2025年高考数学一轮复习突破训练：数列 解答题（六大题型）（原卷版新高考专用）

特训13数列解答题（六大题型）

方法归纳

1.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等

比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用"=i,

d>0证明不等式成立.另外本题在探求｛斯｝与｛金｝的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.

2.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项

和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

3.（1）形如斯+1=犯+£（存0,1,毋0）的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加

上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等

比数列.

（2）递推公式即+i=aa〃+夕的推广式斯+i=aa”+价^（分。/，年0,#0,1）,两边同时除以产后得到*7=1不

+9转化为勿+1=轨+3#0,1）的形式，通过构造公比是人的等比数歹小“一沿1求解.

题型归纳

目录：

♦题型01：定义法求数列通项公式、前n项和

♦题型02：等差、等比数列的综合应用

♦题型03：由递推关系求递推公式

♦题型04：数列的综合应用

♦题型05：利用数列证明不等式

♦题型06：求参数范围

♦题型01：定义法求数列通项公式、前n项和

1.已知数列｛4｝的前〃项和为%满足S“=2q,-l（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式an及S”.

⑵若数列也,｝满足我=|S,-31|,求数列出｝的前10项的和九.

2.已知数列｛%｝中，％=1,q,+i=2q,+3x2"T（〃eN*）.

⑴判断数列;墨｝是否为等差数列，并说明理由；

⑵求数列｛%｝的前W项和s.

111

3.已知公差不为0的等差数列｛4｝的首项为=3,且一，一，一成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若纯=100-4，求数列｛标|｝的前〃项和T„.

4.已知数列｛为｝满足q=1,«„+i=2a„+l.

⑴证明：数列｛%+1｝是等比数列；

⑵设bn=--,求数列也｝的前w项和Sn.

5.已知等差数列｛。,｝的前w项和为S“，at+a2+3a4=25,且%+2,%，%-2成等比数歹！J.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

？

⑵设bn=an-而，求数列也｝的前"项和1.

♦题型02：等差、等比数列的综合应用

6.在数列｛。“｝中，4=2,%=8,且对任意的〃eN*,都有an+2=4an+l-4an.

(1)证明：｛。,+「2%｝是等比数列，并求出｛%｝的通项公式；

—,n=2k—l,keN

⑵若"=<""

，求数列出｝的前"项和T,.

log2—,n=2k,kwN*

7.已知数列｛4｝的前"项和为S“=3,/+5〃，数列也,｝满足4=8,bn=64bn+l.

(1)证明｛4｝是等差数列;

(2)是否存在常数a、b,使得对一切正整数〃都有。,=log.2+6成立.若存在，求出a、b的值；若不存在,

说明理由.

8.已知数列a｝满足4,+2=44,(4为实数，且4*1)，“eN*，4=1,%=2,且%+%，/+%，%+%成等差数列.

(I)求4的值和他“｝的通项公式;

(II)设或=地&H〃N*,求数列以］的前"项和.

a2n-\

9.已知数列｛q｝的前n项和为S“，q=l,­=2S“+l(〃wN*),等差数列也｝中〃>。(“€"*),且

4+&+4=15,又％+伉、a2+b2,%+4成等比数列.

(I)求数列｛%｝、｛%｝的通项公式；

(II)求数歹£。“心,｝的前n项和

io.已知数列I：；和："满足不｝…/=18『1，；7口若上｝为等比数列，且为=2寓=喙*逐

(1)求<7.与％：;

(2)设j=-ln€.V*l.记数列kJ的前；：项和为S丁

⑴求；

(ii)求正整数k，使得对任意三.\一，均有12st.

11.已知〃wN*,数列也｝的前〃项和为S“，且S“=a用-%；数列他,｝的前w项和为且满足

(+4="+：〃(1+4)，且

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)求数列也｝的通项公式；

(3)设c“=，，问：数列｛%｝中是否存在不同两项G，J(l<i<j,JeN*),使G+c,仍是数列｛cj

un

中的项?若存在，请求出i,力若不存在，请说明理由.

♦题型03:由递推关系求递推公式

12.已知数列｛4｝满足q=2,是以4为首项，2为公差的等差数列.

(1)求｛q｝的通项公式；

⑵若数歹！J工的前”项和S“，证明：

1

13.已知数列｛。“｝满足：4=3,an=an_i+2"-(M>2,MeN*).

(1)求数列｛«„｝的通项公式及前"项和S“；

⑵令，(=4+24+I+2"T2("WN*),求证：7；,<1(neN*).

a，a

n„+i-6

、，41

14.已知数列｛q,｝满足q=3,出=5,an+2=-«„+1--an

(1)求数列｛4｝的通项公式％

(2)设么=：/(6-%),S"为数列他」的前〃项和，若S,+："©)"<3恒成立，求实数m的取值范围

323m+2

15.已知数列｛%｝的前〃项和为S”(〃eN*),在数列也｝中，4=q=l,na”=2〃-1,

帅2bM.b"b田=3$,

⑴求数列｛%｝,也,｝的通项公式；

⑵设c“=(T)""，，T"为数列｛%｝的前"项和，求T,的最值.

un

16.已知数列｛%｝满足q=g,”用=7

,、b

⑴证明：存在等比数列低｝,使〃〃=武p

(2)若‘+,+'+…+’<2022,求满足条件的最大整数〃.

dyCl?^^3n

17.已知数列｛%｝中，flj=1,a,=2,%+2-%=4(〃eN*),数列｛%｝的前"项和为S「

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)若*=$匚'求数列出｝的前〃项和T"；

⑶在(2)的条件下，设g=—，求证：6宁--

444+2，k=\，

18.在数列｛。“｝中，=a,a2=b,a3=c,且。川=.函数y=/(x)满足：八")的值均为正整数，其中“eN*,

数列勿=%").

⑴若a=Lb=2,c=3"(〃)=2〃+l,求数列也｝的通项公式；

(2)若a,b,c互不相等，且/(〃)=4"(4€川'，4>1)也+2=%也+产〃,，求4的取值范围；

⑶若/⑺=2"+(-1)^，求数列圾｝的前2021项的和.

19.在递增的等差数列｛q｝中，已知出+%=10,。「。4=16.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵若数列也｝满足今+3+3+•+含，求数列也｝的通项公式；

⑶令％=等，求数列｛c“｝的前〃项和T„.

♦题型04：数列的综合应用

20.已知首项为垓的等比数列｛an｝不是递减数列，其前n项和为Sn(n£N*),且S3+a3,Ss+as,S4+a4成等

差数列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设Tn=Sn-/(n€N*),求数列｛「｝的最大项的值与最小项的值.

21.已知数列中的相邻两项的i，%为是关于x的方程/-?^包上)》+3左？*=的两个根，且

alk_x<a2k(k=1,2,3,).

(I)求q，&，。3107；

(II)求数列1%｝的前2"项和工”;

lflsin/il)(一1)/⑵(-I)/。)(_i)"4)(一1*

(III)记/(")=彳^^+3,T"=S—++—+...+^—,求证：Jw］〈三5(”eN*).

aa

2(sin〃Ja5a62n-i2n624

22.已知数列｛即｝,｛bn］,为数列｛〃〃｝的前几项和，向量x=(1,加)，，二(即一1,5〃)，xlly.

(1)若bn=2,求数列｛的｝通项公式；

(2)若勿=—,〃2=0.

①证明：数列｛即｝为等差数列；

②设数列｛切｝满足。”=嗅，问是否存在正整数/,做/<叫且印2,«#2),使得Q,%4成等比数列，若存

4+2

在，求出/、机的值；若不存在，请说明理由.

♦题型05：利用数列证明不等式

23.在数列｛%｝中d=2,(?„+1=2--,在数列｛4｝中4=1,且J=色"=4".

4〃a2n-la2n

⑴求证数列［六］成等差数列并求为；

1111cl1,

(2)求证：—+—+-+——+—<3-------7(«>1).

4a2a2n-la2„nn+1

rb

24.已知数列｛q,｝,｛2｝,｛5｝满足％=伉=1,且3=/.

Cn%

⑴若｛%｝是等比数列，且。用=”“+c,也=3,求源23的值，并写出数列也｝的通项公式；

1111cin—2、丁*

(2)若｛(a｝是等差数列，公差d>0,且2=%+「"〃，求证：一+—+—...+—<----.

C1C2C3Cn。3-3

25.已知数列｛%｝的前“项和为％若q>+q,+q粤++上q、=*+”,

345n+2

(1)求数列｛%｝的通项公式；

11113

(2)证明：—+—+—++T7<g,

532七%°

26.已知数列｛%｝的前"项和为S”.若对任意“CN*,都有2S"=3(%—〃)

(1)求q,出的值；

(2)求证：数列为等比数列；

on+2

(3)记功=-----,数列也｝的前”项和为(，求证：Tn<l.

4A+i

[21

27.已知正数数列｛%｝中,且。；+1+铲〃+。_铲；=O(〃EN).

⑴求数列｛4｝的通项公式;

⑵式"％""乙+1陞”1

证明：b+b++bn<—.

x24

28.已知数列｛%｝满足q=1,q+i=〃+归+1(其中〃EN*)

(1)判断并证明数列｛0｝的单调性；

(2)记数列｛%｝的前〃项和为S“，证明：1<S2022<1.

29.已知正项数列｛。,｝满足q=l,当“22时，=2w-l,｛a,｝的前”项和为S”.

(1)求数列｛%｝的通项公式及S“；

(2)数列他,｝是等比数列，4为数列也｝的公比，且伉=4=%，记J=”「，证明：(<G+02+…+%<(

♦题型06：求参数范围

30.已知单调递增的等比数列｛g｝满足％+。3+。4=39,且%+6是“2，。4的等差中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若勿=a，，l°gga，，，Sn=bi+b2++bn,对任意正整数小与+与”。向＜0恒成立，试求，"的取值范围.

31.记数列｛%｝的前〃项和为S”,q=2,S“+S“+i=3区田-4.

⑴求｛〃“｝的通项公式；

⑵设bn=a„log2a„，记｛%｝的前〃项和为&若+24看对于〃22且熊eN*恒成立，求实数t的取值范

围.

32.已知数列｛。"｝满足q=14,an+1=3an-4.

⑴证明数歹U｛%-2｝为等比数列，并求｛可｝的通项公式；

⑵设％=_（TZ_

⑵/'（3"+1）（3向+1）,数列也｝的前〃项和为若存在〃wN*,使〃让（，求机的取值范围.

33.已知数列｛%｝满足：4=1,叫-5+1）%=。“%,=eN*,且。，产0;等比数歹!）也｝满足：4=；，

b„=2%]+3b*2,〃eN*,且，＞。.

⑴求数列｛%｝、也｝的通项公式;

（2）设数列的前九项和为S”,若不等式（T）"（信）-义V2对任意〃6N*都成立,求实数2的取值范围.

模拟精练

一、解答题

1.（2024•陕西渭南・二模）已知等比数列｛%｝的各项均为正数，前〃项和为S“，且满足/+%=3,54=15.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足勿=fl„+（-ir（3n-l）,求数列也｝的前2n项和T2n.

2.（2024•贵州贵阳•三模）已知正项数列｛见｝的前〃项和为5.，且满足q=1石,=号旦.试求：

（1）数列｛见｝的通项公式;

（2）记。“=电"，数列上的前〃项和为（，当北>'!时，求满足条件的最小整数”.

〔c,%J9

3.（2024•山东济南•模拟预测）己知复数数列｛4｝的通项公式为a“=i"〃2（i是虚数单位），S”为｛%｝的前〃

项和.

（1）求5的值；

（2）求证：2〃+1>"+4；

（3）求｛邑“｝的通项公式.

4.（2024・四川宜宾・模拟预测）已知数列｛4｝满足q=L%M=24+〃T（〃eN*）.

（1）证明：数列｛4+〃｝是等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式；

1

⑵设2=，数列论A+J的前〃项和为1,若，〈病一相-1对于任意〃eN*恒成立，求实数加的

10g2(«„+«)

取值范围.

5.（2024•浙江•三模）已知等比数列｛。,｝和等差数列他,｝‘满足4+1>%,4=伪=1,a2=b2,3%=的.

⑴求数列｛%｝,｛2｝的通项公式；

⑵记数歹!1｛见a｝的前〃项和为1,数列的前"项和为匕.证明：《<2上-1.

也«+1

6.（2024•天津南开・二模）已知｛4｝是等差数列，公差dwO,q+%=8,且%是可与%的等比中项.

（1）求｛%｝的通项公式

⑵数列也｝满足与心旦=2«„,且4=4.

,卢〃+12

（i）求