2025届高考数学一轮总复习第10章概率第2节古典概型跟踪检测文含解析

PAGE第十章概率其次节古典概型A级·基础过关|固根基|1.(2025届黄冈质检)一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选B3卷文集随机排列，共有6种结果，其中卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)解析：选D用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元，y元，z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的全部不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．乙获得“手气最佳”的全部不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．依据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．(2025届惠州市高三其次次调研)我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《数书九章》、《缉古算经》有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(9,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)解析：选B记这5部专著分别为A，B，C，D，E，其中A，B，C产生于汉、魏、晋、南北朝时期，则从这5部专著中选择2部的全部基本领件为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，所选的2部专著都不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的状况只有(D，E)这1种，依据对立事务的概率公式可知，所选2部专著中至少有1部是汉、魏、晋、南北朝时期的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)，故选B.4．(2025届武汉市部分学校调研)将一枚质地匀称的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是()A.eq\f(7,36) B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36) D.eq\f(5,18)解析：选C投掷骰子两次，所得的点数a和b满意的关系为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*，))所以a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1，2；当b＝4时，a可取1，2，3，4；当b＝5时，a可取1，2，3，4，5，6；当b＝6时，a可取1，2，3，4，5，6.满意条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝eq\f(19,36)，故选C.5．(2024年全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选D将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列的状况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A16．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种状况，故构成的四边形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．(2025届福建市第一学期高三模拟考试)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣扬画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣扬画相邻的概率是________．解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣扬画分别为a，b，c，则并排贴的状况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的状况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1.(1)则f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为________；(2)从f(x)中随机抽取两个，则它们在(1，f(1))处的切线相互平行的概率为________．解析：(1)由题意得－eq\f(b,2×\f(1,2)a)≥－1，即b≤a.而(a，b)可能状况有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，满意b≤a的有3种，故概率为eq\f(3,4).(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种状况，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，所以这两个函数中的a与b之和应当相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满意，故概率为eq\f(1,6).答案：(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(1,6)9．(2025届成都模拟)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成果达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下，A类行业：85，82，77，78，83，87；B类行业：76，67，80，85，79，81；C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82.(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行沟通发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．解：(1)由题意知，抽取的三类行业的单位个数之比为3∶3∶4.由分层抽样的定义，得A类行业的单位个数为eq\f(3,10)×200＝60；B类行业的单位个数为eq\f(3,10)×200＝60；C类行业的单位个数为eq\f(4,10)×200＝80.∴A，B，C三类行业的单位个数分别为60，60，80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事务M.在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有(85，82，77)，(85，82，78)，(85，82，83)，(85，82，87)，(85，77，78)，(85，77，83)，(85，77，87)，(85，78，83)，(85，78，87)，(85，83，87)，(82，77，78)，(82，77，83)，(82，77，87)，(82，78，83)，(82，78，87)，(82，83，87)，(77，78，83)，(77，78，87)，(77，83，87)，(78，83，87)，共20种．这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有(85，82，83)，(85，82，87)，(85，83，87)，(82，83，87)，共4种．这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种．∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种．∴所求概率P(M)＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).10．(2025届昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，激励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发觉，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.(1)若引种树苗A，B，C各10棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率．(2)该农户确定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)①依题意知，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的总棵数约为26.②由题意知没有自然成活的树苗共4棵，其中2棵A种树苗，1棵B种树苗，1棵C种树苗，分别设为a1，a2，b，c，从中随机抽取2棵，可能的状况有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，共6种，其中抽到的2棵都是树苗A的有(a1，a2)，共1种，故抽到的2棵都是树苗A的概率为eq\f(1,6).(2)设该农户引种B种树苗n棵，则最终成活的棵数为0.9n＋(1－0.9)n×eq\f(3,4)×0.8＝0.96n，未能成活的棵数为n－0.96n＝0.04n，由题意知0.96n×300－0.04n×50≥200000，则n>699.所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元.B级·素养提升|练实力|11.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)解析：选C由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率是P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).12．设f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)·g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝ax·g(x)，eq\f(f（1）,g（1）)＋eq\f(f（－1）,g（－1）)＝eq\f(5,2)，在有穷数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(f（n）,g（n）)))(n＝1，2，…，10)中，随意取前k项相加，则前k项和大于eq\f(63,64)的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选B设h(x)＝eq\f(f（x）,g（x）)，则h′(x)＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)<0，故h(x)＝ax在R上单调递减，所以0<a<1，又eq\f(f（1）,g（1）)＋eq\f(f（－1）,g（－1）)＝a＋eq\f(1,a)＝eq\f(5,2)，解得a＝eq\f(1,2)，则数列eq\f(f（n）,g（n）)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，其前n项和Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，因为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)>eq\f(63,64)，所以n>6，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).13.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8，则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶．假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称，小亮打算参与此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参与活动先后记录的数，则基本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应，得基本领件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事务A则事务A包含的基本领件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事务B，“3<xy<8”为事务C则事务B包含的基本领件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事务C包含的基本领件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．14．(2025届合肥市第一次教学质量检测)一家大型购物商场托付某机构调查该商场的顾客运用移动支付的状况．调查人员从年龄(单位：岁)在