6页

(1)如图1,当/,C,。三点在同一直线上时，乙4必的度数为,线段/£与AD的数

量关系为.

⑵如图2,当AECD绕点C顺时针旋转a(O”eV36O。)时，(1)中的结论是否还成立？若

不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明.

(3)若4C=4,CD=3,当AECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出8。长的取值范

围.

18.已知在中，AB=AC,过点8引一条射线。是8M上一点

【问题解决】

(1)如图1,若N/8C=60。，射线8M在//3C内部，N4DB=60°,求证：ZBDC=60°,小

明同学展示的做法是：在即/上取一点£使得=通过已知的条件，从而求得NBDC

的度数，请你帮助小明写出证明过程；

【类比探究】

(2)如图2,已知NABC=ZADB=30°.

①当射线8M在//8C内，求NADC的度数

②当射线8W在3c下方，如图3所示，请问Z8OC的度数会变化吗?若不变，请说明理由,

若改变，请求出的度数；

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】利用等边三角形的性质，BCWDE,再根据平行线的性质得到NC3E=NDE0,于是

UOB=4DAC+乙BEC=4BEC+乙DEO=3EC=60°,得出A正确；^^ACQB=ACPA(ASA),

得出B正确；由AACDmABCE彳导乙CBE=5AC,加之乙1C2=〃)C£=6O。，AC=BC,得到

ACQB=ACPA(ASA),再根据NPC0=6O。推出△PCQ为等边三角形，又由乙P0C=zZ>C£,

根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据NCDE=60。，

ADQE=^ECQ+/LCEQ=60°+^CEQ,可矢口屏NCDE,得出D错误.

【详解】解：,•,等边人43。和等边△CDE,

：.AC=BC,CD=CE,UCB=zJ)CE=60。,

；.UCB+乙BCD=ADCE+乙BCD,即AACD=^BCE,

在△/CD与△8CE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

■■.AACD=ABCE(SAS),

：./-CBE=/-DAC,

又•：UCB=LDCE=60°,

.­.ABCD=60°,即乙4cp=N8CQ,

又;AC=BC,

在△CQ8与4CPA中，

'NACP=ZBCQ

<4C=BC,

APAC=ZCBQ

・•.△CQBmACPA(ASA),

：.CP=CQ,

又•••"C0=6O。可知△PC。为等边三角形，

：.乙PQC=LDCE=60°,

■■.PQ//AE,

故C正确，

■.■ACQB=ACPA,

答案第1页，共22页

：.AP=BQ,

故B正确，

■：AD=BE,AP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

■：ADQE=AECQ+ACEQ=60°+ACEQ,乙CDE=60°,

：.^DQE^CDE,故D错误；

■：/-ACB=/-DCE=6Q°,

.■.^BCD=60°,

•.•等边

AEDC=600=乙BCD,

：.BCHDE,

：./-CBE=/JJEO,

：.UOB=^DAC+^BEC=z.BEC+/.DEO=^DEC=60°,

故A正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题

的关键是找到不变量.

2.A

【分析】由题意易得NAOC=zBOD,然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可

进行求解.

【详解】解：•••NAOB=NCOD=40。，NAOD是公共角，

zCOD+zAOD=zBOA+zAOD,即zAOC=zBOD,

•••OA=OB,OC=OD,

••.△AOCsABOD(SAS),

.•.AC=BD,zOAC=zOBD,zODB=zOCA,故①②正确；

过点。作OE1AC于点E,OF1BD于点F,BD与OA相交于点H,如图所示：

答案第2页，共22页

•••ZAHM=ZOHB,zAMB=180°-zAHM-zOAC,zBOA=180°-zOHB-zOBD,

,•.ZAMB=ZBOA=40°,

.­.ZOEC=ZOFD=90°,

•••OC=OD,ZOCA=ZODB,

.•.AOEC=AOFD(AAS),

,•,OE=OF,

.•.OM平分NBMC,故③④正确；

所以正确的个数有4个；

故选A.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角

形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键.

3.D

【详解】试题分析：功C£=60。，

；/BCE=UCD,在△2CE和A4CD中，

■：BC=AC,^BCE=/-ACD,CE=CD,

:ABCE三5CD(SAS\故①正确；

•••△BCE三AACD,

：./.CBF=/.CAH.

••ZBFC=UFG,

.•■Z.AGB=Z.ACB=60°,故②正确；

在△8CF和A4C7/中，乙CBF=£CAH,BC=AC,乙BCF=UCH,

:ABCFmAACH(ASA),

：.CF=CH,BF=AH；故③正确；

■：CF=CH,乙4c77=60°,

.•.△CEH■是等边三角形；故④正确；

连接CG,过C点作CM12E,作CN14D,

答案第3页，共22页

■.■ABCE=AACD,CM1BE,CN1AD,

：.CM=CN,

,•.GC平分NBGD,

；/BGC=3GC,故⑤正确.

故选：D.

A

考点：L全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的判定与性质.

4.①②③⑤

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性

质.

①由于"3C和ACDE是等边三角形，可知/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

从而利用SAS证出“DCgABEC,可推知4D=8E；②由“DC之ABEC得CD=CE,

ZDCP=NECQ=60。,/ADC=/BEC,得到△(?£)产会△CE。，再根据推出为△尸C0等

边三角形，又由/QPC=NBC4,根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②

可得出。尸=,即可证/尸=B。；④根据ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+CEQ,,

ZCDE=60°,可知乙DQEHCDE,DE>QE,S.DP=QE,得出DE>DP,可知④错误;

⑤利用等边三角形的性质得出8C〃DE,再根据平行线的性质得到NCBE=NDE。，于是

ZAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正确.

【详解】解：①•••正”8C和正ACDE,

:.AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=60°,

N4CD=ZACB+/BCD,NBCE=ZDCE+/BCD,

:.NACD=/.BCE,

在△/DC和ABEC中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE

CD=CE

答案第4页，共22页

・•.AADC^ABEC(SAS),

AD=BE,NADC=NBEC,

故①正确；

②又・.・CQ=CE,/DCP=/EC。=60。,NADC=NBEC,

.•.△CD尸丝△CE0(ASA).

CP=CQ,

ZCPQ=ZCQP=60°,

ZQPC=ZBCAf

・•.PQ//AE,

故②正确；

③•••△CD尸也△C£Q,

；,DP=QE,

•••△4QC知BEC

*'.AD=BE,

AD-DP=BE-QE,

:,AP=BQ,

故③正确；

@-.-DE>QE,且DP=QE,

DE>DP,

故④错误；

⑤•:NACB=NDCE=60°,

ZBCD=60°,

•・•△DCE是等边三角形，

ZEDC=60°=NBCD,

BC//DE,

NCBE=NDEO

ZAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°,

故⑤正确.

正确的有：①②③⑤.

答案第5页，共22页

故答案为：①②③⑤.

5.5cm##5厘米

【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系得出乙4。£=功。尸，z.EOD=z.COF,利用全等

三角形的判定和性质得出入4£。="）尸。，\DEO=NCFO,DE=FC=3cm,DF=AE=4cm,再由

勾股定理求解即可.

【详解】解：•••四边形4BC。为正方形，对角线/C和AD相交于点。，

山。D=NCOD=90°,ZJDAO=/LADO=AODC=^OCD=45°,AO=DO=CO,

,-OELOF,

.^EOF=90°,

'.^AOE+Z-EOD=^EOD+^DOF=90°,2DOF+^EOD=LDOF+乙COF=90。,

；・，4OE=3OF,乙EOD=4OF,

在AAEO与AD中,

NAOE=NDOF

<AO=DO,

ZEAO=ZFDO

^\AEO=\DFO,

同理AnEOBACF。

.•.DE=FC=3cm,DF=AE=4cm,

连接瓦

EF=y/DE2+EF2=5cm,

故答案为：5cm.

【点睛】题目主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等，理

解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

6.3

【分析】在/C的左侧作等边三角形/C/，连接CE、BF、FD、CF,再证明

答案第6页，共22页

^ADF^AEC,可得CE=DF,再利用_L3C时，。尸最短，从而可得答案.

【详解】解：在/C的左侧作等边三角形4CF,连接C£、BF、FD、CF,

■：ZACB=90°,NB=60°,则ABAC=30°,

则ZFAB=NFAC-ABAC=60°—30°=30°,

故点C、尸关于48对称，

贝UNABF=NABC=60°,BF=BC=-AB=-x4=2,

22

MFC,4DE均为等边三角形，

:.ZFAD+ZDAC=60°,ZDAC+ZEAC=60°,AF=AC,AD=AE,

NFAD=ZEAC,

NADF=AAEC(SAS),

DF=EC,

当。尸，BC时，。尸最小，

由ZABC=ZABF=60°,BC=BF=2,

4FBD=60°,ZDFB=30°,

i^BD=-BF=-x2=l,

22

故。的长度为8O+C8=l+2=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30。

的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键.

7.2

2

【分析】过点3作交DC的延长线于点E,连接4E,由题意易得△£8。是等腰直

角三角形，然后可证△BCD三△2E4则有r&DC=NA£4=45。，AE=CD,进而根据三角形面

积公式可进行求解.

答案第7页，共22页

【详解】解：过点5作交。。的延长线于点E,连接/及如图所示:

・•・/ABE+ZEBC=4EBC+ZCBD=90°,

・•・/ABE=ZCBD,

•・2BZ)C=45。，乙EBD=90。,

.•.△£班是等腰直角三角形，

工(BDC=LBED=45。,BE=BD,

♦：AB=BC,

SBCDzABAE(SAS),

・•・乙BDC=^BEA=45。,AE=CD,

・•.AAED=AAEB+/BED=90°,

19

^S^ACD=-CD-AE=~,

：.CD2=~,

4

：.CD=--

2

故答案为:3.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关

键是构造旋转型全等，抓住等腰直角三角形的特征.

8.65°

【分析】先判断出MCDMASCE,再判断出A4cM三A8CN即可得到CH平分,即可

得出结论.

【详解】解：如图，；ZACB=NDCE,

ZACD=ZBCE,

答案第8页，共22页

CA=CB

在A4CD和ABCE中，＜ZACD=/BCE

CD=CE

:.MCD=ABCE(SAS)；

过点。作。以_L40于"，CN1BE于N,

\-MCD=ABCE,

/CAM=/CBN,

ZCAM=/CBN

在ZUCM和MCN中，＜ZAMC=ZBNC=90°

AC=BC

\ACM二ABCN,

/.CM=CN,

CM=CN

在RtACMH与RtACNH中＜

\CH-CH

RtACMH=RtACNH(HL),

AMCH=ZNCH,

:.CH平分NAHE；

\'AACD=ABCEf

/CAD=ZCBE,

•「ZAFC=ABFH,

:.ZAHB=ZACB=50°f

:.ZAHE=lS00-50o=130°,

ACHE=-AAHE=-xl30°=65°,

22

故答案为：65°.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题难度适中，注意掌

握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

答案第9页，共22页

9.120

【分析】先得出NDAC=/EAB,进而利用ASA得出aADC工ZkAEB,进而得出乙E=4ACD,

再利用三角形内角和定理得出ZEAF=ZCOF=60°,即可得出答案.

【详解】如图所示：

vzDAB=zEAC=60°,

/.ZDAB+ZBAC=zBAC+zEAC,

.-.ZDAC=ZEAB,

在AADC和AAEB中，

'AD=AB

<NDAC=NEAB,

AC=AE

.-.△ADC^AABE(SAS),

.,.z.E=zACD,

XvzAFE=zOFC,

.-.ZEAF=ZCOF=60°,

.-.ZDOE=120°.

故答案是：120.

【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出

AADC=AAEB是解题关键.

10.①②③④

【分析】根据正方形的性质和SAS可证明A48G三A4EC,然后根据全等三角形的性质即可

判断①；设BG、CE相交于点N,AC,8G相交于点K,如图1,根据全等三角形对应角相

等可得G2,然后根据三角形的内角和定理可得NCNG=NC4G=90。，于是可判断

②；过点£作的延长线于P,过点G作GQ1/M于。，如图2,根据余角的性质即

可判断④；利用AAS即可证明A45X三可得EP=4H,同理可证G0=4W,从而得

答案第10页，共22页

到£P=G。，再利用AAS可证明△EPAfeaGQW,可得£"=GM,从而可判断③，于是可

得答案.

【详解】解：在正方形和NC尸G中，AB=AE,AC^AG,乙BAE=4CAG=9Q°,

:.4BAE+乙BAC=Z.CAG+/.BAC,

即Z,C4£=48NG,

.•.△ABGmA4EC(SAS),

:.BG=CE,故①正确；

设2G、CE相交于点N,AC.2G相交于点K,如图1,

图1

■■■^ABG^AAEC,

.-.AACE=^AGB,

•:UKG—NKC,

；/CNG—CAG=90°,

■■.BGLCE,故②正确；

过点E作£尸1期的延长线于P,过点G作GQUM于。，如图2,

图2

•:AHLBC,

：.AABH+^BAH=90°,

•./BAE=90°,

答案第11页，共22页

••/EAP+乙BAH=90。,

,"BH—EAP,即乙45C,故④正确；

・"HB=d=90。,AB=AE,

；.AABH三AEAP(AAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

,:在4EPM和△G0M中，

2尸=ZMQG=90°

<ZEMP=ZGMQ,

EP=GQ

'.AEPM=AGQM(AAS\

:・EM=GM,

.・.，/是A4EG的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作

辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键.

11.见解析

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、AAS、ASA、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三

角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

利用SAS判定再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得

/B=/D.

【详解】证明：•・・4840=/C4E,

・•.ABAC=ZDAE.

在^ABC和/XADE中,

AB=AD

<ABAC=ZDAE,

AC=AE

答案第12页，共22页

・・,"Bg"DE(SAS).

ZB=ZD.

12.见解析

【分析】证明三△C5。即可解决.

【详解】•・・八45。和△£5。都是等边三角形，

••.AB=CB,BE=BD,UBC=cDBE=6G。,

：.Z.ABC-乙4BD—DBE-^ABD,

^/.ABE=Z.CBD,

在AABE和△CAD中,

'AB=CB

<NABE=ZCBD,

BE=BD

­.AABE=ACBD(MS),

••AE=CD.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这两部分知

识是关键.

13.(1)PB2+PA2=PQ2

(2)PB2+PA2=PQ2

【分析】(1)连接8。，根据等腰直角三角形的性质可得到A。尸之A。"。，进而得到

NPBQ=90°,PA=BQ,在Rt△尸50中利用勾股定理即可得到三边的关系；

(2)连接2。，根据等腰直角三角形的性质可得到△。尸0AC20,进而得到/必。=90。,

PA=BQ,在中利用勾股定理即可得到三边的关系；

【详解】(1)解：结论：PB2+PA2=PQ2,理由如下：

如图，连接2。,

图1

答案第13页，共22页

•.7BC、△PC。均为等腰直角三角形，ZACB=ZPCQ=9。。,

：,CA=CB,CP=CQ,

・・・ZACP+NPCB=NPCB+ZBCQ=90°

・•・/ACP=/BCQ

在CP和△C30中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

・•・尸名△C30(SAS)

:・PA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45°f

・•.ZPBQ=/ABC+ZCBQ=90°,

在RtAPS。中，

■.PB2+BQ1=PQ'

PB2+PA2=PQ2•

(2)如图，连接5。，

图2

；BC、均为等腰直角三角形，4cB=400=90。,

：,CA=CB,CP=CQ,

vZACB+NPCB=ZPCB+ZPCQ,

:./ACP=/BCQ,

在△€%尸和△C80中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

・・・△CAP学△CBQ(SAS)

：,PA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45°f

答案第14页，共22页

...AABQ=ZABC+ZCBQ=90°,即：ZPBQ=90°

在Rt△尸3。中，

•：P?+B0=PC

PB2+PA2=PQ2.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性质，等角的余角相

等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理构造辅助线是解决本题的关键.

14.（1）见解析;（2）8

【分析】（1）直接证明△/CD之即可得出结论；

（2）由（1）可进一步推出匹为直角三角形，且/E4B=30。，从而由43=22£求解即

可.

【详解】（1）•••△ACB和ADCE均为等腰三角形，zACB=zDCE=90°,

:.NADC=NBCE,

在"CD与ABCE中,

AC=BC

<ZACD=NBCE

DC=EC

:.AACDABCE（SAS）,

AD=BE；

（2）・・・△48。是等腰直角三角形，

/ABC=45°,

由（1）可知，ZCAE=ZCBE=15°,BE=AD=4,

/ABE=/ABC+ZCBE=45°+15°=60°,

/ABE=/ACB=90°,

则在放中，/EAB=3。。,

AB=2BE=8.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，及含30。角的直角三角形的性质，根据“手拉

手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键.

15.（1）①证明见解析；②S.ABC=S.ACD+S.ACE，理由见解析

（2）SAACE=S^ABC+^^ACD,理由见解析

答案第15页，共22页

【分析】（1）①先证明再利用SAS证△45Z汪△4C£即可；②利用全等

三角形的性质得到S.ABD=S.ACE，再由S=S»CD+S△皿即可得到结论;

(2)由已知条件可得证出，/\ABD咨AACE,推出=8“底，再由

S£\ABD~S^ABC+S^ACD，即可得到%CE=^/\ABC+^/\ACD•

【详解】(1)证明：①•：/BAC=/DAE,

・•・ABAC-/CAD=ZDAE-ACAD,即ABAD=/CAE.

在△43。和△4CE中，

AB=AC

</BAD=/CAE。

AD=AE

AABD^AACE(SAS).

(DS"BC=S&ACD+S”cE»理由如下：

•：△ABDQAACE,

.c—c

••°AABD~Q&ACE，

•••^/\ABC=S丛ACD+S^ABD，

S&ABC=S"CD+S&ACE；

(2)解：ACE=S.BC+S/CD，理由如下：

ABAC=ZDAE,

ABAC+Z1=ADAE+Z1,BPABAD=ACAE.

在△48。和中，

AB=AC

<ABAD=NCAE

AD=AE

；."BD必ACE(SAS),

••凡ABD=S.ACE，

答案第16页，共22页

"S&ABD=St\ABC+^/\ACD，

S44CE=S&ABC+S&ACD•

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是

解题的关键.

16.⑴见解析

Q)CE-CD=AC.理由见解析

【分析】(1)结论：CD+CE=4C.连接OC.证明ACOD*BOE(ASA)；

(2)结论：CE-CD=AC,证明方法类似(1).

【详解】(1)证明：•.•/C=8C,ZC=90°,AO=OB,

OCLAB,OC=AO=OB,

ZOCD=NB=45°,

ZMON=ZCOB=90°,

ZDOC=ZEOB,

在△COD和△BOE中，

AOCD=NB

<OC=OB,

NOCD=NBOE

“COD三.BOE(ASA).

(2)解：CE-CD=AC.

理由：连接。C.

答案第17页，共22页

EhM

A\

图二

•；AC=BC,ZC=90°,AO=OB,

OC1AB,OC=AO=OB,

NOCD=NB=45°,

NDOC=NCBE=135°,

•••AMON=NCOB=90°,

NDOC=NEOB,

在△CQD和中，

ZOCD=ZB

<OC=OB,

ZOCD=ZBOE

.-.△CO£>=A5O£,(ASA),

CD=BE,

:.CE-CD=CE-BE=BC=AC.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

正确寻找全等三角形解决问题.

17.(1)60°,AE=BD-,

(2)成立，理由见解析

(3)1<57?<7

【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的

性质，解答时证明三角形全等是关键.

(I)利用等边三角形的性质证明A/CE名ABC。，结合三角形的外角就可以得出结论；

(2)同(1)中方法证明之ABCD,得出=N2=N3,再根据三角形的内角

和得出ZAFB=60°；

答案第18页，共22页

(3)当B、C、。三点共线时得出5。的最大和最小值，即可得出结论.

【详解】(1)解：•・・△45。是等边三角形，

:.AC=BC,ZACB=60°,

■「△EC。是等边三角形，

/.CE=CD,ZDCE=60°,

/.ZACB=ZDCE=60°

ZACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=ZBCD,

在和△BCD中，

AC=BC

</ACE=/B