简单的三角恒等变换-2025年高考数学备考复习

第四章三角函数

第4讲简单的三角恒等变换

课标要求命题点五年考情命题分析预测

三角函本讲每年必考，主要考查利

2021新高考卷IT6；

数式的用三角函数的基本关系、诱

2021全国卷甲T9

能运用和、差、倍角化简导公式以及和、差、倍角公

公式进行简单的恒等式进行化简求值.题型以选择

变换（包括推导出2022浙江T13；2021题、填空题为主，有时在解

积化和差、和差化新高考卷IT6；2021全答题中也有应用，难度中等

三角函

积、半角公式，这三国卷乙T6；2020全国偏易.预计2025年高考命题趋

数式的

组公式不要求记卷IT9；2020全国卷势变化不大，在复习备考时

求值

忆）.IIIT9；2019全国卷要掌握公式及其变形，并能

IIT10灵活应用，应用时注意角和

函数名的变换.

6学生用书P079

命题点1三角函数式的化简

例1(1)[2021全国卷甲]若ad(0,-),tan2a=c°sa,贝！Jtana=(A)

22—sina

A且B渔C些D运

,15G3y

j-r-EL,Csin2a2sinacosa口,八cosa也，、,2sinacosacosa

解析因为tan2a=——=-------厂，JLtan2a=-----------,所以-----r=-------,由。£(0,

cos2al—2sin2a2—sinal—2sin2a2—sina

；)得cosajO,解得sincosa=—,tan。=^^=丝.故选A.

244cosa15

(2)化简：-(产"i=^.

2tan(,--a)sm(W十a)

缶刀十二/s-V-cos2a_cos2a_cos2a_cos2a_1

牢「、'2tan耳一a)cos2(^—a)2sin(:—a)cos(^—a)sin(^—2a)cos2a,

方法技巧

化简三角函数式的方法与技巧

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.

2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三

角函数公式间的联系，找到变形方向.

sin0(14-sin20)

训练1[2021新高考卷I]若tan3=~2,则C)

sin。+cos。

AfB,-|c.|D.1

2

解析解法一因为tan0=—2,所以疝"1+-=s"(sind+cosG=$也:&法©+

sin0+cos0sin0+cos0

八、sin20+sin0cos0tan20+tan04—22,,,4.

COS0)=——5————=---77---=-7==故选C.

sin20+cos20tan20+14+15

解法二因为tan。=-2,所以角。的终边在第二或第四象限,

(.八__2_

sin0sine一套,2

sin。(l+sin28)sinO(sinJ+cos。)

所以•病，或所以-=sin3(sin0+

sin0+cos0sin。+cos。

COS0=一忑cosO=~^，

cos0)=sin20+sin8cos6=:-1=|.故选C.

命题点2三角函数式的求值

角度1给角求值

例2(1)sin50°(1+倔an10。)=1.

解析sin50°(1+V3tan10O)=sin50°(1+tan60°tan10°)=

•lcccos60°cosl00+sin60°sinl00.厂八门cos(60o—10°)2sin50°cos50°sinl00°cos100

sin50°x-------------------=sm50°x-----------=----------=-----=----=l1.

cos60°cosl0°cos60°cosl00coslO0coslO°cosl0°

(2)sinl00-sin300-sin500-sin70°=—.

—161

sin20cos20cos40cos80

解析原式=4os200-cos40°cos8oo^°°°°=^21^±.

22sin20°16sin20016

方法技巧

给角求值问题的解题策略

一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后

进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.

注意当式子中出现3,1,f,百等数时，要考虑引入特殊角，通过''值变角''化简计算.

角度2给值求值

例3⑴［2022浙江高考］若3sina—sin£=V1U,a+产=］,则sina=,cos2p—_

4

5—,

解析因为a+4=今所以夕=/一。，所以3sin。一sin夕=3sina—sin(^―a)=3sina~

coscc=V10sin(a-9)=V10,其中sin9=*,cos所以Q-9=1+24兀，k£Z,

所以。=1+9+2®:,kGZ,所以sina=sin(，+夕+2左兀)=cos.因为sin£=

3sina—V10=一呼，所以cos2£=1—2sin2p=1—

(2)［江苏高考］已知山二=—q,则sin(2a+»的值是_今_.

tan(a+-)3410

2z,zj+r-4刀、+tanatanatana(1—tana)2々刀^日，c*、，1

解析解法--~—if-=-E^n-=―:---解得1@11。=2或1@11。=一丁

tan(a+了)————tana+133

41—tana

.-2sinacosa2tana4cos2a—sin2a1—tan2a

当tana=2时,sin2a=-=——厂=—n~cos2a=-------厂=----I，此时sin

sin"a+cos“atan^a+15sinza+coszatanza+l

11341

2a+cos2a=g.同理当tana=-1时，sin2ot=-cos2ot=-,此时sin2。+cos2。=?,所以

sin(2a+?=¥(sin2a+cos2a)=条

名刀、士—tanasmacos(a+彳)2./i冗、2,/i豆、「近

用牛法—-n-=-------------if-=—,则msinacos(a十一)=-cosasm(a十一),又一

tan(a+-)cosasin(a+-)34342

=sinF(a+-)—a]=sin(«+-)cosa-cos(a+-)-sina=-sin(«+-)cosa,则sin(a

44434

+；)cosa=邛，则sin(2a+：)=sin[(a+；)+a]=sin(a+^)cosa+cos(a+：)sina

_13V2V2

cosaX

=触<«+?31010,

方法技巧

给值求值问题的解题策略

1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范

围求出相应角的三角函数值，代入即可.

2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.

角度3给值求角

例4(1)若sin2a=g,sin(£—a)=*且「呜呼作[兀，争，则a+£的值是

(A)

A.—B.—

44

C年或rD年或半

解析因为兀],所以2aW生2兀].又sin2a=今所以2a£(p兀)，(:,

]),所以cos2a=—Jl—si7122a=一卓.因为夕£[兀，y],所以。+股(%,2兀),仅一

(p丰,所以cos(p~a)=—Jl—siM(6一口)所以cos(a+4)=

-x

cos[2a+(P-a)]=cos2acos(4一a)—sin2asin(4一Q)=~"(一

=?.又a+(弓，2兀),所以a+A=}.

(2)已知Q,尸为锐角，且(1-V3tana)(1—倔an£)=4,贝b+£=_±.

解析将(1—V3tana)(1—V3tan£)=4展开，得一遍(tanot+tan£)=3(1—

tanatanS'),即里上包乙=tan(a+3)=—V3,由于a,4为锐角，所以0<Q+4<兀,

1—tanatan/?

故Q+

方法技巧

给值求角问题的解题策略

1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范

围)，在选取函数时，遵循以下原则.

(1)已知正切函数值，选正切函数.

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,2,选正、余弦函数

皆可；若角的范围是(0,兀)，选余弦函数较好；若角的范围为(一p,选正弦函数

较好.

注意所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免产生多

解.

2.准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用条件中角的

取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性“)求解；二是可以根据三角函数值的符号

缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围.

训练2⑴[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知且cos(a—§)=£,

cos2P~~y则cos(a+£)=(A)

,16c33八56c63

A.—B.--C.—D.—

65656565

解析由0VQVaV],得OVQ—什G，又cos(a一价=y|,所以sin(Q—.)=

Jl—*)2=卷，因为0<2£<兀，cos2^=|,所以Sin2£=jl—(|)2=^,所以

cos(a+£)=cos[Qa一位+2£]=cos(Q—£)cos2£-sin(a—£)sin2^=yjx|-

=/故选A.

65

⑵[2024河南省南阳市第一中学质量评估]已知tana=T，sin£=噜，a,££(0,

方)，则a+2片_号一

解析因为tana是锐角，所以0〈0〈工因为sin£=当，A为锐角，所以0<尸〈

7410

p0<a+2£<,，因为sin/=^,所以cos片嘤，tan^=|,贝Utan2£=^^=

1,3

十

—tana+tan2s_7I_1

tan(a+20)1R]，故a+2

1—tanatan2s1—

(3)(1+tan20°)(l+tan25°)=2

解析由题意知，(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°.0

tan200+tan25°=tan45°(1—tan20°tan25°)=1—tan20°tan25°,所以(1+tan20°)(1

+tan25°)=1+1—tan20°tan250+tan20°tan25°=2.

L［命题点1］化简:2-2—^2+V2+2cosa(3兀〈。〈4兀)=—2由『

47J4_L.・C//•3IT/a3IT7a,3IT,ccIT3IT,a,TT

解析•3兀<a<4兀，..-<-<2n,—

ZL44ooZloio4-

二.原式=2—2—2+2cos]=2-2+2cos：=/2—2cos^=2sin

、

2.［命题点1/2023河南省安阳部分重点高中模拟］若COS^Wsi虏，则索、+8

2221—V2cos（a

B

1

B-cD2

2VT2V2

2sin-cos-2tan-4cos2--sin2-1—tan2-

解析由已知得taig=2,故sina='

cos2^+sin2^1+tan2^5,C°S,os?尹sN广彳慈=

31+sina+cosa1+sina+cosa1,.4.„

所以•---------=二.L故选B.

5f1-V2cos(a+：)1+sina-cosa2

3.［命题点2角度2/2023湖南省株洲市素质检测］已知cos（；+x）=|，答<x<g则

12

2

sinZx+Zsin%12tAi/土生28

-tan,的值为—一元一•

右…一sin2x+2sin2x^^sinxtany+tanx,灯、

角牛析---------=sin2xx—£2^-=sin2xx————=sin2%xtan(一+x).

1—tanx1—tanx1-tan-tanx4

4

因为cos（：+x）=|,笔所以g<：+x<27i,sin（：+x）

1—COS2q+x)4

5

sin(1+%)

所以tanG+x)4

cosq+%)3

又sin2x=sin[2q+x)—沪—cos2(”

—[1—2s3(：+x)尸卷所以喑警:血/tan(")=*(-?28

750

4.［命题点2角度3/2023广州市调研］若a,眸（p兀），且（Leos2a）(1+sin0)

sin2acos则下列结论正确的是（A）

A.2a+y?=yB.2a-0=平

C.a+尸个D.a—/=]

解析由题意可得[1—(1—2sin2a)](1+sinP)=2sinacosacos0,因为sina，0,所以

sina+sinasin^=cos(zcosP,即sina=cos(a+£).因为a,0G(p兀),所以a+££

(71,2兀)，(共2兀)，易得sina>0,所以cos(a+£)>0,所以a+££(

y,2兀),sina=cos(a+夕)可变形为cos(|TI—a)=cos(a+夕).因为y=cosx在区间

(y,271)上单调递增，所以4一O=Q+A可得2。+尸=苧，故选A.

:练习帮；练透好题精准分层

d学生用书练习帮P294

■础练匚-笠

“2023黑龙江鹤岗一中模拟］己知tan（兀一a）=—2,则五热=（D）

A2C±

A三B-zC，5

1sin2a+cos2atan2a+l4+1=|,故

解析因为tan（7i—a）=—2,所以tana=2,则22

1+cos2asina+2cosatan2a+24+2O

选D.

2.若(9为锐角，cos(<9+-)则tan0+」-=(B)

410tan®

A.=B.-C.—D.—

2512724

解析因为cos(。+；)=cos0cos7—sin<9sin-=^(cos(9—sinO')=一?,所以cos。一

444210

sin0=—1.

解法一因为sin2<9+cos2<9=1且有0<。<三，所以sin。=告，cos<9=|,所以tan。=受”=

255cos0

之所以tan0+-^—,故选B.

3tan。3412

解法二将cossin6=-g两边平方，整理得1—2sinOcos。=J所以sin3cos。=||,

sin0cosOsin20+cos20_125

所以tan6~\故选B.

tan0cosOsinOsin0cos0sinScos。12'

3J2024四川成都新都一中模拟］—总前一的值为(C)

A-TB-T若D片

铲桁$抽50°11-380°_岳皿50。回［140°_岳0540大抽40_夜sin800__逐讲「

牛’75cos10。-V3cosl00—V3cosl00-2V3coslO°-6''

4.［数学文化］魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率兀约等于

黑，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知兀的

近似值还可以表示成4sin52。，则L2c/7。的值为（人）

71J16—II2

11

A.一之B.-8C.8D.=

88

可彳日COS2

解析将兀^4sin52°代入,：cos乙,1—27°——cosl4°__cosl4°

O74sin52。@6-16城52。一讪抽52。352。—_8sinl04。

71116—T12

cosl4°cosl40__1

8sin(90°+14°)8cosl408

5.［浙江高考］若0<aV］,cos(：+a)cos(^—=j，则cos(a+1)

C)

AV3

A—B—遗C苧D--T

33

解析不难发现a+g=（；+a）—（-y-&）.注意到OVaV；,贝*Va+：V犯，所以sin

24444222244444

+。）=JL（"I苧

又一尸£<0,所以0<一",所以产一"，所以s<（:?=1-(勺2=如

33

从而cos(a+g)=cos[(:+a)—(^―^)]=cos(个+a)cos(：一§)+sin(：+a)sin(:

_g)—lx—+—X———

233339

6.[2024浙江联考]已知2sina-sin尸®2cosc—cos0=1,则cos(2a—2))

(D)

B-fD.--

48

解析由题可得，（2sin。一sin.）2=3,(2cosa—cos0)2=1,即4sin2a—4sinasin<+

sin2yff=3,4cos2a—4cosacos/3+cos2/3=1,两式相加可得4—4sinasin4cosacos4+1

=4,即cosacos夕+sinasin0=之,故cos(。一夕)=7,cos(2a—20)=2cos2(a一4)

44

-i7

-1=2x—-1=一;故选D.

168

7.[2024广东阳江模拟]已知a£(0,兀)，若遮(sina+sin2(z)+cosa—cos2a=0,贝！J

sin(a-7-)=(C)

12

AV2CV6+V2V6-V2

A-TB-T.4--4-

解析VV3(sina+sin2«)+cosa—cos2ot=0,V3sina+cosa=cos2a—V3sin2a,

sin(a+—)=sin(———2a),/.a+7=7——2a+2E或仪+2+三一2a=2左兀+兀,kRZ,^a=

666666

2kn(6k+2)it1n-7/z\、・2TT.•/IT、

--或a=------------,kRZ,又1£(0,TI),••(!——,•.sin(a——)=sinQ———)=

33312312

.7n./ITI71、.TTHIIT.nV6+V2,»,4.一

sin—=sm\--T-)=sin-cos-+cos-sin-=-------,故选C.

123434344

8.已矢口cos%—sin%=；,且。£(0,三)，则sin2c=坐，cos(2。+、)=2.

32336

角星析Vcos4«-sin4(z=(sin2a+cos2a)(cos2(z-sin2a)=cos2a=|,又。£(0,j),

2

2a(0,兀),sin2a=l—cos2a=—fcos(2a+-)=4os2。——旦in2。=工x2—

V3V52-V15

—x-=---------------

236,

9.[2023湖南张家界模拟]已知锐角a满足1+高熊=高，则。=50。.

-1।V3sin80°+V3cos80°2sin(80°+60°)2sinl4002sin40011

#解73析+:1+------=------------------=-----------------=--------------=--------------=-------=——=

tan80°sin80°sin8002sin40°cos4002sin40°cos40°cos40°sin50°

—,则sina=sin500.因为a为锐角，所以a=50°.

sina

10.化简并求值.

K-4sin200+8sin320。

(1)

2sin20°sin480o

13)1

(2)

COS*2830°cos210°cos200'

haV3-4sin20°(l-2sin2200)百一4sin200cos400_2sin(20。+40。)-4sin200cos40。

解析(l)原式二------------------

2sin20°sin480°2sin20°sin480°-2sin20°sin480°

2sin(40。-20。)112K

2sin20°sin480°sin480°sinl2003*

(coslO。一倔os80o)(cosl()o+V^cos80。)(coslO。一代inl00)(cosl0°+巡isnl00)

（2）原式=

COS280°COS210°COS20°COS280°COS210°COS20°

4cos70°cos50°_4sin20°sin40。32sin220°cos200_

cos280°cos210°cos20°sin210°cos210°cos20°sin220°cos20°

能力练

11.设0GR,则“O<0<$是"V^sin8+cos2(9>r^(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析V3sin0+cos20>l<^V3sin0>1—cos20=2sin20<^(2sin0-V3)sin0<O<^O<sin0

<当当时，0<sin(9<y;当0<sin0〈争寸，2kn<0<^+2kn,左GZ或尹2Mt<6

<?t+2E,左ez.所以0<9<g是仃sin(9+cos26»>l的充分不必要条件.故选A.

12.已知tana=]tan/3=~~,且a,0G(0,兀)，贝!J2a—£=(C)

A-；B事道

C.—牛D：或号或一号

解析VtanGt=i>0,且ad(0,兀),：.a^(0,-),2ae(0,兀)，Atan2ct=2tan°

321tanker

X

=--f-2~->0,(0,-).*.*tan8=—-<09且夕£(0,兀),:.眸(-,兀),

1-(1)4*272

：.2a~眸(一兀，0),又tan(2a—0)=ta-an/?=%-彳：.2a—0=一过.

产"l+tan2atan/?1+^x(-1)产4

13/2023武汉模拟]/G)满足：V.n,x2e(0,1)且不分2,都有现金二"包-<0.a=

X1~X2

sin7°sin83°,b=tan8°,c=cos2^-i,则二丈，心土，八幺的大小顺序为(C)

l+tan/8242abc

f(b)<f(c)vf(a)

b

Df(°)<f(。)<f⑹

cab

解析a=sin7°sin83°=sin7°cos7°=-sin14°,b=，叱==%n16°,c=

29l+tan28°cos28o+sin28°2'

cos2——-=icos—=-sin—=isin15°,.,・aVc<b.由题知，Vxi,%2e(0,1)且修分2,都

2422122122

f(%i)_f(X2)

有过马2-X""2)<0,两边同时除以X]X2得」----匚<0,.”=八2在(0,1)上单

巧一

%2Xi—%2%

调递减，二0_<乙9_<八幺.

bca

14.[多选]已知tanQa+位=tanoc+tan0,其中为吟(〃£Z)且用手(冽£Z),则下列结

论一定正确的是(AD)

A.sin(。+位=0

B.cos(。+0)=\

C.sin2-+sin2^^l

22

D.sin2a+cos2/?=l

解析由条件得上竺"吧^~=tana+tanP丹（〃£Z）且£力蜉（冽£Z））,从而得到

1—tanatan^22

tana+tan£=0,所以a=E—从kRZ,即a+£=析，kRZ,所以sin(a+£)=0,故A

正确；对于B选项，cos(a+£)=cos历i=±l,故B错误；对于C选项，sin2^+sin2|=

sin2+sin2p当左为偶数时，sin2^+sin21=sin21+sin21=2sin2|,故C错误；对于

D选项，sin2a+cos2P=sin2(E-0)+cos2P=sin2cos2>5=1,所以D正确.

15.如图，在平面直角坐标系xO