专题03平面向量的数量积常考题型归类（考题猜想10题型）

专题03平面向量的数量积一．向量数量积的运算律1．（2324高一下·河南周口·月考）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（

）A．23 B．23 C．27 D．27【答案】B【解析】设与的夹角为，则，又，，所以，所以．故选：B.2．（2324高一下·广东东莞·月考）对任意向量，下列向量运算一定成立的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】D【解析】例如，可知，但，故A错误；可知，即，故B错误；例如，可知，但，故C错误；对于选项D：由数量积的运算律可得，故D正确；故选：D.3．（2324高一下·四川成都·期中）以下等式错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，正确；对于B，，正确；对于C，设，则，所以，则，而，所以，则，错误；对于D，，正确.故选：C4．（2324高一下·安徽·月考）（多选）下列关于平面向量的运算中，错误的是（

）A．B．C．D．若，则【答案】BCD【解析】因为，故A正确；因为，，而，故B错误；因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与不一定共线，且与不一定相等，故C错误；若，且，则与是任意向量，故D错误.故选：BCD.5．（2324高一下·江西·月考）（多选）已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【解析】A：由，所以，不一定有，故A错误；B：因为，所以，即．得，所以，故B正确；C：因为，所以，即，得，故与反向，所以，故C正确：D：因为．所以存在实数，使得，此时，即，故D正确．故选：BCD．二．坐标法求向量的数量积1．（1213高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，若，则（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】因为，所以，又，，所以，解得.故选：C.2．（2324高一下·重庆·期中）已知向量，，，若，则（

）A． B．24 C． D．12【答案】A【解析】因为，故，故，故，，故.故选：A3．（2324高一下·江苏·月考）在中，满足，则．【答案】【解析】在中，由，可得，所以为直角三角形，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，所以.4．（2324高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，，设，则，所以，得，所以，所以.故选：C.5．（2324高一下·甘肃天水·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M，N分别为线段BC，DC上的点，且，，则的值为.【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，由于，，所以，故，,.三．基底法求向量的数量积1．（2324高一下·天津·月考）在平行四边形中，，，，点在上，满足，则.【答案】/【解析】因为平行四边形中，，，，点在上，满足，所以，，，所以,2．（2324高一下·江苏南京·期中）在平行四边形中，，则（

）A．12 B．16 C．14 D．10【答案】A【解析】，，所以.故选：A.3．（2324搞一下·四川南充·月考）如图，在边长为3的正三角形中，，，则（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【解析】由题意知，，则，所以.故选：C.4．（2324高一下·江西景德镇·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的中点，则的值为（）A． B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】由，，得，由，，得，，，，所以故选：B5．（2324高一下·安徽·月考）如图所示，中，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，.在中，由余弦定理得.所以.故选：A.四．向量的投影求解1．（2324高一下·吉林长春·期中）已知向量与的夹角为，则在上的投影向量的模为；【答案】2【解析】在上的投影向量的模为为.2．（2324高一下·云南·月考）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为.【答案】【解析】依题意，，所以向量在方向上的投影向量为.3．（2324高一下·河北邢台·期中）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】平面向量，，所以向量在上的投影向量为．故选：C．4．（2324高一下·江苏连云港·期中）已知向量，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以在方向上的投影向量为.故选：A5．（2324高一下·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可知点在的中点，且是的外心，所以，又因为，则，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C五．利用数量积求向量夹角1．（2324高一下·天津·月考）已知与，它们的夹角为（

）A．90° B．45°或135° C．135° D．45°【答案】D【解析】设与的夹角为，则，因为，所以，故选：D2．（2324高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，则且，又，，所以，则，所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以.故选：B.3．（2324高一下·辽宁·期中）已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，可得，所以，可得，所以，可得，不妨令分别为且，所以，即，因为且，经检验可得，此时.故选：A.4．（2324高一下·安徽安庆·月考）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为．【答案】【解析】设与的夹角为，因为，即，又，则，即．5．（2324高一下·湖北·月考）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即，所以，即，，，，即；，，，即；，，，所以.故选：D六．根据向量夹角求参数1．（2324高一下·上海·月考）已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为．【答案】【解析】已知，当时，有，此时与方向相同，若与夹角为锐角，则且与不同向，即，解得且，所以实数的取值范围为.2．（2324高一下·江苏盐城·期中）设，且的夹角为钝角，实数的取值范围是.【答案】【解析】因为的夹角为钝角，则且不共线，可得，解得且，所以实数的取值范围是.3．（2324高一下·江苏南京·月考）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，，的夹角为钝角，所以，解得，且，即的取值范围是，故选：B4．（2324高一下·浙江·期中）已知向量，且与的夹角为．(1)求和；(2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【解析】（1）向量，且与的夹角为．则，，，由，有，解得，所以，得．（2），由题意，得，又，，若与共线，则有，解得，此时与同向平行，不合题意，所以且．则实数的取值范围为．5．（2324高一下·河南濮阳·月考）已知向量，，向量满足，且.(1)求的坐标；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设，则，又，且，所以，解得，所以（2）因为，因为与的夹角为钝角，则，解得且，所以实数的取值范围为.七．利用数量积求向量的模长1．（2324高一下·江西赣州·期中）已知向量，向量满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，解得，即，所以．故选：A．2．（2324高一下·山东青岛·期中）如果，，，则的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，故选：A.3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．13【答案】B【解析】根据题意，，则.故选：B4．（2324高一下·云南·月考）已知平面向量，则．【答案】/【解析】因为，所以，解得，则，可得，所以．5．（2324高一下·北京顺义·期中）已知非零向量，，满足：，，，，则．【答案】/【解析】因为，，不妨设，，由，得；由，得；所以.八．数量积与向量垂直关系1．（2324高一下·重庆璧山·月考）已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为向量，，可得，因为，所以，解得：，故选：C2．（2324高一下·河北保定·月考）已知单位向量与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，由，得，所以.故选：C3．（2324高一下·广东茂名·月考）已知向量，若，则.【答案】【解析】由向量，因为，可得，解得.4．（2324高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，,的夹角，若，则．【答案】【解析】由，以及可得，由可得，解得.5．（2324高一下·山西运城·月考）已知向量，满足，，.(1)求在上的投影向量；(2)若向量与垂直，求实数的值.【答案】(1)；；(2).【解析】（1），所以在上的投影向量为.（2）由向量与垂直，得，整理得，即，所以.九．向量数量积的最值与范围1．（2324高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，所以，因为的取值范围是，所以的取值范围是故选：D．2．（2324高一下·山西运城·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE上的一个动点（含端点），则的取值范围是.【答案】【解析】建系如图，则，，设，因为点是边上的一点，则，，，则.3．（2324高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围.【答案】【解析】设,则，.以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,则，,所以.令，，则，.由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，所以.又，所以在上的值域为，所以.4．（2324高一下·辽宁朝阳·期中）已知|，，，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【解析】由，得，即，则，因此，而，所以当时，取得最大值2．故选：A5．（2324高一下·山西忻州·月考）已知，且，则的取值范围是.【答案】【解析】由，得，则，当且仅当共线时取等号，两边平方得，即，解得，所以的取值范围是.十．向量的新定义问题1．（2324高一下·山东淄博·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（

）A． B．10 C． D．2【答案】B【解析】若向量，，则，，则，.故选：B2．（2324高一下·福建福州·期中）（多选）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（

）A．若，则B．C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于D．若，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，由，得，而，因此，又，则或，所以，A正确；对于B，，当时，，当时，，B错误；对于C，的面积，C正确；对于D，由，得，由，得，两式平方相加得，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD3．（2324高一下·重庆璧山·月考）对任意两个非零向量，，定义：(1)若向量，，求的值；(2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；(3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）因为，，所以，所以，故的值为.（2）因为向量、是单位向量，所以，，由，可得，解得，由，可得，，故向量与的夹角的余弦值为.（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则，因为，所以，.因为，所以，.因为是整数，所以，所以，，而，即，所以，因为，，所以，即，故的取值范围为.4．（2324高一下·福建泉州·期中）设非零向量，并定义(1)若，求；(2)写出之间的等量关系，并证明；(3)若，求证：集合是有限集.【答案】(1)；(2)，证明见解析；(3)证明见解析【解析】（1）因为，依题意得，所以，即，所以.（2）的等量关系是.证明如下：依题意得，所以.因为，所以即，所以，故.（3）由（2）及得.依此类推得，设，则.依题意得，，，所以.同理得，，，.所以.综上，集合是有限集.5．（2324高一下·甘肃天水·期中）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”.(1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质；(2)已知数集，请你写出数集对应的向量集