高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值 理（含解析）

专题五函数的单调性与最值【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点．4.常与函数的图象及其他性质交汇命题．5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.【热点题型】题型一考查函数的单调性例1．探讨函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)的单调性．【提分秘籍】1．函数的单调区间是其定义域的子集．2．由函数单调性的定义可知，若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则当x1<x2时，f(x1)<f(x2)((f(x1)>f(x2))．3．一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．4．两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)的单调性与其正负有关，eq\f(1,fx)与f(x)是否为0有关，切不可盲目类比．5.判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：eq\x(取值)⇨eq\x(作差商变形)⇨eq\x(确定符号)⇨eq\x(得出结论)(2)利用导数的基本步骤是：eq\x(求导函数)⇨eq\x(确定符号)⇨eq\x(得出结论)【举一反三】设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．【热点题型】题型二求函数的单调区间例2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤k，,k，fx>k))取函数f(x)＝2－|x|.当k＝eq\f(1,2)时，函数fk(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：由f(x)>eq\f(1,2)，得－1<x<1，由f(x)≤eq\f(1,2)，得x≤－1或x≥1.所以feq\f(1,2)(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,\f(1,2)，－1<x<1，,2x，x≤－1，))故feq\f(1,2)(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．答案：C【提分秘籍】求函数的单调区间的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点，最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【举一反三】设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0] B．[0,1)C．[1，＋∞) D．[－1,0]【热点题型】题型三由函数的单调性求参数的范围【例3】(1)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则()A．f(3)＜f(－4)＜f(－π)B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4)D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x－1，x≤1,logax，x>1))，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．【提分秘籍】单调性的应用常涉及大小比较，解不等式，求最值及已知单调性求参数范围等问题，解决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用．【举一反三】已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.【热点题型】题型四函数的最值问题（换元法）例4、已知函数y＝－sin2x＋asinx－eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)的最大值为2，求a的值．【提分秘籍】换元法解题模板第一步：换元确定解析式中的某一部分作为一个新的变元第二步：定范围根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围M.第三步：转化将问题转化为关于新变元的一个函数在区间M上的最值问题．第四步：求最值利用基本初等函数求最值得原函数的最值．【举一反三】求y＝x－eq\r(1－2x)函数的值域：题型四函数的最值问题（数形结合法）例5、用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．【答案】6【提分秘籍】数形结合法解题模板对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题，解题步骤是：第一步：数变形根据函数解析式的特征，构造图形转化为求几何中的最值．第二步：解形利用几何方法解决图形中的最值．第三步：还形为数将几何中的最值还原为函数的最值．第四步：回顾反思利用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征．【举一反三】函数y＝eq\r(x＋32＋16)＋eq\r(x－52＋4)的值域为________．【高考风向标】1．（·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.2．（·福建卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)3．（·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．【答案】1【解析】由题意可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝1.4．（·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋eq\f(x,x2＋1)(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．5．（·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．6．（·四川卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a，x<0，,lnx，x>0，))其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．7．（·四川卷）设函数f(x)＝eq\r(ex＋x－a)(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是()A．[1，e]B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]8．（·四川卷）函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图像大致是()图1－59．（·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【随堂巩固】1．函数y＝eq\f(1,\r(3x－2))＋lg(2x－1)的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析：选C由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2>0，,2x－1>0))得x>eq\f(2,3).2．已知集合A是函数f(x)＝eq\f(\r(1－x2)＋\r(x2－1),x)的定义域，集合B是其值域，则A∪B的子集的个数为()A．4 B．6C．8 D．163．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()解析：选C由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A、B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是()A．y＝eq\r(x2－2x＋1) B．y＝eq\f(x＋2,x＋1)(x∈(0，＋∞))C．y＝eq\f(1,x2＋2x＋1)(x∈N) D．y＝eq\f(1,|x＋1|)5．已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为()A．R B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(5,2)<x<5))解析：选C由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,10－2x>0，))即0<x<5.6．函数y＝eq\f(2,x－1)的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．(－∞，2]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)7．已知函数f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(4－x)，则函数f(x)的值域为()A．[2,4] B．[0,2eq\r(5)]C．[4,2eq\r(5)] D．[2,2eq\r(5)]8．函数y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是()A．[－2,2] B．[1,2]C．[0,2] D．[－eq\r(2)，eq\r(2)]10．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝|logeq\f(1,2)x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．11．函数y＝eq\r(x＋1)＋eq\f(x－10,lg2－x)的定义域是________．12．函数y＝eq\r(x)－x(x≥0)的最大值为________．解析：y＝eq\r(x)－x＝－(eq\r(x))2＋eq\r(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，即ymax＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)13．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f(x＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x＋2∈[0,1]，故x∈[－2，－1]，所以函数f(x＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x＋2)的