人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第3课时）》示范教学设计

解直角三角形及其应用（第3课时）教学目标1．巩固解直角三角形的有关知识，掌握仰角、俯角的概念．2．掌握利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤．3．能运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路，在解题过程中进一步体会数形结合与方程的数学思想．教学重点运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．教学难点运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路．教学过程知识回顾解直角三角形的依据有哪些？【师生活动】直接找学生回答，教师补充．【答案】（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边角之间的关系：，，．【设计意图】巩固解直角三角形的有关知识，为本节课的学习作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】如图所示，某探险者某天到达点A处时，所在地的海拔为0m，他准备估算出自己与海拔为3500m的山峰顶点B处之间的水平距离．你能想出一个可行的办法吗？【师生活动】学生思考，然后找学生代表说一说思路，教师纠正．【答案】如图，BC＝3500m，如果测量出此时他看向点B的视线AB与水平线AC的夹角（∠A）的度数，根据即可求出他与山峰顶点B处之间的水平距离AC．【思考】观察物体时，我们的视线相对于水平线来说有几种情况？【师生活动】学生思考，然后找学生说一说思路，教师总结．【答案】三种：重叠、向上和向下．【新知】在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．【设计意图】通过这两个问题，让学生了解仰角和俯角的概念，并知道在实际生活中可以利用仰角或俯角帮助我们解决一些难以测量的问题．二、典例精讲【例1】2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数．）【分析】点Q为最远点，FQ是☉O的切线，∠FQO为直角，求的长，要先求α的度数，解此题时，需要综合利用圆和解直角三角形的知识．【答案】解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是☉O的切线，△FOQ是直角三角形．∵，∴α≈18.36°．∴的长为（km）．由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km．【归纳】利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．【设计意图】通过这个问题，检验学生对利用解直角三角形解决实际问题的掌握情况．【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在图中，α＝30°，β＝60°．在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．【答案】解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120．∵，，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120．∴BC＝BD＋CD＝＋120≈277（m）．因此，这栋楼高约为277m．【归纳】求解有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形．【设计意图】通过这个问题，检验学生对运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题的掌握情况．【例3】如图（示意图），小明想测量塔AB的高度．他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处，测得仰角为60°，已知小明的身高为1.5m，那么该塔有多高（结果取整数）？【答案】解：如图，∠AD′B′＝30°，∠AC′B′＝60°，CD＝50m，∴∠D′AB′＝60°，∠C′AB′＝30°，C′D′＝50m．设AB′＝xm，∵tan∠D′AB′＝，tan∠C′AB′＝．∴D′B′＝x·tan60°，C′B′＝x·tan30°．又∵D′B′－C′B′＝D′C′，∴x·tan60°－x·tan30°＝50．∴，即AB′＝43.3m．由题意知，DD′＝BB′＝1.5m，∴AB＝AB′＋BB′＝43.3＋1.5＝44.8≈45（m）．因此，该塔的高约为45m．【设计意图】通过这个问题，进一步检验学生对运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题的