高考数学 热点题型和提分秘籍 专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 文（含解析）

专题03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【高频考点解读】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【热点题型】题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q【举一反三】已知命题p：∃x∈R，cosx＝eq\f(5,4)，命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则下列结论正确的是()A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧綈q是真命题C．命题綈p∧q是真命题 D．命题綈p∨綈q是假命题【热点题型】题型二全称命题、特称命题的真假判断【例2】下列命题中是假命题的是()A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点【举一反三】下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，sinx＝eq\f(\a\vs4\al(5),2) B．∃x∈R，log2x＝－1C．∃x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>0 D．∀x∈R，x2≥0解析：易知|sinx|≤1，故A是假命题．答案：A【热点题型】题型三含有一个量词的命题否定【例3】设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B【解析】因为任意都满足的否定是存在不满足的，所以选D.【答案】D【提分秘籍】对含有一个量词的命题进行否定的方法：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．【举一反三】若命题p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx>sinx，则命题綈p：()A．∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≥sinx0B．∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0>sinx0C．∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≤sinx0D．∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，＋∞))，tanx0>sinx0解析：∀x的否定为∃x0，>的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≤sinx0.答案：C【热点题型】题型四利用全称(特称)命题的真假求参数范围【例4】若命题p：∃x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则实数a的取值范围是________．【举一反三】设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是________．【高考风向标】1．（·安徽卷）命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0D．∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)≥0【答案】C【解析】易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”．2．（·福建卷）命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0【答案】C【解析】“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0”，故选C.3．（·湖北卷）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∈/R，xeq\o\al(2,0)≠x0D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x04．（·湖南卷）设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＞0B．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤0【答案】B【解析】由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0.5．（·天津卷）已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B.∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1C.∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1D.∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1【答案】B【解析】含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．6.（·新课标全国卷Ⅰ]已知命题p：x∈，2x＜3x；命题q：x∈，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q【答案】B【解析】命题p假、命题q真，所以p∧q为真命题．7．（·重庆卷）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0B．对任意x∈R，都有x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．不存在x∈R，使得x2<0【答案】A【解析】根据定义可知命题的否定为：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0，故选A.【随堂巩固】1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是()A．p为真 B．q为真C．p∧q为假 D．p∨q为真解析：选C命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)4．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数5．下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件解析：选D因为∀x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出eq\f(a,b)＝－1，故排除C.6．已知命题p1：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；p2：∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是()A．(綈p1)∧(綈p2) B．p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2 D．p1∧p27．下列说法中错误的是()A．对于命题p：∃x0∈R，使得x0＋eq\f(1,x0)>2，则綈p：∀x∈R，均有x＋eq\f(1,x)≤2B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是()A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1 D．－2≤a≤19．下列说法错误的是()A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：若“a≠0，则ab≠0”C．若命题p：∃x0∈R，ln(xeq\o\al(2,0)＋1)<0，则綈p：∀x∈R，ln(x2＋1)≥0D．“sinθ＝eq\f(1,2)”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：选Dsinθ＝eq\f(1,2)是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.10．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题 D．綈q为假命题11．有下列四个命题：p1：若a·b＝0，则一定有a⊥b；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝a1－2x＋1都恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))；p4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0.其中假命题的是()A．p1，p4 B．p2，p3C．p1，p3 D．p2，p412．若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx>－\f(b,a)))，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a<x<b}，则在命题“p∧q”“p∨q”“綈p”“綈q”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．答案：綈p，綈q13．已知命题p：“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，1]14．下列四个命题：①∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2；②对∀x∈R，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2；③对∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝eq\r(2).其中正确命题的序号为________．15．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足eq\b