北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用 同步练习【提升版】（附参考答案）

北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用同步练习班级：姓名：一、选择题1．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．(10−x)2+42．小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米3．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（）A．3m B．2.4m C．2.4．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和5．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：mm），可得两圆孔中心A和B的距离是（）A．120mm B．150mm C．90mm D．100mm7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（）69cm B．105cm C．21cm二、填空题9．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是．10．图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A-C-E用于放置手机，支架BD两端分别与托架和底座MN(其厚度忽略不计)相连，支架B端可调节旋转角度，已知BD=6cm，AB=2BD=4BC，支架调整到图2位置时，∠BDM=60°，∠ABD=120°．因实际需要，现将支架B端角度调整为∠ABD=150°，如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高度为cm．11．已知，如图，一轮船从港口A出发向东北方向航行了50海里，另一轮船同时从港口A出发向东南方向航行120海里，此时则两船相距海里.12．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．13．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示，AB=29cm，AD=13cm，BC=20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB=13cm，CQ=20cm.当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，∠ADC成180°，此时PQ=三、解答题14．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数．（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE=CF=250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？15．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．（1）求风筝的高度CE；（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？16．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D(A、D、B在同一条直线上)，并新修一条路CD，测得CB=6.5千米，（1）求证：CD⊥AB；（2）求原来的路线AC的长；18．如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．19．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC=40米，AB=30米，（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？20．综合实践【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，（1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？（2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置上（云梯长度不改变），AA'（3）【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯篚墙抾放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的15

1．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由题意得：∠AOB=90°，设折断处离地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案为：D．【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x22．【答案】C【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.由题意得：AC=BC，AB=1米，

∴AD=BD=0.5（米）.

在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，

∴BC=AC=CD2+BD2=1.

【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：底面的斜边长度为：12+12=2，电梯对角的长度为：4．【答案】C【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，

可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，

即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.

所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.

故答案为：C.

【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.5．【答案】C【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小；则PA=PA'，

∴AP+PB=PA'+PA=A'B，

过点B作BC⊥AA'于点C，

则OA'=OA=2，OC=1，BC=4，

∴A'C=OA'+OC=2+1=3，

∴A'B=A'【分析】作A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时AP+PB最小，AP+PB的最小值=A'B，再利用勾股定理求解．6．【答案】D【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，

在Rt△ACB中，AB=故答案为：D.

【分析】直接利用勾股定理可得AB=A7．【答案】C【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=x，过D作DE⊥AB于E，则DE=10，OE=12CD=1，AE=x−1在Rt△ADE中，AE2+D解得2x=101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故答案为：C．【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．8．【答案】D【解析】【解答】解：依题意，AC=24，在Rt△ABC中，由勾股定理得；AB=A∵AB=AD=25，DE=20在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE=AD2故答案为：D.【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得；AB=AC2+BC9．【答案】76【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2解得：x=13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76．故答案为：76.【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.10．【答案】12-63【解析】【解答】解：以AB为斜边的60度角所对直角边的长为ABsin60=12×32=63故答案为：12-63.

【分析】经分析，可知B点位置不变，只需求得以AB为斜边的60度角所对直角边的长，用AB去减这个长度即可.11．【答案】130【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

∴∠BAC=90°，

由题意得：AB=50海里，AC=120海里，

∴BC=AB2+AC2=50212．【答案】3.75【解析】【解答】解：设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据题意，得x2解得：x=3.75，∴这个湖的水深是3.75尺．故答案为：3.75．

【分析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据勾股定理可得x213．【答案】8；12【解析】【解答】解：第一空：当∠ADC=180°时，如左图2：

∵CQ=20cm，PQ=449cm，CP=7cm，

∴CP2+CQ2=PQ2，

∴△PCQ是直角三角形，且∠PCQ=90°，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

（13+CD）2+202=292，

解得：CD=8cm.

第二空：如图：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，

∵AB=29cm，CD=8cm，

∴AF+BH=AB-FH=AB-CD=21cm，

设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，

∵DF=AD2−AF2=CH=BC2−BH2，

故答案为：8，12.【分析】第一空：当∠ADC=180°时，根据勾股定理的逆定理可判断△PCQ是直角三角形，于是在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程可求解；

第二空：过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，设AF=xcm，则BH=（21-x)cm，根据DF=CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后用勾股定理可求得DF的值.14．【答案】（1）解：∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC∴ΔABC是直角三角形，∴∠ACB=90°（2）解：海港C受台风影响，过点C作CD⊥AB，∵ΔABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240(km)，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响．（3）解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，ED=E∴EF=140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20=7（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；

（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；

（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．15．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，BC=30米，BD=24米，

∴CD2=BC2-BD2=302-242=182，

∴CD=18米，

又∵AB=1.68米，

∴CE=CD+DE=CD+AB=18+1.68=19.68米，

∴风筝的高度CE为19.68米．（2）解：如图所示，连接MB，∵CM=8米，CD=18米，∴MD=CD-CM=18-8=10米

在Rt△MDB中，由勾股定理得：MB2=MD2+102+242=262，

∴MB=26，

∴往回收线的长度=BC-MB=30-26=4米.

答：他往回收线4米.【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得CD的长，再通过线段和差关系可得CE=CD+DE=CD+AB，代入数据求得CE的长，即可解答；

（2）如图所示，连接MB，易得MD=10米，再通过勾股定理求得MB的长，即可解答.16．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD所以，CD=16（负值舍去），所以，CE=CD+DE=16+1.答：风筝的高度CE为17.62米（2）解：由题意得，CM=11米，∴DM=5米，∴BM=D∴BC−BM=20−13=7（米），∴他应该往回收线7米【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出CE的长即可；

（2）先利用勾股定理求出BM的长，再利用线段的和差求出答案即可.17．【答案】（1）证明：∵CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米，

62+2.52=6（2）解：设AC=x千米，则AD=(x−2.5)千米．

∵CD⊥AB，∠ADC=90°，

∴CD2+AD2=AC2，即62【解析】【分析】（1）根