2025高考数学一轮复习 平面向量基本定理及坐标表示 专项训练

2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量基本定理及坐标表示-专项训练

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.在下列向量组中，可以把向量。=(3,2)表示出来的是()

A.ei=(0,0),改=(1,2)

B.=2),氏=(5,—2)

C.4=(3,5),及=(6,10)

D.d=(2,—3),氏=(12,3)

2.已知点幺(1,0),5(2,2),向量阮=(2,-1),则向量元=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(3,1)D.(-3,-1)

3.已知平面向量。=(1,2),6=(-2,in),且a〃4则2a+3A等于()

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-5,-10)D.(-4,-8)

4.已知向量方=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+l,m-l),若点Z,B,C

能构成三角形，则实数也不可能是()

1

A.-2B.-

2

C.1D.-1

5.如图，点Z>,E分别是NC,5c的中点，设标=a,AC=b,尸是。£的中点，

则标=()

6.已知在RtZXZBC中，/BAC=90°,AB=1,AC=2,。是△ZBC内一点，且

ZDAB=60°,设而=7荏+〃尼(九〃@R),则4等于()

,2V3

AB.省

--3

C.3D.2V3

7.△48C的三个内角4B,C所对的边分别是a,b,c,设向量p=(a+c,b),

q=(b-a,c—a),若p〃q,则角C的大小为()

B.-

3

C-D.—

*23

8.在平面四边形48co中，ABLBC,ACLCD,AB=BC=CD,若正=7万+

//AD,则/l+〃=()

A.gB.V2

3

C.ID.2

二、多项选择题

9.如图所示，A,B,C是圆。上的三点，线段0C与线段43交于圆内一点P,

若2P=A4B,0C=〃02+3〃0B,

c

)

A.尸为线段。C的中点时，〃=；

B.尸为线段。C的中点时，〃=；

C.无论〃取何值，恒有丸=:

D.存在〃£R,2=5

10.在平行四边形45C。中，BE=2EC,DF=3FA,AE与BF交于点、O,设市

=a,DB=b,贝U()

A.AE=—B.AE=a~l-b

33

C.D0=—a+—bD.D0=—a+—b

ii11iiii

三、填空题

11.已知。为坐标原点，酹=—2配，若Pi（l,2）,p2（2,-1）,则与前共线

的单位向量为.

12.在矩形4BC。中，48=2,2。=1,点尸为矩形48co内（包括边界）一点，

—一

则|PZ+PB\的取值范围是.一一^

[B组在综合中考查关键能力]

13.（2024•山东济南期中）在△48C中，AB=2AC,NA4C的平分线交边

BC于■点、D,记左=a,AD=b,则标=（）

A.3a—2bB.-2a+36

C.3a+2bD.2a+38

14.在△ABC中，点。在线段8c的延长线上，且前=3而，点。在线段CD

上（与点C,。不重合），若而=》荏+（1—x）元，则x的取值范围是

A.（0,|）B.（0,i）

C.（一；,o）D.o）

15.（2024•北京模拟）已知向量方=（3,4）,将向量而绕原点。逆时针方向旋

转45。到凉的位置，则点P（V,_/）的坐标为（）

A.（-4,3）B.（-3,4）

c.（罟,甯-T5

16.给定两个长度为1的平面向量次和赤，它们的夹角为学如图所示，点C在

以。为圆心的圆弧48上运动.若瓦丽，其中x,vGR,则x+y的最

大值为

参考答案

[A组在基础中考查学科功底]

1.B[对于A,C,D,都有ei〃e2,所以只有B成立.]

2.C\AB=(1,2),AC=AB+~BC=(1,2)+(2,-1)=(3,1).故选C.]

3.D[因为a=(l,2),b=(-2,m),且所以加=-4,b=(—2,-4),

所以2a+35=(—4,-8),故选D.]

4.C[若Z,B,C三点不共线即可构成三角形.因为荏=赤—a=(2,-1)

一(1,—3)=(1,2),AC=OC-OA=(m-\-1,m—2)—(1,—3)=(m,m-\-1).假

设Z,B,C三点共线，则1X(〃?+1)—2加=0,即m=1.所以只票机Wl,A,B,

。三点就可构成三角形.]

5.C[因为点。，E分别是ZC,8c的中点，尸是的中点，所以标=诟+而

=-AC+-DE=-AC+-AB,即标=%+%.故选C.]

6.A[如图，以/为原点，48所在直线为x轴，ZC所在直线为y轴，建立平

面直角坐标系，则5(1,0),C(0,2),因为NZ14B=60。，所以设。点的坐标为(加，

V3m)(m7^0).

AD=(m,V3m)=/IAF+//^4C=2(1,0)+//(0,2)=(2,2〃)，则7=加，且〃=学明

所以2=辿]

7.B[因为p〃夕，所以(a+c)(c—a)—b(Z?—〃)=0,

所以c2—a2—b2+ab=0,所以a2+b2~c2=ab,

1

所以2abcosC=ab,所以cosC=-,

因为0<CV兀，所以C=]

故选B.]

8.B[设如图，以ZC所在直线为x轴，ZC的垂[9

直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则2(—1,0),8(0,

-1),C(l,0),£>(1,V2),AC=(2,0),ZB=(1,-1),AD=(2,V2),因为旅

=7万+〃而，所以(2,0)=A(l,-1)+〃(2,V2),所以『+2"二2,解得丸

入+何=0,

=2V2-2,〃=2一四，所以丸+〃=V1故选B.]

9.AC[赤=a+9=函+2前=函+4加一函)=(1—7)函+7折.因为加

与沆共线，所以*=3，解得2=三，故C正确，D错误；当尸为OC的中点时，

贝I万5=工沆=与福+工*3〃丽，贝:2“‘解得〃=工，故A正确，B错误.故

2*2(入=93〃，2

选AC]

10.AC[在平行四边形中，丽=2前，所以雇=一1方彳

则族=同+BE=(DB-DA)~^DA=-1^4+DB=-|a+/|,

A正确，B错误；设ZE与BD交于点M,则在平行四边形ABCD中，4BEM与

相似，所以理=些=,，则£>河=汐8,即丽=:丽=*,DF=^DA=1a,

因为尸，。，8三点共线，A,O,M三点共线，设丽=江？+(1—x)丽=(与耳Q+

也询，则弓+且詈=1,即x=A，所以丽=争方+(lf)丽=〃+9,

343114liii

C正确，D错误.故选AC]

H.(|-一§或(一/§[由第=一27瓦得第+2配=0,即项+配=0,

P^K=PlP,OP^-O~K=OP-OPl，OP=2OPl-OP[=2(2,-1)-(1,2)=(3,

-4),|OP|=732+(-4)2=5,与费同向的单位向量为篇=仔，一小，与而

Czi\3DZ

反向的单位向量为(―3).]

12.[0,2V2][法一(坐标法)：将矩形放在平面直角坐标系中，设尸(x,y),

则A(0,0),5(2,0),PA+PB=(~x,-y)+(2~x,~y)=(2~2x,-2y),\PA+PB\

=7(2-2x)2+(-2y)2=27(^-l)2+y2,

转化为矩形内的点到定点(1,0)的距离的2倍，

由图可知点。(0,1)和点C(2,1)到定点(1,0)的距离相等同时取最大值:

J(2—1)2+(1-0)2=71

故|刀+而|的取值范围是[0,2V2].

法二(向量法)：取45的中点区易知丽+方=2而,

A\PA+PB\=2\PH\,结合题意可知0W|而

AHB

故|向十方|的取值范围为[0,2V2].]

[B组在综合中考查关键能力]

13.B[由题意，AB=2AC,AD为/BAC的平分线,则由角平分线定理，有黑

AQ

=—=2,即

故荏=3而，所以径=前+荏=m+33

=AC+3(AD-AC)=-2AC+3AD=—2a+3A.故选B.]

14.D[法一：依题意，设前=7就，其中1<"提则有前=丽+前=丽

>--»-->-->-->-->-->-->-->-->-->

+ABC=AB+^AC-AB)=(l-^AB+XAC.5LAO=xAB+(l-x)AC,SLAB,AC

不共线，于是有x=l—0),即x的取值范围是(―；，0),故选D.

法二：•.•方=》版+左一函，，刀=x(荏-元)，^CO=xCB=~3xCD,

:。在线段CD(不含C,。两点)上，.\0<-3%<1,・..一：-1VxV0.故选D.]

15.C[如图，设都与x轴正半轴的夹角为a,

由题可得|OP|=、32+42=5,sin«=1,cosa=|,

贝Usin(a+45°)=sinctcos45°+cosctsin45°=|x+|xcos(«+45°)=

cosctcos45°—sinasin45°=|Xy-—1xy-=—y|,贝|x'=\OP\,cos(a+45°)=

5X(—累=—今尸而卜sin(a+45°)=5X^=^,所以P的坐标为(一卜,

爷.故选C.]

16.2[法一：