甘肃省酒泉市高一下学期期末数学试题

酒泉市普通高中2021~2022学年度第二学期期末考试高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出结论.【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.2.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦的差角公式即可化简求值.【详解】．故选：A3.已知向量，，若，则实数m的值为（）A. B.6 C. D.6【答案】C【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可【详解】因为，所以，解得．故选：C4.已知直线l，平面，，如果，，那么l与平面的位置关系是（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由面面平行和线面垂直的性质即可得出答案.【详解】如果，，则.故选：D.5.在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是（）A.0.28 B.0.42 C.0.88 D.0.84【答案】C【解析】【分析】甲乙两人至少有一个去参观市博物馆的对立事件为甲乙都不去参观博物馆，所以先计算甲乙都不去参观博物馆的概率，然后利用对立事件的概率公式计算即可.【详解】由题知甲乙都不去参观博物馆的概率为，所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是．故选：C.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由余弦定理及得，即可判断的形状.【详解】由余弦定理及得，，整理得，即，∴为等腰三角形．故选：A.7.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中、、、是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于几何体是柱体，上下底面是扇环，因此只需要求该扇环面积，柱体的高即可得到体积.【详解】依题意得，不妨设弧所在圆的半径为R，弧所在圆的半径为r，由弧长度为弧长度的2倍，可知，又，∴，，故该曲池的体积．故选：B8.梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算求得，，再根据数量积的运算求解即可【详解】，，，，，．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.给定一组数据5，1，4，2，3，2，5，2，则这组数据的（）A.中位数为2.5 B.方差为2 C.众数为2 D.第55%分位数为2【答案】ABC【解析】【分析】由中位数、方差、众数，百分位数的定义即可得出答案.【详解】将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，4，5，5，故中位数为2.5，故A正确；平均数是，方差是，故B正确；众数为2，故C正确；将数据从小到大排列：1，2，2，2，3，4，5，5，第55百分位数为：，为第5个数字3，故D错误．故选：ABC.10.下列四个等式中正确有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正弦函数的差角公式可判断选项A；由正弦的二倍角公式可判断选项B；由正切的和角公式可判断选项C；由辅助角公式结合直线的二倍角公式可判断选项D.【详解】，A正确；，B错误；，C错误；，D正确．故选：AD11.如图，四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为梯形，，，，M是PA上靠近P点的三等分点，则下列叙述中正确的是（）A.平面PAD B.平面MBDC.异面直线BC与PD所成的角是 D.直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由线面平行的判定定理B；由题知异面直线BC与PD所成的角就是直线AD与PD所成的角为，求出可判断C；直线PC与底面ABCD所成的角为，求出可判断D.【详解】∵底面ABCD，平面ABCD，∴，又，，∴平面PAD，A正确；设，连接ME，∵，，∴，又M是靠近P点的三等分点，∴，∴，又平面MBD，平面MBD，∴平面MBD，B正确；∵，∴异面直线BC与PD所成的角就是直线AD与PD所成的角为，∵是等腰直角三角形，∴，故异面直线BC与PD所成的角是，C错误；∵底面ABCD，∴直线PC与底面ABCD所成的角为，又∵，则，∴，D正确．故选：ABD.12.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的值可以为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB【解析】【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、基本不等式与三角形内角的范围可得，再逐个选项判断即可【详解】由三角形三边关系，得到；由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以，且，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故．故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数z满足，则______．【答案】【解析】【分析】利用复数乘法和除法法则计算得到，所以，进而求出模长.【详解】由题知，所以，．故答案为：14.已知甲、乙两地人口之比为，其中甲地人均年收入为10万元，乙地人均年收入为12万元，则甲，乙两地的人均年收入为______万元．【答案】【解析】【分析】设甲、乙两地人口分别为，由平均数的求法可得答案.【详解】由甲、乙两地人口之比为3：5，设甲、乙两地人口分别为∴甲乙两地的人均年收入为：万元．故答案为：15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】对两边同时平方可求出，再由二倍角的余弦公式即可得出答案.【详解】由题得，所以，所以，．故答案为：16.已知正方体的棱长为1，P是中点，过点作平面，满足平面，则平面截正方体所得截面的周长为______．【答案】【解析】【分析】取AD中点E，AB中点F，连接PD，，EF，，，AC，BD，通过证明和来证明平面，再计算周长即可.【详解】取AD中点E，AB中点F，连接PD，，EF，，，AC，BD，如图所示：因为E为AD中点，F为AB中点，则，，所以，所以E，F，，四点共面，根据正方形性质可知平面，而平面，所以，易得，可知，而，所以，即．因为，所以平面PDC，而平面PDC，所以．E为AD中点，F为AB中点，由正方形和正方体性质可知，，且，所以平面PAC，而平面PAC，所以．又因为，，所以平面，即四边形为平面与正方体的截面，正方体棱长为1，所以所得截面的周长．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角的对边分别为，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可直接得到结果；（2）利用余弦定理可得，由同角三角函数平方关系可求得.【小问1详解】由正弦定理得：，又，.【小问2详解】由余弦定理得：，，.18.已知平面向量，的夹角为120°，且，．（1）求；（2）若与垂直，求实数k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再根据平面向量运算律计算即得；（2）利用与的数量积为0即可得解.【小问1详解】由题意【小问2详解】由题意得，，因为与垂直，所以，所以，即，解得．19.“2022年全国城市节约用水宣传周”于5月15日至21日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了100名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取多少人？（2）在（1）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人作进一步访谈，求这2人都是第3组的概率．【答案】（1）各应抽取1人，2人，3人（2）【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的的性质知，每个矩形的面积为每个小组的概率，第1，2，3组的人数比为第1，2，3组概率之比，采用分层抽样的方法抽取即可；(2)由(1)得到每个分组抽取的人数，则采用列举法，罗列所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的概率计算公式得到答案.【小问1详解】由表中的数据可知：第1，2，3组的人数比为0.01：0.02：0.03=1：2：3，∴采用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取1人，2人，3人．【小问2详解】记抽取的6人来自第1组的1人为a，来自第2组的2人为b，c，来自第3组的3人为d，e，f，则在所抽取的6人中随机抽取2人的可能结果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，其中2人都来自第3组的有de，df，ef共3种，∴这2人都是第3组概率．20.如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，O是AC与BD的交点，底面ABCD，，E是PC的中点．（1）求证：平面PAC；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明平面PAC；（2）取OC中点F，先证明出为二面角的平面角．在中，求出．【小问1详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴．在正方形ABCD中，，又∵，∴平面PAC．【小问2详解】取OC中点F，连接EF．∵E为PC中点，∴EF为的中位线，∴．又∵平面ABCD，∴平面ABCD，由（1）可知平面PAC，而平面PAC，∴．∵，∴为二面角的平面角．在中，，，，∴．21.已知函数．（1）求的最小正周期及最大值；（2）若，求x的取值范围．【答案】（1）最小正周期，最大值为2（2），【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简，可求出的最大值，由周期的定义可求得的最小正周期.（2）由得，解三角函数不等式即可得出答案.【小问1详解】，∴的最小正周期，的最大值为2．小问2详解】由得，即．可得，，解得，．22.某市民公园的平面设计如图所示，其中区域ABD为健身区，，，区域BCD为儿童游乐场，，现为了儿童的安全起见，将儿童游乐场周围筑起护栏．（1）若，求护栏的长度（的周长）；（2）设，当取何值时，儿童游乐场BCD面积最