立体几何中的向量方法

山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离忆一忆知识要点

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量,

则求法向量的方程组为

2.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cos

θ＝|cos〈m1,m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m,n〉|.(3)求二面角的大小

1°如图①,AB,CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ＝．

2°如图②③,n1,n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1,n2〉或－cos〈n1,n2〉.忆一忆知识要点

3.点面距的求法如图,设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝题号答案12345求异面直线所成的角

【例1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB＝4,AD＝3,AA1＝2.E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．

(1)本题易于建立空间直角坐标系,把EC1与FD1所成角看作向量与的夹角,用向量法求解．

(2)平移线段C1E让C1与D1重合,转化为平面角,放到三角形中，用几何法求解．本题可以从两个不同角度求异面直线所成的角.一是把角的求解转化为向量运算,二是体现传统方法作—证—算;应注意体会两种方法的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键.平移线段法,或化为向量的夹角.一般地,异面直线AC,BD的夹角β的余弦为如图,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC＝

.OA⊥底面ABCD,OA＝2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)证明:直线MN∥平面OCD;(2)求异面直线AB与MD所成角的大小.求直线与平面所成的角【例2】如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,侧棱AA1＝2,D,E分别是CC1,A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的正弦值．

平面的法向量,有时需要求出,有时题目本身就有,要准确理解题意,把法向量找出来.如本题中由于E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则EG⊥平面ABD,即为平面ABD的法向量.如图所示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB＝4,AA1＝,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；

(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．(1)证明:由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知,AA1⊥平面ABC.又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1.又DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE,故平面A1DE⊥平面ACC1A1.求二面角【例3】(2011·辽宁)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝

PD.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.注意到DA,DP,DC两两垂直,因而可考虑建立空间直角坐标系求解.求二面角【例3】(2011·辽宁)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝1/2PD.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,PA⊥平面ABCD,PA＝3,AD＝2,AB＝2,BC＝6.(1)求证:BD⊥平面PAC；

(2)求二面角P—BD—A的大小．求空间距离【例4】在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA＝SC＝,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.求空间距离【例4】在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA＝SC＝,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.解:取CD中点O,连接OB,OM,

则OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．

(12分)如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1,AB＝2,AA1＝1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；

(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值.11利用空间向量求空间角解:以A为坐标原点,以AB,AD,AA1所在直线分别为x

轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).[2分]第一步：建立空间直角坐标系．第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．第四步：计算向量的夹角(或函数值)．第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．11利用空间向量求空间角11利用空间向量求空间角

(12分)如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1,AB＝2,AA1＝1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；

(2)求面BDF与面AA1B所成二面角的余弦值.

(1)利用向量求角是高考的热点,几乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用.(2)本题易错点是学生在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范.(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．

1.若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运算．

(1)求两异面直线a,b的夹角θ,须求出它们的方向向量a,b的夹角,则cos

θ＝|cos〈a,b〉|.(2)求直线l与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角.则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1,n2所成的角,则θ＝〈n1,n2〉或π－〈n1,n2〉.2.求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端点的平面的斜线段．

1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

2.求点到平面的距离，有时利用等积法求解可能更方便．作业布置作业纸:课时规范训练:P.1-2预祝各位同学，2013年高考取得好成绩!一、选择题二、填空题题号123答案BBBA组

专项基础训练题组

7.如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；

(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．连接BD,B′D′,在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.三、解答题

8.如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH分别与另外三条侧棱交于F,G,H,已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD，∠BCD＝135°.(1)求异面直线AF，BG所成的角的大小；

(2)设平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为θ,求cosθ.三、解答题三、解答题三、解答题一、选择题二、填空题题号123答案BCDB组专项能力提升题组

7.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1和CC1的中点．

(1)求证：EF∥平面ACD1；

(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；

(3)在棱BB1上是否存在一点P,使得二面角P—AC—B的大小为30°?若存在,求出BP的长,若不存在,请说明理由．三、解答题故异面直线EF与AB所成角的余弦值为.三、解答题三、解答题8.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD＝CD＝2AB,E,F分别为PC,CD的中点.(1)求证：AB⊥平面BEF；

(2)设PA＝k·AB,若平面EBD与平面BDC的夹角大于45°,求k的取值范围．

(1)证明:由已知DF∥AB,AB＝

CD＝DF,且∠DAB为直角,故ABFD是矩形，从而AB⊥BF.又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.在△PDC中,E,F分别是PC,CD的中点,EF∥PD,所以AB⊥EF.又BF∩EF＝F，所以AB⊥平面BEF.三、解答题三、解答题点、线、面之间的位置关系空间几何体空间几何体的结构空间几何体的体积、表面积柱、锥、台、球的结构特征三视图与直观图的画法空间角角的范围图形计算公式线线角线面角面面角ll①法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.DCBA②方向向量法：设二面角α-l-β的大小为θ，其中l①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法作二面角的平面角的常用方法

l

1.定义法3.垂面法2.

垂线法空间角图形角的范围计算公式线线角线面角面面角求点到平面的距离定义:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离.即过这个点到平面的垂线段的长度.ABO方法2:等体积法求距离.方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂线段的长度.

APO

点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面

的垂线PO，记PA和平面

所成的角为

.则点P到平面的距离求点到平面的距离方法3:向量法空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的距离相互之间的转化直线与平面所成的角异面直线所成的角定义法法向量法方向向量法则D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB.∵PD⊥平面ABCD,OC⊂平面ABCD，∴PD⊥OC.∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.所以PC与平面PBD所成的角为300.解:如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2,又∵DB∩PD=D,∴OC⊥平面PBD.(2)设平面PAC的法向量为令x=1,则y=1,z=1，所以D到平面PAC的距离(3)假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE，所以存在E点且E为PB的中点时PC⊥平面ADE.【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.由PC⊥AE,PC⊥DE,得此时E(1,1,1).ACDEB例2．解：(Ⅰ)设平面ADE的法向量为所以，设平面ABE的法向量为（Ⅱ）由（Ⅰ）得，解:⑴⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小；所以二面角P-BC-D的余弦值大小是⑶求点D到平面PBC的距离.⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小；所以二面角P-BC-D的余弦值是因为二面角P-BC-D的大小是锐角,⑶求点D到平面PBC的距离.例4.

xyzHADCBM解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图所示.………3分设面PBA的法向量为令x=1得y=1，z=1.证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．又D是AB的中点，∴在△ABC1中，DE∥BC1.∴BC1∥平面CA1D.又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，EE(1)证法二：(1)证法三：A1B1C1ABCDD1又AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面AA1B1B.又CD⊂平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD.证明：(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴在△ABC中，AB⊥CD.

【例8】如右图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：如右图(1)取AD的中点G，连结PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中,∠DAB＝60°,AD＝AB，∴△ABD为等边三角形,∴BG⊥AD.∴AD⊥PB.∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，G(2)连结CG，DE，且CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG,交PC于F点,连结DF.∴平面DHF⊥平面ABCD.∵PG⊥平面ABCD.∴FH⊥平面ABCD.又

FH⊂平面DHF，即F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.∵H是CG的中点，∴F是PC的中点.今日作业则D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB.∵PD⊥平面ABCD,OC⊂平面ABCD，∴PD⊥OC.∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.所以PC与平面PBD所成的角为300.解:如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2,又∵DB∩PD=D,∴OC⊥平面PBD.(2)设平面PAC的法向量为令x=1,则y=1,z=1，所以D到平面PAC的距离注：可用等体积法(3)假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE，所以存在