2025年高考数学一轮复习：残差分析与决定系数 专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-残差分析与决定系数-专项训练

・■■..............基础巩固练

1.某生物实验小组设计实验,得到光照强度尤与某种植物光合作用速率y的一组数据（即,8）,经

n△

过分析提出了四种回归模型⑦②③④，这四种模型的残差平方和E8-%）2的值分别为

1=1

0.48,0.99,0.15,1.23,则拟合效果最好的是（）

A.模型①B.模型②

C.模型③D.模型④

2.下列关于回归分析的说法错误的是（）

A.回归直线一定过样本点的中心（元，歹）

B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C.甲、乙两个模型的R2分别约为0.97和0.82,则模型乙的拟合效果更好

D.两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好

3.线性回归分析模型中，变量X与¥的一组样本数据对应的点均在直线y=$+l上,R2表示解

释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2=（）

11

A.2B.lC.|D；

4.为调查某企业年利润M单位:万元）和它的年研究费用尤（单位:万元）的相关性,收集了5组成

对数据（x,y）,如下表所示：

X12345

',50607080100

A

由上表中数据求得y关于尤的经验回归方程为y=12x+a,据此计算出样本点（4,80）处的残差（残

差=观测值-预测值）为（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

5.（多选题）6个数据（x,y）的散点图如图所示,采用一元线性回归模型建立经验回归方程，在6个

数据中去掉夙5,6）后，下列说法正确的是（）

4•4（1,6）.£（5,6）

•8（2,5）

..0（4,4）

C（3,4）”（6,3）

0|

A.解释变量尤与预报变量y的相关性变强

B.样本相关系数厂变大

C.残差平方和变小

D.决定系数F变小

6.（多选题）下列命题中，是真命题的是（）

A.样本数据尤,伞=1,2,…与样本数据9=方+（?«=1,2,…,”）,c为非零常数,两组样本数据的样本

平均数相同

B.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

C.（x-y）"的二项展开式中，第r项的二项式系数是RT

D.在线性回归模型中，相关指数配越接近于1,说明回归的效果越好

7.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品，测得如下数据：

色

差212325272931

X

色

度151619202123

已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且y=0.8x+a,现有一对测量数据

（32,23.3）,则该组数据的残差为.

A

8.（2023连云港期中）已知样本点（汨,8）（，=1,2,3,…的回归直线方程为y=2x+o,若样本点（r,l）

AA

与（l,s）的残差相同，则s与r的关系式为.（附:样本点（无萌）的残差生=*%）

9.（2023无锡月考）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几

年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：

年

20152016201720182019202020212022

份

年

份

代12345678

码

r

新

增

光

伏

装

0.40.81.63.15.17.19.712.2

机

量

v/

兆

瓦

AA

某位同学分别用两种模型勖=加+区勃=心+。进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差

A

分析，残差图如图（注:残差等于％%）:

经过计算得£（如元）0歹）=72.8,£（总元＞=42,XS工）8-歹）=686.8,£ft-t）2=3570,其中

1=11=11=11=1

7—1°

ti=xi，t=6£ti.

8i=i

⑴根据残差图，比较模型①、模型揶拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.

（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程,并预测该地区2024年新增光伏装

机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）

A

S（Xi-x）（ycy）A

参考公式:b=3———,a=y-bx.

S（x；-x）2.

i=l

综合提升练

10.（2023盐城期中）某种产品的广告支出费用M单位:万元）与销售量y（单位:万件）之间的对应

数据如下表所示:

广

告

支

出2.22.64.05.35.9

费

用

X

销

售

3.85.47.011.612.2

y

A

根据表中的数据可得回归直线方程为y=2.27尤-1.08小2乜）.96,则以下说法正确的是（）

A

A.第三个样本点对应的残差e3=-l,回归模型的拟合效果一般

B.第三个样本点对应的残差03=1,回归模型的拟合效果较好

C.销售量y的多少有96%是由广告支出费用带来的

D.销售量y的多少有4%是由广告支出费用带来的

11.对于一组具有线性相关关系的数据（无必）。=1,2,3,…⑼,根据最小二乘法求得回归直线方程

AAA

为y=6x+a,则下列说法正确的是（）

A.预报变量y的值由解释变量x唯一确定

B.在回归分析中,上=0.80的模型比R2=O.98的模型拟合效果好

AAA

C.所有的样本点均落在回归直线y=6x+a上

D.残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

12.（多选题）某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福

感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中尤是收入与生活成本的比值,y是幸福感分数,

A

经计算得回归方程为y=1.501x+1.541.根据回归方程可知（）

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

A.y与x成正相关

B.样本点中残差的绝对值最大是2.044

C.只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感

D.当收入是生活成本的3倍时,预报的幸福感分数为6.044

13.某种产品的广告支出尤（单位:万元）与销售额y（单位:万元）之间的关系如下表:

v24568

v3040605()70

若已知y关于尤的经验回归方程为y=6.5x+17.5，则当广告支出为6万元时，随机误差的效应（残

差）为万元.（残差=观测值-预测值）

A

14.（2023扬州调研）现有一组统计数据x和％根据数据建立如下的两个模型:g=6.5x+2,②

A

y=7x+2.8.通过残差分析发现线性模型①比线性模型型合效果好.若R2,Q分别是相关指数

和残差平方和，则下列结论正确的是.®R1>形，②睹<谬，③

15.（2023苏州调研）某高科技公司对其产品研发年投资额尤（单位:百万元）与该产品的年销售

量y(单位:千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.通过初步分析，求得年销售

A

量y关于年投资额x的经验回归方程为y=1.2/L3.

t年销售量/千件

6--------------------

5--------------------

4

3

2

11年投窖额值万元

0123456

表1

X1>315

v0.511.5：65

表2

X12345

二二In

-0.700.41.11.7

y

⑴该公司科研团队进一步分析散点图的特征后，计划用尸*+。作为年销售量y关于年投资额

x的非线性经验回归方程,请根据参考数据及表2中的数据,求出此方程；

(2)若求得线性回归模型的相关系数暇=0.88,请根据参考数据，求出(1)中非线性回归模型的相

关系数形,并比较两种回归方程的拟合效果哪个更好.(精确到0.01)

55

参考数据：tx?=55，X^/=13.4;e-°-68s0J4,e-009»0.96,e0-50=1.74,e109~3.15,e1-68~5.67.

i=li=l

nnnAnA

AA

S(xrx)(yry)£Xiynxy△c2优-%)2N优-%)2

i=l_i=lc

参考公式:b=n,a=y-位,耳----7=1耳----2

_2一九？_2

££xj-rixE(y㈤2?y2,^

i=li=li=li=l

创新应用练

164,8两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的13个位置的坐

标信息如下：

X-0.93-0.82-0.77-0.61-0.55-0.33-0.27

V-0.26-0.41-0.45-0.45-0.60-0.67-0.68

X0.100.420.580.640.670.76

-0.710.640.550.550.530.46

A小组根据表中数据,直接对3作线性回归分析，得到回归方程为y=0.5993元+0.005,相关指数

7?2=0,4472;

B小组先将数据依变换片式片产进行整理，再对v,u作线性回归分析，得到回归方程为

A

u=-0.5006"+0.4922,相关指数1?2=0.9375.

根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是()

A.0.5993%-y+0.005=0

B.0.5006x+y-0.4922=0

0.5006%2y2

,0.4922+0.4922—

%20.5006y2

"o.4922+0.4922

参考答案

l.C2.C3.B4.C5.AC6.BCD

7.-0.58.s=3-2r

9.解(1)选择模型①

理由如下:根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近,

模型②的残差值相对较大一些,所以模型①的拟合效果相对较好.

AAA

(2)由⑴可知,y关于x的回归方程为y=bx^+a,

AAA

令Ux2,则y=bt+a.

由所给数据可得£=：£Tx(l