中考数学复习必考题型专训：一元一次方程篇（解析版）

专题07一元一次方程

考点一：一元一次方程之概念

知识回顾

【L方确溺念:----

含有未知数的等式叫做方程.

2.一元一次方程的概念：

只含有一个未知数,且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程.一般形式为：

ax+b=0（a^0）.

必须同时满足三个条件：

①只含有一个未知数.

②未知数的次数是1.

③是整式方程.

3.方程的解与一元一次方程的解：

是方程（一元一次方程）左右两边成立的未知数的值叫做方程（一元一次方程）的解.

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1.12022•贵阳）''五呈"二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方

鼻唧

程”.如:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数

唧.I表示的方程是

项，即可表示方程x+4y=23,则广2y=32

【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案.

【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项,

一个竖线表示一个,一条横线表示一十，

所以该图表示的方程是：户2y=32.

考点二：一元一次方程之等式的性质

〔等魂蹴1

性质1：等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍然成立.

即：a—b,贝必士c=Z?土c

性质2：等式的两边同时乘上（或除以）同一个（不为0的）数，等式仍然成立.

即：a=b,贝i|ac=bc（a+c=Z?+c）（cRO）.

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显式的性质，下列各式变形正确的是（）

ub

A.若一二一贝1!3=6B.若ac=Z?G贝Ua=b

cc

C.若才=片,则a=6D.若-，x=6,则x=-2

3

【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答.

【解答】解："若兔=2,则a=6,故/符合题意；

CC

B、若ac=6c（cW0）,则己=6,故6不符合题意；

a若#=左则2=±&故。不符合题意；

D、-工x=6,则x=-18,故〃不符合题意；

3

故选：A.

3.（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流/跟导体两端的电压仪导体的电阻A之间有以下关系：1=—,

R

去分母得/仁〃那么其变形的依据是（）

A.等式的性质1B.等式的性质2

C.分式的基本性质D.不等式的性质2

【分析】根据等式的性质，对原式进行分析即可.

【解答】解：将等式/=旦,去分母得IR=U,实质上是在等式的两边同时乘R,用到的是等式的基本性质

R

2.

故选：B,

考点三：一元一次方程之解一元一次方程

知识回顾

;解元次方程的%骤:

①去分母一一等式左右两边同时乘分母的最小公倍数.

②去括号.注意括号前的符号,是否需要变号.

③移项一一含有未知数的项移到等号左边,常数移到等号右边.移动的项一定要变符号.

④合并一一利用合并同类项的方法合并.

⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数（或乘上系数的倒数）

4.（202赏或德州）小明解方程罟—1=的步骤如下：

解：方程两边同乘6,得3（x+l）-l=2（x-2）①

去括号，得3x+3-l=2x-2②

移项，得3x-2x=-2-3+1③

合并同类项，得x=-4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（）

A.①B.②C.③D.④

【分析】对题目的解题过程逐步分析,即可找出出错的步骤.

【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+l）-6=2（x-2）,

...出错的步骤为：①，

故选：A.

5.（2022•百色）方程3x=2x+7的解是（）

A.x=4B.x=-4C.x=7D.x=-7

【分析】方程移项合并,即可求出解.

【解答】解：移项得：3x-2x=7,

合并同类项得：x=7.

故选：C.

6.（2022•海南）若代数式x+1的值为6,则x等于（）

A.5B.-5C.7D.-7

【分析】根据题意可得,x+l=6,解一元一次方程即可得出答案.

【解答】解：根据题意可得，

x+l=6,

解得：x=5.

故选：A.

7.（2022•威海）按照如图所示的程序计算,若输出y的值是2,则输入x的值是

【分析】不知X的正负，因此需要分类讨论,分别求解.

【解答】解：当x>0时,」+1=2,

x

解并检验得X=1.

当后0时,2x-1=2,

解得x=L5,

VI.5>0,舍去.

所以x=1.

故答案为：x=L

考点四：一元一次方程之实际应用

知识回顾

；列方程解实际应用着的步骤：

①审题一一仔细审题，找出题目中的等量关系.

②设未知数一一根据问题与等量关系直接或间接设未知数.

③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程.

④解方程一一按照解方程的步骤解一元一次方程.

④答一一检验方程的解是否满足实际情况,然后作答.

2.常见的基本等量关系：

①行程问题基本等量关系：

路程=时间义速度;时间=路程+速度;速度=路程+时间.

顺行：顺行速度=自身速度+风速（水速）；逆行速度=自身速度一风速（水速）

②工程问题：

工作总量=工作时间X工作效率.

③配谈问题：

实际生产比=配套比.

④商品销售问题：

利润=售价一成本;售价=标价xo.1折扣;利润率=利润+进价X100%

⑤图形的周长，面积，体积问题.

3.常见的建立方程的方法：

①基本等量关系建立方程.

②同一个量的两种不同表达式相等.

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X____________________________________________J

8.（2022•六盘水）我国“卯-41型"导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫=340米/秒），则''加

-41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标?设飞行x分钟能打击到目标,可以得到方程

（）

A.26X340X60^=12000B.26X340^=12000

D.空“皿°

C=12000

【分析】根据速度义时间=路程列方程,时间单位换算成分,路程单位换算成公里即可得出答案.

【解答】解：根据题意得：26X340X6Qx-12000,

1000

故选：D.

9.（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验.如图

所示,在轻质木杆。处用一根细线悬挂,左端A处挂一重物,右端6处挂钩码,每个钩码质量是50g.若OA

=20cm,OB=40cm,挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡.设重物

的质量为xg,根据题意列方程得（）

A.20^=40X50X3B.40jr=20X50X3

C.3X20^=40X50D.3X40^=20X50

【分析】利用重物的质量X》的长度=3个钩码的质量义刃的长度,即可得出关于x的一元一次方程,

此题得解.

【解答】解：依题意得：20x=40X50X3.

故选：A.

10.（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问

题：”良马日行二百四十里,鸳马日行一百五十里，野马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快

马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天,试问快马几天可以追上慢马?若设快马x天可以追

上慢马，则下列方程正确的是()

A.240x+150x=150X12B.240x-150^=240X12

C.240^+150^=240X12D.240x-150x=150X12

【分析】利用路程=速度义时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程,即可得出关于

x的一元一次方程,此题得解.

【解答】解：依题意得：240x-150x=150X12.

故选：D.

11.(2022•十堰)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载："今有清酒一斗直粟十斗，醋酒一斗直粟三

斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醋酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醋酒价值

3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醋酒各几斗?如果设清酒x斗,那么可列方程为()

A.10x+3(5-x)=30B.3x+10(5-x)=30

【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗,则可得到醋酒(5-x)斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒,

即可列出相应的方程.

【解答】解：设清酒x斗,则醋酒(5-x)斗，

由题意可得：10x+3(5-x)=30,

故选：A.

12.(2022•随州)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，弩马日行一百五十

里.鸳马先行一十二日，问良马几何追及之."意思是：''跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走

150里，慢马先走12天,快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为()

A.150(12+x)=240xB.240(12+x)=150x

C.150(x-⑵=240xD.240(x-⑵=150x

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度X时间，即可得出关于x的一元一次方程,此题得

解.

【解答】解：设快马x天可以追上慢马,

依题意，得：150(田12)=240工

故选：A.

13.（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数

成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是其最高的代数成就.《九章算术》中有这样一个

问题：”今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及

之？"译文：”相同时间内，走路快的人走100步,走路慢的人只走60步.若走路慢的人先走100步,走路

快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的

方程是（）

6060

A.x=100-----XB.x—100+---x

100100

100100

C.---x=二100+xD.---x=100-x

6060

【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步,

即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.

【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走」-X60,

100

依题意，得：x-X60+100=^.

100

故选：B.

14.（2022•甘肃）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题："今有凫起南海，七

日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北

海;大雁从北海起飞,9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇?设经过x天

相遇，根据题意可列方程为（）

A.（—+—）x=1B.（---）x=1C.（9-7）x=lD.（9+7）x=1

7979

【分析】设总路程为1,野鸭每天飞1,大雁每天飞』，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总

79

路程即可得出答案.

【解答】解：设经过X天相遇，

根据题意得：lx+lx=l,

79

故选：A.

15.（2022•南充）《孙子算经》中有"鸡兔同笼"问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头,下有九十四足，问鸡

兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为（）

A.4x+2（94-x）=35B.4x+2（35-x）=94

C.2x+4（94-x）=35D.2x+4（35-x）=94

【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有（35-x）只，利用足的数量=2火鸡的只数+4X兔的只

数,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.

【解答】解：•••上有三十五头,且鸡有x只，

兔有（35-X）只.

依题意得：2x+4（35-x）=94.

故选：D.

16.（2022•南通）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五,不足四十五;人出七，余三.问人数、羊价各

几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱;若每人出7钱，多余3钱.问人数、羊价

各是多少?若设人数为x,则可列方程为.

【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可.

【解答】解：若设人数为%则可列方程为：5x+45=7x-3.

故答案为：5x+45=7x-3.

17.（2022•大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题："今有共买豕，人出一百，盈一百；人

出九十，适足.”其大意是：“今有人合伙买猪,每人出100钱，则会多出100钱;每人出90钱,恰好合

适.”若设共有x人，根据题意，可列方程为.

【分析】先根据每人出90钱，恰好合适,用x表示出猪价,再根据〃每人出100钱,则会多出100钱”，即

可得出关于x的一元一次方程,即可得出结论.

【解答】解：：每人出90钱，恰好合适，

猪价为90x钱，

根据题意,可列方程为100x-90^=100.

故答案为：100x-90x=100.

18.（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题

一共20个,记分规则如下：每答对一个得5分,每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分,则小红答

对的个数为（）

A.14B.15C.16D.17

【分析】设小红答对的个数为x个,根据抢答题一共20个,记分规则如下：每答对一个得（5分），每答错

或不答一个扣（1分），列出方程求解即可.

【解答】解：设小红答对的个数为x个，

由题意得5x-（20-x）=70,

解得x=15,

故选：B.

19.(2022•台湾)某鞋店正举办开学特惠活动,如图为活动说明.

开学特惠活动

任选两双鞋，第二双打六折

—J

活动说明：

两双鞋定价不同时以低价者折扣

此活动不得与折价券合并使用

小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券.若

小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元,则下列叙述何者正确？()

A.使用折价券的花费较少,且两双鞋的定价相差100元

B.使用折价券的花费较少,且两双鞋的定价相差250元

C.参加特惠活动的花费较少,且两双鞋的定价相差100元

D.参加特惠活动的花费较少,且两双鞋的定价相差250元

【分析】设两双鞋子的价格分别为x,y(x<y),则特惠活动花费0.6A%使用折价券花费0.8(户力，由

0.6x+y-0.8(j+y)=-0.2x+0.2尸0.2(y-x)>0可得使用折价券的花费较少，由0.2(y-x)=50可得

y-x=250,即两双鞋定价相差250元，即可求解.

【解答】解：设两双鞋子的价格分别为x,y(x<y),

•••特惠活动花费：0.6e外使用折价券花费：0.8(田门，

0.6x+y-0.8(x+y)

=-0.2x+0.2y

=0.2(p-x)>0,

・•・使用折价券的花费较少，

VO.2(y-x)=50,

.'.y-x=250,

...两双鞋定价相差250元，

故选：B.

20.(2022•台湾)根据如图中两人的对话纪录，求出哥哥买游戏机的预算为多少元？()

③骗糠上二，・3

哥，你之前提到的

道激樵^了;更？

值）遇波•因篇它的售僧

比我的颈算退要多1200元®

通.台避激微

，正在打8折促^耶!

雄）追棣比我的孩算遐要少

埠留200元耶！

::囱口@Aa⑤，

A.3800B.4800C.5800D.6800

【分析】设哥哥买游戏机的预算为x元,根据题意列出一元一次方程,解方程,即可得出答案.

【解答】解：设哥哥买游戏机的预算为x元，

由题意得：（户1200）X0.8=x-200,

解得：x=5800,

故选：C.

21.（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不

尽,又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何?大意为：今有100头鹿进城,每家取一头鹿，没有取完,剩下的

鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家?在这个问题中，城中人家的户数为（）

A.25B.75C.81D.90

【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人家户数+工X城中人家户数,即可得出关于x的一元

3

一次方程,解之即可得出结论.

【解答】解：设城中有X户人家，

依题意得：jr+—x=100,

3

解得：x=75,

城中有75户人家.

故选：B.

22.（2022•河北）〃曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大船上,并在船侧面标

记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标

记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体

重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）

孙权曾致巨象，太祖欲

知其斤重，访之群下，

咸莫能出其理，冲

日：“置象大船之上，

而刻其水痕所至，称物

以载之，则校可知矣。”

-----＜三国志》

A.依题意3X120=x-120

B.依题意20A3X120=（20+1）x+120

C.该象的重量是5040斤

D.每块条形石的重量是260斤

【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论.

【解答】解：由题意得出等量关系为：

20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，

,/已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤，

.".20^+3X120=（20+1）^+120,

选项不正确,8选项正确；

由题意：大象的体重为20X240+360=5160斤，

C选项不正确；

由题意可知：一块条形石的重量=2个搬运工的体重，

每块条形石的重量是240斤，

选项不正确；

综上，正确的选项为：B.

故选：B.

23.（2022•牡丹江）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价

为每件元.

【分析】设该商品的标价为每件X元,根据八折出售可获利2元,可得出方程：80%x-10=2,再解答即

可.

【解答】解：设该商品的标价为每件x元，

由题意得：80%^-10=2,

解得：x=15.

答：该商品的标价为每件15元.

故答案为：15.

24.（2022•长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，

一房七客多七客，一房九客■房空.其大意为：今有若干人住店，若每间住7人,则余下7人无房可住;若

每间住9人,则余下一间无人住.设店中共有x间房,可求得x的值为.

【分析】由等量关系''一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得.

【解答】解：依题意得：

7户7=9（x-1）,

解得：x=8,

故答案为：8.

25.（2022•百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速

公路,在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（力和路程（s）数据如表,按照这个速

度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是

千米.

寅小时）0.20.60.8

二（千米）206080

【分析】可设小韦家到纪念馆的路程是x千米,根据高速路行驶速度不变的等量关系列出方程计算即可

求解.

【解答】解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米，依题意有：

x-7-5—9

20+0.2—，

解得x=212.

故小韦家到纪念馆的路程是212千米.

故答案为：212.

26.（2022•绥化）在长为2,宽为x（l<x<2）的矩形纸片上,从它的一侧,剪去一个以矩形纸片宽为边长的正

方形(第一次操作)；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形(第二次操作)；按此方式，如

果第三次操作后,剩下的纸片恰为正方形,则X的值为.

【分析】本题中的X与(2-x)不知那个大,因此需要分类讨论,从而列方程求解.

【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和(2-x),第二次操作后的两边长分别是(2x-2)和(2-

x).

当2x-2>2-x时，有2x-2=2(2-x),解得x=1.5,

当2x-2<2-x时，有2(2x-2)=2-x,解得x=l.2.

故答案为：1.2或者1.5.

27.(2022•河北)如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.

Q个

(1)甲盒中都是黑子,共10个.乙盒中都是白子,共8个.嘉嘉从甲盒拿出