函数的周期性对称性知识点及例题专练讲义高三数学一轮复习

函数的周期性与对称性代数结构（证明）几何描述fxfa+xfffxfa+xfa+xf周期为Tffffff函数对称性与周期性的关系若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.辨析下列表达式，说明函数的哪些性质：f(1-x)=f(1+x)f(fff(x)=f(x-4)f(x)=f(4-x)f(2+x)=f(4-x)f(2+x)=f(x-4)f2+x+ff2+x+f函数的周期性与对称性典型例题：类型一：周期函数求值例1.已知函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x)=f(x+3)，f(x)+f(4-x)=4，则f(2024)=(

)A.1 B.2024 C.2 D.2025类型二：周期函数求交点例2.已知函数y= f (x)的周期为2，当x∈[-1,1]时f (A.1个 B.8个 C.9个 D.10个类型三：周期函数比较大小例3.已知偶函数fx的定义域为R，对任意的x满足f-x=fx+2，且fx在区间-1,0上单调递减，若a=log43A.fc>fa>fb B.f类型四：抽象函数的周期性例4.（多选）已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x+yA.f(0)=1 B.f(1)+f(-1)=1

C.函数f(x)为减函数例5.（多选）已知定义域为R的函数f(x)满足f(1-x)f(1-A.f(2)=1 B.f(x)为偶函数

C.k=1补充练习：一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数y=f(x)的定义域为R，且函数y=f(x+1)为偶函数，函数y=f(x+2)-1为奇函数，则

(

)A.f-12=0 B.f(0)=1 C.f2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=3，且f(1)=0，则f(2023)=(

)A.-3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，当x∈(0,1)时，f(x)=2x，则A.94 B.169 C.984.已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则(

)A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=0，且f(x)不是常函数，则下列说法中正确的有(

)A.若2为f(x)的周期，则f(x)为奇函数 B.若f(x)为奇函数，则2为f(x)的周期

C.若4为f(x)的周期，则f(x)为偶函数 D.若f(x)为偶函数，则4为f(x)的周期6.已知函数f(x)=|sin x|+cos xA.f(x)是偶函数 B.f(x)的周期是π

C.函数f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的值域为[-1,7.已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2)，若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称，且对∀x1,x2∈[0,2]，当xA.f(2)=0 B.f(x)是奇函数

C.f(x)是周期为4的周期函数 D.f8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2),f(x+6)=f(-x),f32=1,A.f(x)是周期函数

B.f(2024)=0

C.f(x)的图像关于直线x=2k-1(k∈Z)对称

D.k=19.已知函数f(x)=-x2-3x,x<0,A.f(x)在区间[7,9]上是增函数

B.f(-2)+f(2022)=2

C.若函数y=f(x)-b在(-∞,6)上有6个零点xi(i=1,2,3,4,5,6)，则i=16xi=9

D.10.以下关于函数y=f(x)，x∈R的四个命题中，正确的有(

)．A.若f(1+2x)=f(1-2x)，则f(x)的图象关于直线x=1对称

B.若f(2-x)+f(2+x)=2，则f(x)的图象关于(2,1)对称

C.若f(x)为偶函数，且f(x+2)=-f(x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称

D.若f(x)+f(x+2)=0，则f(x)是周期函数，周期为211.已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是(

)A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)定义域为R

C.f(x+1)=f(x) D.f(x)是奇函数三、填空题：12.定义在R上的奇函数fx满足fx+2=f-x，当x∈-1,0时，fx13.定义在R上的奇函数fx满足fx=f2-x，且当x∈0,1时，f14.已知函数g(x)的定义域为R，满足g(2-x)=-g(x)，g(x-1)的图象关于直线x=1对称，且g(0)=1，则g(2)=

；i=123gi2=

四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1-3x)